2020新教材人教A版必修第二册第七章7.17.1.2

1、课程标课程标准：理准：理解复数的几何意义，解复数的几何意义，教学重教学重点：复点：复数的几何意义与复数的模的概念数的几何意义与复数的模的概念. . 教学难点教学难点：复数的：复数的几何意义的理解与应用几何意义的理解与应用* *核心概念掌握-知识导学-知识点一复平面的相关概念如图，点 Z 的横坐标是 a,纵坐标是 b,复数 z= a+ bi 可用点 Z(a, b)表示.这 个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 _复平面,x轴叫做_实轴,y轴 叫做虚轴.yboR工复数集 C 中的数与复平面内的点建立了一一对应关系，即复数z= a +bi一一对应复平面内的点 Z(a, b).知识点二复数的向量表示

2、如图，设复平面内的点 Z 表示复数 z= a+ bi,连接 0Z,显然向量 OZ 是由点 Z唯一确定的；反过来，点 Z 也可以由向量 色卫唯一确定.yb/ .0a譌复数集 C 中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了一一对应关系(实数 0与零向量对应)，即复数 z= a+ bi一一对应平面向量 OZ.这是复数的另一种几何意义，并且规定相等的向量表示里同一个复数.知识点三复数的模的定义公式制圄新I(教师独具内容)复数的几何意义向量 OZ 的模叫做复数 z= a+ bi 的模或绝对值，记作|z|或|a+ bi|，即|z| =|a+ bi|= a + b(a, b R).如果 b= 0,那么 z=

3、a+ bi 是一个实数 j03a,它的模等于 jS4ja|(a 的阻绝对 值).知识点四共轭复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为 一共轭复数.虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫 共轭虚数.-新知拓展-1.复数的向量表示(1)任何一个复数 z= a+ bi 与复平面内一点 Z(a，b)对应，而任一点 Z(a，b) 又可以与以原点为起点，点Z(a, b)为终点的向量 OZ 对应，这些对应都是一一对应，即卩V T ihr问点仙几时匕址T面的向眾质(2)这种对应关系架起了联系复数与解析几何的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结

4、合法)，增加了解决复数冋题的途径.讨论复数的运算性质和应用时，可以在复平面内，用向量方法进 行.2.共轭复数的性质(1) 两个共轭复数的对应点关于实轴对称.(2) 实数的共轭复数是它本身，即 z=z? z R. 利用这个性质，可以证明一个复数是实数.(3) z z =|z|2=|z f R.z 与 3 互为实数化因式.N N 评价自测评价自测1.判一判(正确的打“V”，错误的打“X”)夏数(1) 在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.()(2) 在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.()(3) 复数的模一定是正实数.()(4)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.()答案(1)

5、2x(3)x x2.做一做(1) 若 5Z=(0, -3),则 OZ 对应的复数为_.(2) 复数 z= 1-4i 位于复平面上的第 _ 限.(3) 复数 J3i 的模是_.复数 5+ 6i 的共轭复数是_.答案 一 3i (2)四(3) 3 (4)5 6i核心素养形成题型一 复平面内复数与点的对应例 1 在复平面内，若复数 z= (m2 m 2)+ (m2 3m+ 2)i 对应点在虚轴 上；(2)在第二象限；(3)在直线 y= x 上，分别求实数 m 的取值范围.解 复数 z= (m2 m 2)+ (m2 3m + 2)i 的实部为 m2 m 2,虚部为m2 3m+ 2.(1) 由题意得 m

6、 m 2= 0,解得 m= 2 或 m= 1.m2 m 20, 1m0,m2 或 m1,/1m0,解得 m5,所以当 m5 时，复数 z 对应的点在 x 轴上方.(2)由题意得(m? + 5m+ 6) + (m? 2m 15) + 4 = 0,55解得 m= 1 或 m= 2，所以当 m= 1 或 m=时，复数 z 对应的点在直线 x+ y+ 4= 0 上.题型二 复平面内复数与向量的对应例 2 已知平行四边形 OABC 的三个顶点 O, A, C 对应的复数分别为 0,3+ 2i, 2+4i，试求：AO 表示的复数；(2)CA 表示的复数；(3)点 B 对应的复数.解由题意得 O 为原点，O

7、A= (3,2)，OC= ( 2,4).(1) vAO= OA= (3,2)= ( 3， 2)AO 表示的复数为一 3 2i.(2)VCA=OA OC= (3,2) ( 2,4) = (5， 2)，CA 表示的复数为 5 2i.(3) vOB = OA+ OC= (3,2)+ ( 2,4)= (1,6)，OB 表示的复数为 1 + 6i，即点 B 对应的复数为 1 + 6i.金版点睛复数与平面向量一一对应是复数的另一个几何意义，利用这个几何意义，复 数问题可以转化为平面向量来解决，平面向量问题也可以用复数方法来求解.i 跟踪训练 2(1) 复数 4+ 3i 与一 2 5i 分别表示向量 OA

8、与 OB，则向量 AB 表示的复数是?(2) 在复平面内，0 为原点，向量 OA 对应复数为1+ 2i，则点 A 关于直线 y=x 对称点为 B,向量 OB 对应复数为_.答案(1) 6 &(2) 2+ i解析 因为复数 4+ 3i 与一 2 5i 分别表示向量 OA 与 OB,所以 OA= (4,3), OB=( 2, 5),又 AB= OB OA= ( 2, 5) (4,3)= ( 6, 8),所以向量 AB表示的复数是一 6 8i.点 A( 1,2)关于直线 y= x 对称的点为 B( 2,1),所以 0B= 2+ i.题型三复数模的综合应用例 3 设 z C,贝 U 满足条件|

9、z| = |3+ 4i|的复数 z 在复平面上对应的点 Z 的集 合是什么图形？解由 |z|=|3+ 4i| 得 |z| = 5.这表明向量 OZ 的长度等于 5,即点 Z 到原点的距离等于 5.因此满足条件的点 Z 的集合是以原点 0 为圆心，以 5 为半径的圆.(1) 复平面内|z|的意义我们知道，在实数集中，实数 a 的绝对值，即|a|是表示实数 a 的点与原点 0 间的距离那么在复数集中，类似地，有|z|是表示复数 z 的点 Z 到坐标原点间的 距离也就是向量 0Z 的模，|z|= |0Z|.(2) 复平面内任意两点间的距离设复平面内任意两点 P，Q 所对应的复数分别为 zi，z2,则

10、|PQ|=|z2 zi|.运用以上性质，可以通过数形结合的方法解决有关问题.跟踪训练跟踪训练设 z C，且满足下列条件，在复平面内，复数 z 对应的点 Z 的集合是什么图 形？(1) 1|z|2;|z i|1.解(1)根据复数模的几何意义可知，复数 z 对应的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心， 以 1 和 2 为半径的两圆所夹的 圆环，不包括环的边界.(2) 根据模的几何意义，|z i| = 1 表示复数 z 对应的点到复数 i 对应的点(0,1) 的距离为 1.满足|z i| = 1 的点 Z 的集合为以(0,1)为圆心，以 1 为半径的圆内的部分(不含圆的边界)金版点睛巧用复数的几何意义

11、解题随堂水平达标1 已知 a R,且 0a1, i 为虚数单位，则复数 z= a+ (a- 1)i 在复平面内 所对应的点位于()A第一象限B 第二象限C第三象限D 第四象限答案 D解析tOvavl, m 且 a10,故复数 z= a + (a - 1)i 在复平面内所对应的点(a, a 1)位于第四象限故选 D.2复数 z= (a2 2a) + (a2 a 2)i 对应的点在虚轴上，则()A. a2 或 a 1B. a2 且 a 1C. a= 0D. a=2 或 a = 0答案 D解析 由点 Z 在虚轴上可知，点 Z 对应的复数是纯虚数和 0,：a2 2a = 0,解得 a = 2 或 a= 0.3._ 已知复数 z= 1