电磁场资料学习教案

1、会计学1电磁场资料电磁场资料(zlio)第一页，共43页。电介质在外电场(din chng)作用下发生极化，形成有向排列的电偶极子， 并在电介质内部和表面形成极化电荷。式中， 为体积元 内电偶极矩的矢量和，P 的方向从负极化电荷指向正极化电荷。pV无极性分子有极性分子电介质的极化用极化强度 P 表示电介质的极化程度，即V0VpPlimC/m2电偶极矩体密度静电场中的电介质第1页/共43页第二页，共43页。 电介质中的静电场电介质中的高斯定理应写为：自由电荷极化电荷1()PSodqqES真空(zhnkng)中的高斯定理为：SVoqddVES当有电介质存在时，电场(din chng)可看成是自由电

2、荷和极化电荷共同在真空中引起的。+SEqqP第2页/共43页第三页，共43页。PPVVSqdVdVd PPS0()SVddVEPS0DEPSVddVDS1()PSodqqESVqdV自由电荷(z yu din h)：极化电荷：代入，得引入：定义(dngy) D 为电通量密度，或电位移矢量，则高斯(o s)定律一般式为n 电介质中的高斯定律011SVSoddVdESPS整理，得第3页/共43页第四页，共43页。1.3 静电场的基本方程分界面上的衔接(xinji)条件静电场的基本(jbn)方程静电场是一个无旋、有源场，静止(jngzh)电荷就是静电场的源。数学模型为：环路定理0ldElSVddVD

3、S0ED EDE高斯定律积分形式微分形式引出计算量电场强度 E 的环路线积分恒等于零。电通量密度D的闭合面积分等于该面内所包围自由电荷的总电量。无旋场有源场第4页/共43页第五页，共43页。包围点 P 作高斯面 ( )。0L分界(fn ji)面上的衔接条件（边界条件)1. D 的衔接(xinji)条件SSDSDn2n1则有SdqDS根据媒质分界面n1n2DD分界面两侧的电通量密度(md) D 的法向分量不连续，其不连续量就等于分界面上的自由电荷密度(md)。当 时， 电通量密度 D 的法向分量连续。0n2n1DD第5页/共43页第六页，共43页。2. E 的衔接(xinji)条件围绕点 P 作

4、一矩形回路( )。 02LttEE12 E 的切向分量连续。0d llE根据01t21t1lElE则有媒质分界面分界面两侧电场强度 E 的切向分量(fn ling)连续，即两媒质相交面切向方向电场强度 E 相等。第6页/共43页第七页，共43页。3. 折射(zhsh)定理2121tantan折射定律 n2n1DD t2t 1EE 222111coscosEE2211sinsinEE分界面上 E 线的折射2n1n0DD在媒质交界面上，若 则，0它适用于无自由电荷分布(fnb)的两种电介质分界面。第7页/共43页第八页，共43页。0dlim0021ddlE4、 的衔接条件设 P1 与 P2 位于分

5、界面两侧， 0d21因此分界面电位(din wi)连续nn2211得 电位的法向导数不连续又由于 ，n1n2DD电位的衔接条件nEDnED22n22n211n11n1,即第8页/共43页第九页，共43页。说明 （1）导体表面(biomin)是等位面，E 线与导体表面(biomin)垂直；导体与电介质分界面例1 试写出导体与电介质分界(fn ji)面上的衔接条件。 解: 分界面衔接(xinji)条件t2t 1n1n2 EEDD，nn221121 ，n0 , const2n2t 0DE，导体中 E0 ，分界面侧（2）导体表面上任一点的 D 等于该点的 。第9页/共43页第十页，共43页。解：忽略(

6、hl)边缘效应1221021ddUE1221012ddUE1121 EE22110SSq图(a)图(b)02211qSS2211 例2 试求两个平行板电容器的电场(din chng)强度。2211EE02211UdEdE平行板电容器第10页/共43页第十一页，共43页。1.4 边值问题、惟一(wiy)性定理接地金属槽的截面y100V例：试求长直接地金属(jnsh)槽内电位的分布。 静电场的边值问题 第11页/共43页第十二页，共43页。泊松方程(fngchng)与拉普拉斯方程(fngchng)2泊松方程E0EEEE2222222zyx2拉普拉斯算子 D02拉普拉斯方程当 =0时所有静电场问题(

7、wnt)的求解都可归结为在一定条件下寻求泊松方程或拉普拉斯方程的解的过程。DE第12页/共43页第十三页，共43页。边值问题（Boundary Problem)边值问题微分方程(wi fn fn chn)边界条件初始条件场域边界条件分界面(jimin)衔 接条件 强制边界条件 有限值lim0r自然边界条件 有限值rrlim泊松方程/2拉普拉斯方程0221nn2211第13页/共43页第十四页，共43页。场域边界条件1）第一类边界条件(tiojin)（狄里赫利条件(tiojin)，Dirichlet)2）第二类边界条件(tiojin)（诺依曼条件(tiojin) Neumann)3）第三类边界条

8、件已知边界(binji)上电位及电位法向导数的线性组合已知边界上导体的电位)(|1sfs已知边界上电位的法向导数(即电荷面密度 或电力线)(2sfnS)()3sfnS（第14页/共43页第十五页，共43页。例1 试写出长直同轴电缆(tn zhu din ln)中静电场的边值问题。 解：根据(gnj)场分布的对称性确定计算场域，边值问题022222yx（阴影(ynyng)区域）Ubxbybybx)0,0,(及0)0,0,(222yxayx(0,)0 xxby aEx 0),0(axbyy缆心为正方形的同轴电缆第15页/共43页第十六页，共43页。0)dd(dd122222rrrr)( ra通解4

9、3221021)( 16)(CrCrCrCrr例2 求带电球体(qit)产生的电位及电场。解：采用球坐标系,分区域(qy)建立方程边界条件arar21ararrr2010有限值01 r参考电位02r012212)dd(dd1rrrr)(ar 体电荷分布的球体 第16页/共43页第十七页，共43页。电场强度(qingd)（球坐标梯度公式）：11)(rErararrreerE2022223)(得到(d do)rarararrar03222013)(0)3(6)(errrsin11eerarrrrr0301ee第17页/共43页第十八页，共43页。2泊松方程(fngchng)E0E D所有静电场问题

10、(wnt)的求解都可归结为在一定条件下寻求泊松方程或拉普拉斯方程的解的过程。(解二阶偏微分方程)DE微分方程边界条件外边界条件内分界(fn ji)条件 21nn2211)()3sfnS（环路定律高斯定律静电场定解问题小结：静电场定解问题（边值问题）静电场定解问题静电场定解问题第18页/共43页第十九页，共43页。201.xdU A答案(d n):（C ）反证法惟一(wiy)性定理（Uniqueness Theorem)例图示平板(pngbn)电容器的电位，哪一个解答正确？惟一性定理 ： 在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程的解是惟一的。002.UxdU B003.UxdU C平板电容器外

11、加电源U0第19页/共43页第二十页，共43页。求解电磁场问题的方法，归纳起来可分为(fn wi)三大类，分别是解析法、数值法和半解析数值法。 数值计算方法包括有限元法（FEM）、时域有限差分法（FDTD）、矩量法（MOM）和边界元法等 ；解析法包括积分法、分量变量法、镜像法、电轴法等 ；半解析数值法是解析法和数值法的综合。第20页/共43页第二十一页，共43页。1.5 分离(fnl)变量法 分离变量法采用正交坐标系，将变量分离后得到微分方程的通解， 当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可确定积分(jfn)常数，得到边值问题的解。解题的一般(ybn)步骤：2）分离变量，将偏微分方程分离成几个

12、常微分方程；3）解常微分方程，并叠加得到通解；1）写出边值问题（微分方程和边界条件）；4）利用边界条件确定积分常数，最终得到电位的特解。 只含有一个变量的微分方程，采用积分法求解。含有两个变量的微分方程，可以采用分量变量法求解。第21页/共43页第二十二页，共43页。例 试求长直接(zhji)地金属槽内电位的分布。 解: 1）确定(qudng)边值问题应用(yngyng)实例1. 直角坐标系中的分离变量法（二维场）xayxaxayayaxaxyayxsin100000 ,0 ,0 , 00 , 022222（D 域内）图1.5.1 接地金属槽的截面yxasin100第22页/共43页第二十三页

13、，共43页。2）分离变量(binling)试探解)()(),(21yxyx2222d0dy2112d0dx，则-分离常数,220, 0 0 ,nnkk 和有22122212dd11ddxy 设0dd1dd122222121yx代入微分方程得222220 xy电位(din wi)方程为二阶常系数(xsh)齐次方程拉普拉斯方程第23页/共43页第二十四页，共43页。双曲函数212222d0dd0dxy2211222222d0dd0dnnkxky1( )cossinnnnnxAk xBk x100( ) xA xB200( )yC yD2( )nnnnyC shk yD chk y1( )nnjk

14、xjk xxAeBe120000( , )( )( )()()x yxyA xBC yD即 kn 为实数(shsh)时，12( , )( )( )(cossin)()nnnnnnnnx yxyAk xBk x C chk yD shk y若 ，20nk 若 ，20nk ()(cossin)nnnnnnnnA chk xB shk x Ck yDk y若 ，20nk 2( )nnk yk yyCeDesinh( )2cosh( )2xxxxeexeex第24页/共43页第二十五页，共43页。3）解常微分方程(wi fn fn chn)，将各特解线性叠加得通解。4）利用给定边界条件确定积分常数，最

15、终得到(d do)电位函数的解。 00B sinsin0nnnnnBDk aFk a (1,2,3)nnkna0)0000axyaA左侧0)00000nbyxaCC底) 00cxaya右侧yanshxanFyx1nn)sin(),(图1.5.1 接地金属槽的截面yxasin100)sh()ch()(sin()cos()sin()cos()(sh()ch(11ykDykCxkBxkAykDykCxkBxkAnnnnnnnnnnnnnnnnnn)()()(000021yDCxBAyx通解1sin()(ch()sh()nnnnnnnBk x Ck yDk y( , )x y 沿 x方向作正弦变化，知

16、0nnnABA题设1sin()sh()nnnnnB Dk xk y第25页/共43页第二十六页，共43页。ayd)sin(100 ax)sin()(sh)sin(1001xannFaxnn比较系数(xsh)求常数当 时，1n)sh()sin(sh100),(yaxayx当 时，1n100sh1Fsh1001F1( , )sin()sh()nnnnx yFxyaa等式(dngsh)无法成立！第26页/共43页第二十七页，共43页。若金属槽盖电位 ，再求槽内电位分布？0U通解)(sh)sin),1yanxanFyxnn（)sin()sin()(sh110 xanExannFUnnnn等式两端同乘以

17、 ，然后从 积分xamsina0(1) d)sin()sin(d)sin(1000 xxamxanExxamUnana左式 ) cos1 ( 0mmaU1,3,5,. 20,2,4,. 00mmaUm当 时，0Uay 第27页/共43页第二十八页，共43页。右式 nmEaxxanEnmnn 2d )(sin 02a0代入式（1）)sh(2220nFaEamaUnn代入通解(tngji)sh()sin(sh14),(10yanxannnUyxnn奇数(j sh)1,3,5,. sh40nmnnUFn图1.5.3 接地金属槽内的等位线分布第28页/共43页第二十九页，共43页。 解：1）取圆柱(y

18、unzh)坐标系，边值问题001)(1222122112aa0cos ，0 10221021EExa根据对称性0)2,( ),(),(及 例1.5.2 垂直于均匀电场 E 放置一根无限长均匀介质圆柱棒 ， 试求圆柱内外 和 E 的分布。 均匀电场中的介质圆柱棒自然(zrn)边界条件第29页/共43页第三十页，共43页。当 时，0n000000)( ln)(DCBAR，当 时，0nnDnCBARnnnnnnnnsincos)( )(，)sincos( )(1nDnCBAnnnnnnn 代入方程(fngchng)整理 分离变量,设 )()(),(R0dd1dddd22222RRRR)(ln(),(

19、0000DCBA3）通解(tngji)0dddd2222RnRR拆分为两个方程0dd222n2）第30页/共43页第三十一页，共43页。根据 （自然边界条件），得cos01E当 时，1n，EABA100，0nBEnnncoscos),(11根据 0 ， 00002nBBA12cos),(nnnnA4）利用给定边界条件确定积分(jfn)常数当 时，1n，00noABAnBABAnnnnncos)()ln(),(100通解根据),(),(0, 00nDC得到第31页/共43页第三十二页，共43页。比较(bjio)系数121011)( AaBEaAaBEa和当n=1时，当 时，An=Bn= 0， 则

20、最终解1n1111011cos)coscos(coscoscosnnnnnnnnnnnnnanAnaBEnaAnaBEa由分界面 的衔接条件，得acos)()(cos),(0201EaEaa0cos2cos)1 (),(00002EE第32页/共43页第三十三页，共43页。aEaesin)()(12020 xxExeeE002222a0介质圆柱内外的电场 eEcos)()(1202011Ea求电场(din chng)强度E第33页/共43页第三十四页，共43页。1.6 有限(yuxin)差分法二维泊松方程的差分(ch fn)格式Fyx2222（1）二维静电场边值问题 基本思想：将场域离散为许多

21、网格 ，应用差分原理，将求解连续函数 的微分方程问题转换为求解网格节点上 的代数方程组的问题。（2）)(LfL1.6.1 有限差分的网格分割通常将场域分成足够小的正方形网格,网格线之间的距离为 h ,节点0,1,2,3,4上的电位分别用 表示。 01234, 第34页/共43页第三十五页，共43页。令 h = x - x0，将 x = x1 和 x3 分别(fnbi)代入式 ( 3 ) 0333022200303330222001)(! 31)(! 21)()(! 31)(! 21)(xhxhxhxhxhxh（4）（5）)(0)()(!10000nnKKKKxxxxxxK（3）由式（4）+（5

22、）2301222)(0hxxx（6）2402222)(0hyyy（7）同理,沿 x方向在 x0 处的泰勒公式展开为第35页/共43页第三十六页，共43页。2043214Fh当场域中00404321 若场域离散(lsn)为矩形网格, 宽h1高h2，差分格式为13240222212121111()()()2Fhhhh1.6.2 矩形网格剖分五点差分(ch fn)格式20将式(6)、式(7)代入式 ，得到Fyx2222)(41243210Fh即第36页/共43页第三十七页，共43页。右图，对该区域划定 4 4 方格，内点为 1-9，边界(binji)为 f1-f16，对待求的 9 个点，逐点列差分方程在场域内每一节点都有一个差分方程，再结合边界上的电位关系，构成(