由传递函数转换成状态空间模型(1)

1、由传递函数转换成状态空间模型一一方法多！!SISO线性定常系统高阶微分方程化为状态空间表达式SISOy(n j+ayD+azyW)+any =b0u俨)+b1u(m_L)+bmu(nm)G(s)二b°sm b,sm4sn ysn a2sn an外部描述实现问题：有了内部结构一-模拟系统内部描述SISOX = Ax +bu y =cx + du实现冋题解决有多种方法，方法不同时结果不同直接分解法 因为Y(s) Z(s) _ Z(s) Y(s)U(s) Z(s) U(s) Z(s)n1b)sm bsmbmQ ss ys 亠 亠ans an:丫(s) =(b°sm +bsm

2、9;+bms + bm)Z(s)i U (s) = (sn +a1sn，十八 +an/S + an)Z(s)对上式取拉氏反变换，则jy = boZ(m)+32)+bm'Z + bmZ<(n)丄(n 4) I .u=z +az +anz+anz按下列规律选择状态变量,即设x1二 z, X2 二乙,Xn(nd),于是有Xn=_anXian 4X2-a1XnuXn=_anXian 4X2-a1XnuX2 = X3Xn=_anXian 4X2-a1Xnu写成矩阵形式I n AX1XnjL.Xn j J-0丄_ anJanX；式中，|心为n -1阶单位矩阵，把这种标准型中的 A系数阵称之为

3、友阵。只要系统状态方程的系数阵 A和输入阵b具有上式的形式，c阵的形式可以任意, 则称之为能控标准型。则输出方程y 二 b°Xn biXnbmX2 bmXi写成矩阵形式_Xl IX2y = bm bmb1 b0 'Xnn 一分析A,b,c阵的构成与传递函数系数的关系。在需要对实际系统进行数学模型转换时，不必进行计算就可以方便地写出状态空 间模型的A、b、c矩阵的所有元素。例：已知SISO系统的传递函数如下，试求系统的能控标准型状态空间模型Y(s) _3 8s32U (s) s 3s 2s 4解：直接得到系统进行能控标准型的转换，即_x；l - 00l_a3irxj0X2001

4、41X11X2y 二b2 b1b° X2 =30X2fu若选择状态变量x- k X2xn 1T满足下列条件（如何考虑？）d = yXn=y+aiy bouxn/ = y + dV + a2y -b0U -DuX2 =y(n°)乜丿心)+Xi =y(z - aiy(n-2)"-any-b0u(m')-biu(m')-"-bmuany _ bou(m)_ biu(m)- bmu考虑式y（n）+印丫）+a2y（n，）+any =b0u（m）+b|U（mJL）+bmu（nkm）设系统的输出y二Xn，依次对第一式求导，并带入第二式；对第二式求导，并

5、带 入第三式；依次类推，便得到Xi 二-anXnbmUX2 =花 _anXn bmUXn=Xn _2-a2Xnb-|UXn =Xn4 pXn b°U写成矩阵形式fXi 1一00-an 1_Xi 1'bm -X；一an JX2bmJ-=| 2-+-uXn4一a2Xn_1bi1Xn1_ai _'.Xnb0_XiX2 y=00 0 1-Xn4Xn J式中，Ind为n -1阶单位矩阵。只要系统状态空间表达式的 A阵和c阵具有上式的形式，b阵的形式可以任意，则称之为能观标准型从形式上看，能控标准型和能观标准型的系数阵A是互为转置，能控标准型输入阵b和能观标准型输出阵c互为转置，

6、这种互为转置的关系被称为 对偶关 系。将在第六章进一步讨论。通过以上对传递函数阵的能控标准型或能观标准型转换的讨论，对单输入系统而言，应注意如下问题：（1）传递函数转化成能控标准型的状态空间表达式，状态方程的结构只由 传递函数阵的极点（特征）多项式确定，而与其零点多项式无关，零点多项式只 影响输出方程的结构。（2）从能观标准型的转换可以看出，系数阵 A的元素仅决定于传递函数极 点多项式系数，而其零点多项式则确定输入阵 B的元素。（3）只有当传递函数零点和极点多项式同阶时，即m二n ,状态空间表达式的输出方程中才出现Du项，否则D为零阵。例：求前例的能观标准型的状态空间模型 解：直接得到能观标准

7、型的状态空间模型，即论 00-4 X!3x2=10 -2 x2+8uXP 1 - 3拉3.0y =0 0 1% x2 x3 卩串联分解法若SISO系统的传递函数极点互异，系统传递函数分子分母写成因式相乘形式(n _ m)G(S)= 丫(9 = K(s zj(s Z2) (s Zm) U (S (S P1)(s P2)(s pn)G( Y(s) _ K(s 乙)(s Z2)U(S) (s+ pj(s + p2)(s + p3)例：11S + P1 S + P2 S + P3=K T+Z1_p2. + Z2 _ 5S+P11S + P2 八 S+P3图示！ ！X1-P3Z1 P2k xj |011

8、X2=0一 P2kX2+01'X3 一00-P1B 一Xi I y = E - P3zi - P2k 】X2并联分解法（对角标准型/约旦标准型一一特征值标准型）（一）若SISO系统的传递函数极点互异，则可求得 对角标准型的模型。当系统的极点互异时，系统传递函数分子分母写成因式相乘形式G(S)Y(s) K(S Zi)(S Z2) (s Zm)U(S)(S Pi)(S P2) (S Pn)(n _ m)写成部分分式G(s)_ 丫 (s)U(s)C1.C2Cns Pi s P2s Pn其中，Ci，i =1,2，n为待定系数，其值为Ci =lm G(s)(s + Pi)S -'i选择状

9、态变量为（画图示意状态变量的取法）s+ Pii =12,nsXi (s) PiXi(s) =U(s)对上式拉氏反变换，得XiPi Xi 二 u即X = P1 x1uX2 = P2X2 + urXn = PnXn U写成矩阵形式Xi- PiX2 _ |- P2式中，系数矩阵A为对角阵。对角线上的元素是传递函数 G (s)的极点，即系统的特征值。b阵是元素全为1的nx 1矩阵。求对角标准型模型的输出方程中 c的结构n丫(S)八U(s)=1=1U(s)珂s Pi)Xi(s)nY(s)八 CiXi(s)对上式拉氏反变换，得y 八 Ci Xi =Ci C2Cnxi X2Xn 1T如果系统的状态方程的 A

10、阵是对角阵，表示系统的各个变量之间是解耦的。多 变量的系统解耦是复杂系统实现精确控制的关键问题，关于如何实现解耦控制将 在第五章讨论。系统的状态结构图如图所示。例：设系统的闭环传递函数如下，试求系统对角标准型的转换Y (s)U (S)6 s + 832s 6 s 11s 6解：将G(s)用部分分式展开6 s 8(s 1)(s 2)(s 3)C1=1=1从而可得G(s)的极点 j = -1, = -2, j = -3为互异的，求待定系数cC1=lim G(s)(s ' 16 s 8(s 2)(s 3)=1C2 二 lim G(s)(s，2) = lim4Jh(s +1)(s + 3)c3

11、lim G(s)(s 3) limJ?3J-36s 8_ 5(s 1)(s 2厂 _得对角标准型的转换为& -100& 1I 丨丄丨x 2=0-20x2+ 1uX300-3X3 一 J 一y = 1 4 -5叹 x2x3 T（二）对SISO系统式，当其有重特征值时，可以得到 约当标准型的状态空 间模型此时模型的系数矩阵A中与重特征值对应的那些子块都是与这些特征值相对 应的约当块，即Ji =c1 j设系统具有一个重特征值1，其重数为j，而其余为互异的特征值，记为j 1 ,'n，则传递函数可以用部分分式展开成G(s)(S P1)j (S P1)j(S pj(S P1)Cj

12、-1+'(s Pj 1)CiCn+二+(S Pi)(S Pn)式中，待定系数5,G2,Gj对应的是重极点的待定系数，其值为C1i1d (i 一1)二 /hm (yG(s)(s+ pjj(i -1)!s u ds)其余互异根的待定系数Ci( j 1, j 2/ ,n)求法同前。画图示意状态变量的取法:例：设系统的闭环传递函数如下，试求系统对约当准型的状态空间模型GgYs)厂U(s) (s+3) (s + 2)(s + 1)解：从已知系统地传递函数 G(s)可知，该系统为四阶，有一个重极点，重数为j =2，有两个互异的极点，即= 2 -3,- -2, - - -13(s 5)按部分分式展开CnC12C3C4G(s)21234(s+3) (s + 3) s + 2 s+1求重极点对应的待定系数g丄 lim 嗒G(s)(s 3)im3(1-1)!s ”ds(1)s .(s 2)(s 1)1.d(2)s丄c、2d 3(s + 5)lim G(s)(s+3) = lim (21)!ikds( 1十 ds .(s + 2)(s + 1)_=63(s2 3s 2) -3(s 5)(2s