概率论与数理统计课件：第三章 二维随机变量及其分布3-3

1、( ) ( , )ZFzP ZzP g x yz设设(, )X Y是二维随机变量是二维随机变量, ,其联合分布函数为其联合分布函数为( , ),F x y(, )Zg X Y是随机变量是随机变量,X Y的二元函数的二元函数Zn 的分布函的分布函数数问题：如何确定随机变量问题：如何确定随机变量Z的分布呢？的分布呢？ 设设(, )X Y是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量, ,其联合分布列为其联合分布列为, (1,2,;1,2,)iji jP Xa Ybpij(, )Zg X Y则则 是一维的离散型随机变量是一维的离散型随机变量 其分布列为其分布列为 ( ,), (1,2,;1,2,)iji

2、jP Zg a bpij例例 设设 的联合分布列为的联合分布列为 (, )X Y YX-2-10-11/121/123/122/121/12032/1202/12分别求出（分别求出（1）X+Y；（；（2）X-Y；（；（3）X2+Y-2的的分布列分布列解解 由（由（X X，Y Y）的联合分布列可得如下表格）的联合分布列可得如下表格 概率1/121/123/122/121/122/122/12-3-2-1-3/2-1/21310-15/23/253-3-2-1-15/4-11/457(, )X Y( 1, 2) ( 1, 1) ( 1,0)1( , 2)21( , 1)2(3, 2)(3,0)XY

3、XY22XY 解解 得所求的各分布列为得所求的各分布列为 X+Y-3-2-1-3/2-1/213概率1/121/123/122/121/122/122/12X-Y10-15/23/253概率1/121/123/122/121/122/122/12X2+Y-2-3-2-1-15/4-11/457概率1/121/123/122/121/122/122/12设设(, )X Y是二维连续型随机变量是二维连续型随机变量, ,其联合分布密度为其联合分布密度为(, )Zg X Y则则 是一维的连续型随机变量是一维的连续型随机变量 其分布函数为其分布函数为 ( )(, )ZFzP g X Yz( , ),f

4、x y( , )zg x y是二元连续函数，是二元连续函数，其分布密度函数为其分布密度函数为 ( )( )ZZfzFz( , )( , )g x yzf x y dxdy例例 设二维随机变量（设二维随机变量（X, Y）的概率密度为）的概率密度为(2 )20,0( , )0 xyexyf x y其它求随机变量求随机变量 Z=X+2Y 的分布密度函数的分布密度函数解解( )2ZF zP ZzP XYz0z 0P Zz0z (2 )2002z xzxyP Zzdxedy1zzeze 2( , )xy zf x y dxdy例例 设二维随机变量（设二维随机变量（X, Y）的概率密度为）的概率密度为(2

5、 )20,0( , )0 xyexyf x y其它求随机变量求随机变量 Z=X+2Y 的分布函数的分布函数00( )10ZzzzFzezez解解 所求分布函数为所求分布函数为 分布密度函数为分布密度函数为 00( )0Zzzfzzez见课本见课本P67P67例例1 1 如果（如果（X，Y）的联合分布密度函数为）的联合分布密度函数为 f(x,y)，则，则Z=X+Y的分布密度函数为的分布密度函数为 ( )( ,)Zfzf x zx dx( )(, )Zfzf zy y dy或或 特别，当特别，当X，Y相互独立时，有相互独立时，有卷积公式卷积公式 ( )( )()ZXYfzfx fzx dx或或 ( )()( )ZXYfzfzy fy dy记记 住住 结结 论！论！独立独立1122()()()XPXYPYP n 如果如果X X与与Y Y相互独立相互独立(,)(,)( ,)XB mXYB mn pBppYn 211221212222(,)(,)(,)XNXYNYN 例例 证明：如果证明：如果X与与Y相互独立，且相互独立，且XB（n,p），）， YB（m,p），则），则X+YB（n+m,p）证明证明 X+Y所有可能取值为所有可能取值为 0，1，,m+n. 0