集合中常见的几类问题

1、集合中常见的几类问题题型1:元素的互异性常见出错点：求出参数范围忘记带回检验，导致增根1、已知 A=a+2,(a+1) 2，a2+3a+3且 1 A,求实数 a 的值；2、已知 M=2, a, b, N=2a, 2, b2且 M=N 求 a, b 的值.集合元素的“三性”及其应用23、 设 A=xl x + (b+ 2)x + b+ 1=0,b R,求A中所有元素之和.已知集合 A =a, a b, a 2b , B =a,ac,ac2，若 A = B，求 c 的值A22n4、已知集合 A 二2 ,3, a +4a +2 , B =0,7, a +4a-2,2- a，且 A B=3,7,求a值

2、题型2、有限集之间的关系用韦恩图1、全集 U=x|x<10 , x N , A U, B 匕且(Cu B)GA=1,9 , AH B=3,(Cu A) H (Cu B)=4,6,7，求 A Bo题型3:证明、判断两集合的关系1、设集合 A 二a|a =3n 2,n Z，集合 B =b|b =3k -1K Z，试判断集合 A、B的关系题型4、无限集之间的关系用数轴2、集合 A=x|x-3| va, a>0, B=x|x -3x+2 v 0，且 BA,则实数 a 的取值范围是搞不清楚是否能取得边界值：例题 3、A=x|x< 2 或 x>10, B=x|x<1 m或 x

3、>1 + m且 B A,求 m的范围.题型5、集合之间的关系(在方程、不等式中的考查)常见出错点：1、集合的关系判断中遗忘空集的情况2、集合所表示的是点集还是数集(点集多从图形的角度去考虑)3、 集合中所涉及到的方程或不等式最高次数如果是字母要讨论0的情况1、设集合 Axx2 -3x 2=0, Bxx2 2(a 1)x (a2 -5) =0：'(1) 若A B2l，求实数a的值；(2)若A B=A，求实数a的取值范围若A BJ2?。2、集合 A = x | ax -1 = 0 , B -、x| x2 - 3x 2 = 0，且 aU B = B ,求实数 a 的2 2 23、A -

4、 ： x, y |x2 y2 =4?, B - x, y | x -3 i 亠y -4 r /，其中 r 0,若Ap|B J求r的取值范围。4、已知集合 A二x|_2 < x < 5 , B二x|mlw x < 2m 一1，满足 B- A ,则实数m的取值范围为.25、已知集合 A= x| x - 6x + 8v0 , B= x| (x a) (x- 3a)v 0.(1) 若A B,求a的取值范围；(2) 若An B=,求a的取值范围；(3) 若An B= x|3 v xv 4，求a的值或取值范围. 26. 已知集合 A= x|mx-2x+ 3= 0, m F.(1) 若A是

5、空集，求m的取值范围；(2) 若A中只有一个元素，求m的值；(3) 若A中含有两个元素，求m的取值范围.题型六：补集思想的应用例 1 已知集合 A=y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0,B=y|y2-6y+8< 0，若 An B©，求实数a的取值范围。例 2、若下列三个方程：x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0 中至少 有一个方程有实根，试求实数 a的取值范围。、集合中的创新题考查 1、新运算问题 例1 定义集合A与B的运算：AO B=x|x A,或x B,且x f AG B，已知集合 A= 1 , 2, 3, 4

6、 , B=3 , 4, 5, 6, 7，则(AOB) OB 为()(A) 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7 (B) 1, 2, 3, 4(C) 1 , 2(D) 3, 4 , 5 , 6 , 7例2M P是两非空集合,定义 M与P的差集为M- P= x|x M且x-P,则M- (M- P)=()(A) P (B)Mn P (C)MU P (D) M2、元素或集合的个数问题例 3 设P= 3, 4 , 5 ,Q= 4, 5 , 6 , 7,定义卩 Q=(a ,b)| aP,bC,则卩Q中元素的个数为()(A) 3(B) 4(C) 7(D) 12例4 设M P是两个非空集合,定义M与P的差

7、集为Mk P= x|x M且xP 已知A= 1 , 3 , 5 , 7, B=2, 3 , 5,则集合A- B的子集个数为()(A) 1(B) 2(C) 3(D) 43、理想配集问题 例5设I = 1 , 2 , 3 , 4 , A与B是I的子集,若A B= 1 ,3,则称(A、B)为一个“理想配集” 那么符合此条件的“理想配集”的个数是(规定(A、B)与(B、A)是两个不同的“理想配集”)()A. 4B. 8C. 9D. 164、 元素的和问题 例6 定义集合A, B的一种运算：A*B=x|x = X1 + X2 ,其中刘 A, X2 E,若A=1 , 2 , 3, B=1 , 2,则AB中

8、的所有元素之和为()(A) 9(B) 14(C) 18(D) 215、集合的分拆问题 例7若集合A、A满足AU A=A,则称（A, A）为集合A的一个分拆，并规定： 当且仅当A=A时，（Ai,A）与（A,Ai）为集合A的同一种分拆，则集合A=ai,a2, as 的不同分拆种数是A. 27B.26C.9D.8&集合长度问题3 1、例 8 设数集 M= x|mKx< mH - , N= x|n<x< n，且 M N都是集合x|04 3<x< 1的子集，如果把b a叫做集合x| a<x< b的“长度”，那么集合M n n的“长度”的最小值是（）1 2

9、15（A）3（B）2 （C）12（D）方7、集合组成的数集例9设S为复数集C的非空子集.若对任意x,y S，都有x y,x - y,xy S，则称S为封闭集。下列命题： 集合S= a+ bi | a,b为整数，i为虚数单位为封闭集； 若S为封闭集，则一定有0 S;封闭集一定是无限集；若S为封闭集，则满足S T C的任意集合T也是封闭集.其中真命题是 （写出所有真命题的序号）1 .设A是整数集的一个非空子集，对于 kA ,如果k1A，且k V A，那么 称k是A的一个“孤立元”.给定, 2 , 3, 4 ,5 , 6 , 7 ,8?,由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤 立元”的集合共有个.

10、62 对于各数互不相等的正数数组i1,i2,in （ n是不小于2的正整数），如果在p：q 时有ip <iq，则称“ ip与iq ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此 数组的“顺序数”.例如，数组（2,4,3,1 ）中有顺序“ 2, 4 ”，“ 2, 3 ”，其“顺序数”等于2 . 若各数互不相等的正数数组 a1 ,a2,a3,a4,a5的“顺序数”是4 ,则的“顺序数”是.63. 对于任意两个正整数，定义运算（用 二表示运算符号）：当m , n都是正偶数或都是正奇数时，m ：再n = m n ,例如4 二 6 二 4 诰 6 二，137二 3：；1 7二；当m

11、, n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m二n=m n ,例如3 二 4 二 3'：4=1.2在上述定义中，集合M £a , b |a二b=12, a , b N*?的元素有个.154. 设集合 SA 0, A 1, A 2, A 3, A4, A5 ?，在 S 上定义运算 “e” 为：A - Aj= Ak , 其中k为i j被4除的余数,i,j =0,1,2,3,4,5 .则满足关系式(X二X)二A2=A。的x (x S)的个数有个.35. 实数集R中定义一种运算“ * ”，具有性质： 对任意 a,b ：二 R,a* b =b* a ; 对任意a R,a*0二a ; 对任意

12、 a,b,c = R,(a* b)* c =c*( ab) (a* c) (b* c) _2c ;则0*2工.26 .给定集合A二1,2,3，,n , n N* .若f是A 、代的映射，且满足：任取 i, j A,若 i = j，则 f(i) =f(j);任取 m An,若 m > 2，则有 m f (1), f (2),., f (m).则称映射f为代、代的一个“优映射”. 例如：用表1表示的映射f : A3 As是一个“优映射”.表1表2i123f(i)231i1234f(i)3已知f : A4 > A4是一个“优映射”，请把表 2补充完整(只需填出一个 满足条件的映射).i1

13、234f(i)2314i1234f(i)23417.定义映射 f : A > B，其中 Ajm，n |m，n R，B= R .已知对所有的有序正整数对m，n满足下述条件： f m，1 =1 ; 若 m ：n， f m，n =0 ; f m 1, n 二 n | f m, n f m, n T)I则f 3,2的值是; 68 .已知 f (1,1) =1， f (m, n) N * ( m、n N*)，且对任意 m、n N * 都有： f (m, n 1) = f (m, n) 2 ; f (m 1,1) = 2f (m,1).给出以下三个结论：(1) f(1,5)=9 ； (2) f (5

14、,1) =16 ； ( 3) f (5, 6)=26 .其中正确的个数为(A )(A) 3(B) 2(C) 1( D) 09. 下图展示了一个由区间0, 1到实数集R的映射过程：区间0，1中的实数m对应数轴上的点M，如图1； 将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2;再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在 y轴上，点A的坐标为 0，1，如图3.图3中直线AM与x轴交于点N n，0，则m的象就是n，记作f m二n .图2A(B)O A M方程f x =0的解是x二；-2 下列说法中正确命题的序号是 (填出所有正确命题的序号)f 4 "；f x是奇函数；f x在定义域上单

15、调递增；f(x )的图象关于点.律,0对称.10 .若集合A具有以下性质：1A， 1 A ; 若x, y A，则x-yA，且x = 0时， A .x则称集合A是“好集”.分别判断集合B= - 1,0,1，有理数集Q是否是“好 集”，并说明理由.11. 若集合 A=a1，a2,L ,aj(k 一2)，其中 ar Z (i =1,2,L ,k)，由 A中的元素 构成两个相应的集合：S(a,b)a A,b A, a b A，T.(a,b)a A,b A,a-b A .其中(a, b)是有序数对.若对于任意的A，总有-a-A，则称集合A具有性质P .检验集合01,2,31与f-1,2,3?是否具有性质

16、P并对其中具有性质P的集合，写 出相应的集合S和T .12. 已知数集A -冋总，,a. 1 (1 -印：a?a.， n2)具有性质P :a对任意的i、j(1Gjm n)，a；aj与L两数中至少有一个属于 A .q分别判断数集1,3,4?与d,2,3,6 /是否具有性质P，并说明理由.课后练习1、定义集合运算:A B.zlz 二xy,x A,y B?.设 A( 1,2 ,B <Q2?，则集合A B的所有元素之和为()A. 0;B . 2; C . 3;D . 62定义集合运算：A ： B =x2y xy2,x A, y B?,设集合 AB =23,贝煉合A二B的所有元素之和为 3.设集合

17、 S=x|x-2 >3,T=x|a£X£a+8,SUT = R，则 a 的取值范围是( )A. 3 ： a ： -1;B. - 3 _ a _ 1C. a3 或 a _-1 ;D . a ： -3 或 a -14 .已知全集 U = R ,集合 M =x 2Wx1 兰2和 N =xx = 2k 1,k=1,2川& 的关图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有()A. 3个B. 2个C. 1个D.无穷多个7.已知集体A=x|x < 1,B=x| >a,且AU B=R则实数a的取值范围是9. 满足M玄,日2 ,a3,a4 /,且 M B, a2,a

18、3 出忌!的集合M的个数是.10. 设全集 U=R 集合 M=x|x < 1 或 x>3,集合 P=i|k ：:k -1A- R；,且 UM P 工、，则 实数k的取值范围是.2 11. 集合 A=x|x-3| v a, a>0, B=x|x -3x+2 v 0，且 B A,则实数 a 的取值范围是.12. 已知集合 A=x|mx2-2x+3=0, m R(1)若A是空集，求m的取值范围-12)若A中只有一个元素，求m的值；(3)若A中至多只有一个元素，求 m的取值范围.1 设S,T,是R的两个非空子集，如果存在一个从 S到T的函数y = f(x)满 足:(i)T 二 f(x)|x S；( ii)对任意 xz S,当 % ： x?时,恒有 f(xj ： f(X2),那 么称这两个集合“保序同构” 以下集合对不是“保序同构”的是()A. A二N*,B二NB. A 二x| 仁 x e3, B 二x|x 二 -8或0 ：x