数学概念及其教学

1、数学概念概述数学概念概述 反映数学对象本质属性的思维形式叫做“数学概念”。 “属性”与“本质属性” ；概念及其名称和符号 （1）从现实模型直接得来； （2）经过多级抽象概括得来； （3）从数学内部需要产生出来； (4)把客观事物理想化和纯粹化得出； (5)根据有理论上存在的可能性而提出等 数学概念是发展变化的：原因一方面事物是发展变化的，另一方面人们的认识是不断深化的。如：自然数集（加零）扩大的自然数集（加正分数）算术数集（加负整（分）数）有理数集（加无理数）实数集（加虚数）复数集 数学概念的重要性：非常基本，也非常重要，判断由概念构成，推理由判断构成，论证由判断和推理构成，因此概念是其他思维

2、形式的基础，是思维的细胞。 概念的概念的内涵内涵亦称内包，就是概念所反映的事物的本质属性的亦称内包，就是概念所反映的事物的本质属性的总和总和, , 是概念的质的方面，它说明所反映的事物是什么样的。是概念的质的方面，它说明所反映的事物是什么样的。是指概念所反映的对象的是指概念所反映的对象的特有属性、本质属性特有属性、本质属性。 概念的概念的外延外延亦称外包，指概念所反映的对象的亦称外包，指概念所反映的对象的总和（或范总和（或范围），围），是概念的量的方面，它说明概念所反映的是哪些事物是概念的量的方面，它说明概念所反映的是哪些事物。 例：例：“ABCABC的顶点的顶点” ” 内涵内涵是指点的性质和

3、其中任一点同在这个三角形两边之上是指点的性质和其中任一点同在这个三角形两边之上这个性质；这个性质； 外延外延是指是指 A A、B B、C C三点的集合。三点的集合。注：注：（1 1）数学概念的内涵和外延是在一定的数学科学体系中数学概念的内涵和外延是在一定的数学科学体系中来认识的。例如，来认识的。例如，角角的概念在平面几何中和在平面三角中的的概念在平面几何中和在平面三角中的内涵和外延均不同。内涵和外延均不同。 （2 2）概念的内涵和外延是发展的）概念的内涵和外延是发展的 （3 3）概念的内涵和外延关系密切、互相依赖。概念的内涵和外延关系密切、互相依赖。概念间的关系（指概念外延间的关系）概念间的关

4、系（指概念外延间的关系）同一关系相容关系 属种关系交叉关系概念间的关系矛盾关系不相容关系 反对关系并列关系概念间的关系（概念外延间的同异关系）概念间的关系（概念外延间的同异关系）1、相容关系（、相容关系（两个概念外延之间至少有一部分重合两个概念外延之间至少有一部分重合）（1）同一关系（全同关系或重合关系）同一关系（全同关系或重合关系） 外延完全重合，内涵可以不同。外延完全重合，内涵可以不同。 例如例如：数数0是扩大的自然数集中最小的数，又是正数是扩大的自然数集中最小的数，又是正数 与负数的分界数，在数的运算中它又是两个相等数与负数的分界数，在数的运算中它又是两个相等数 的差等；的差等； 等腰三

5、角形底边上的高线、中线以及顶角的平分线等腰三角形底边上的高线、中线以及顶角的平分线 的外延都是同一条线段，而内涵也各不相同。的外延都是同一条线段，而内涵也各不相同。 注注：研究概念间的同一关系，可以对概念所反映的对：研究概念间的同一关系，可以对概念所反映的对 象得到较深刻、较全面的认识。另外，在推理证明中象得到较深刻、较全面的认识。另外，在推理证明中 具有全同关系的概念可以互相代换，使得论证简明。具有全同关系的概念可以互相代换，使得论证简明。)(BA 如果甲概念的外延如果甲概念的外延 真包含真包含乙概念的外延乙概念的外延 ，如，如下图所示，那么，这两个概念具有下图所示，那么，这两个概念具有从属

6、关系从属关系。其中，外延较其中，外延较大大的那个概念叫做的那个概念叫做属概念属概念，外延，外延较较小小的那个概念叫做的那个概念叫做种概念种概念。ABBA注：内涵和外延的注：内涵和外延的反比反比关系关系正方形内涵正方形内涵 矩形内涵矩形内涵 平行四边形内涵平行四边形内涵 四边形内涵四边形内涵正方形外延正方形外延 矩形外延矩形外延 平行四边形外延平行四边形外延四边形外延四边形外延 例如四边形和平行四边形是具有属种关系的概例如四边形和平行四边形是具有属种关系的概念；实数和有理数也具有属种关系的概念。在念；实数和有理数也具有属种关系的概念。在属种关系中，属种关系中，外延大的那个叫属概念，外延小外延大的

7、那个叫属概念，外延小的那个叫种概念的那个叫种概念（一个概念的属概念是否唯一，（一个概念的属概念是否唯一，一个概念的种概念是否唯一？）一个概念的种概念是否唯一？）注意：注意：一是种类概念之间具有相对性。二是要一是种类概念之间具有相对性。二是要区分从属关系和全体与部分的关系。有的概念区分从属关系和全体与部分的关系。有的概念之间既有从属关系又有全体与部分的关系。有之间既有从属关系又有全体与部分的关系。有的却不然。例如的却不然。例如,对数与它的首数、尾数之间对数与它的首数、尾数之间的关系不是从属关系的关系不是从属关系,只是全体与部分的关系。只是全体与部分的关系。 如果两个概念的外延有且只有部分重合，如

8、果两个概念的外延有且只有部分重合，那么这两个概念具有那么这两个概念具有交叉关系交叉关系或者叫做部分或者叫做部分重合关系，重合关系，AB 如果两个概念的外延间没有任何一部分如果两个概念的外延间没有任何一部分重合的关系，那么这两个概念具有重合的关系，那么这两个概念具有全异关系全异关系，这种关系又叫做这种关系又叫做“全异关系全异关系”或或“排斥关排斥关系系”。 全异关系又分为全异关系又分为反对关系反对关系、矛盾关系和并列矛盾关系和并列关系关系。 反对关系：两个概念的外延完全不同，而且反对关系：两个概念的外延完全不同，而且它们的外延之和小于其属概念的外延，如正它们的外延之和小于其属概念的外延，如正有理

9、数和负有理数相对于有理数来说是反对有理数和负有理数相对于有理数来说是反对关系。关系。AB反对关系ABABC 矛盾关系：两个概念的外延完全不同，并且它矛盾关系：两个概念的外延完全不同，并且它们的外延之和等于其属概念的外延。如有理数们的外延之和等于其属概念的外延。如有理数和无理数相对于实数来说就是矛盾关系和无理数相对于实数来说就是矛盾关系AB矛盾关系ABABC 并列关系：指两个或两个以上的同一系列的类概念，同时对于它们共同的种概念之间的关系，外延无公共部分。内涵和外延的反变关系内涵和外延的反变关系 概念的内涵与外延这两个方面是相互联系、互相概念的内涵与外延这两个方面是相互联系、互相制约的。当概念的

10、内涵扩大时制约的。当概念的内涵扩大时,则概念的外延就缩小则概念的外延就缩小;当概念的内涵缩小时当概念的内涵缩小时,则概念的外延就扩大。内涵和则概念的外延就扩大。内涵和外延之间的这种关系外延之间的这种关系,称为反变关系。称为反变关系。 例如例如,在四边形的内涵中在四边形的内涵中,增加增加“两组对边分别平行两组对边分别平行”这个性质这个性质,那就得到平行四边形的概念那就得到平行四边形的概念,而平行四边形而平行四边形的外延比四边形的外延缩小了。的外延比四边形的外延缩小了。 不过这里要注意不过这里要注意,这种反变关系只能适用于外延间这种反变关系只能适用于外延间存在着包含和被包含的两个概念之间。存在着包

11、含和被包含的两个概念之间。 把概念的内涵用语言表达出来，就是给概念把概念的内涵用语言表达出来，就是给概念下定义。（下定义。（揭示概念内涵的逻辑方法揭示概念内涵的逻辑方法）原始概念原始概念 （一些概念不能再用别的概念来定义，而被作一些概念不能再用别的概念来定义，而被作为概念体系的出发点，这样的概念叫原始概念，或基本概念，为概念体系的出发点，这样的概念叫原始概念，或基本概念，或不定义概念或不定义概念 ） 点、线、面、空间、集合、元素、对应等。点、线、面、空间、集合、元素、对应等。菱形平行四边形四边形多边形正方形点集几何图形 定义的结构定义的结构：被定义项（被定义的概：被定义项（被定义的概念念 ）、

12、定义联项（联系词）和定义项）、定义联项（联系词）和定义项（下定义的概念）。如：（下定义的概念）。如：平行四边形平行四边形就就是是两组对边分别平行的四边形。两组对边分别平行的四边形。概念的划分和分类概念的划分和分类 划分是明确概念外延的逻辑方法，就是将一个划分是明确概念外延的逻辑方法，就是将一个概念所指的事物，按照不同的属性分成若干小类，概念所指的事物，按照不同的属性分成若干小类，从概念来说，就是将一个属概念划分成若干种概念，从概念来说，就是将一个属概念划分成若干种概念，被划分的类叫做划分的母项，若干小类叫做划分的被划分的类叫做划分的母项，若干小类叫做划分的子项。子项。 把一个属概念分为若干个不

13、相容种概念的把一个属概念分为若干个不相容种概念的逻辑方法叫做概念的划分。逻辑方法叫做概念的划分。 概念的分类是划分的特殊形式，是根据概念所概念的分类是划分的特殊形式，是根据概念所反映对象的本质属性或特征所进行的划分。反映对象的本质属性或特征所进行的划分。概念分类的要求：概念分类的要求：（1）排中律（不能同假，必有一真，即）排中律（不能同假，必有一真，即A和和A必居其必居其一，且仅居其一，一，且仅居其一，A或或A）（2）同一律（保持同一性，）同一律（保持同一性，A是是A）（3）矛盾律（使用同一标准，逐级分类等）矛盾律（使用同一标准，逐级分类等）概念学习的基本形式概念学习的基本形式1.概念的概念的

14、形成形成 概念形成就是让学生从大量同类事物的不同例证中概念形成就是让学生从大量同类事物的不同例证中独立发现同类事物的本质属性，从而形成概念。因独立发现同类事物的本质属性，从而形成概念。因此，数学概念的形成此，数学概念的形成实质上是抽象出数学对象的共实质上是抽象出数学对象的共同本质特征的过程。同本质特征的过程。可概括如下：可概括如下：（1）辨别辨别各种刺激模式，通过比较，在知觉水平上各种刺激模式，通过比较，在知觉水平上进行分析、辨认，根据事物的外部特征进行概括。进行分析、辨认，根据事物的外部特征进行概括。（2）分化分化出各种刺激模式的属性。出各种刺激模式的属性。（3）抽象抽象出各个刺激模式的共同

15、属性。出各个刺激模式的共同属性。（4）在特定的情境中检验假设，）在特定的情境中检验假设，确认确认关键属关键属性。性。（5）概括概括，形成概念。，形成概念。（6）把新概念的共同关键属性）把新概念的共同关键属性推广推广到同类事到同类事物中去。物中去。（7）用习惯的形式）用习惯的形式符号表示符号表示新概念。新概念。“函数函数”概念的形成过程：概念的形成过程：1、观察实例，写出变量间的关系表达式：、观察实例，写出变量间的关系表达式：（1）以每小时）以每小时80千米的速度匀速行使的汽车，所驶千米的速度匀速行使的汽车，所驶过的路程和时间过的路程和时间（2）由某一天气温变化的曲线所揭示的气温和时刻）由某一天

16、气温变化的曲线所揭示的气温和时刻（3）用表格给出的某水库的贮水量与水深。）用表格给出的某水库的贮水量与水深。2、找出上例中两变量之间关系的共同本质、找出上例中两变量之间关系的共同本质3、辨别正反例，找出本质属性（一一对应）、辨别正反例，找出本质属性（一一对应）4、概括出函数定义、概括出函数定义5、练习巩固成形、练习巩固成形 教学过程中需注意：教学过程中需注意：（1）提供的刺激模式应该是）提供的刺激模式应该是正例正例，而且数量要恰当；，而且数量要恰当；（2）注意选择那些刺激）注意选择那些刺激强度适当强度适当、变化性大变化性大和和新颖新颖有趣有趣的例子；的例子；（3）让学生进行）让学生进行充分自主

17、充分自主的活动，使他们经历概念的活动，使他们经历概念产生的过程，了解概念产生的条件，把握概念形成产生的过程，了解概念产生的条件，把握概念形成的规律；的规律；（4）在确认了事物的关键属性，概括成概念以后，）在确认了事物的关键属性，概括成概念以后，教师应采取适当措施，使学生认知结构中的新旧概教师应采取适当措施，使学生认知结构中的新旧概念分化，以免造成新旧概念的混淆，新概念被旧概念分化，以免造成新旧概念的混淆，新概念被旧概念所湮没；念所湮没；（5）必须使新概念纳入到已有的概念系统中）必须使新概念纳入到已有的概念系统中去，使新概念与认知结构中已有的起固着点去，使新概念与认知结构中已有的起固着点作用的相

18、关概念作用的相关概念建立建立起起实质实质的和的和非人为非人为的的联联系系；（6）教师的）教师的语言中介语言中介作用很大，因为教师的作用很大，因为教师的语言引导可以使学生更加有的放矢地对概念语言引导可以使学生更加有的放矢地对概念的具体事例进行分析、归纳和概括；的具体事例进行分析、归纳和概括；（7）教师一定要扎扎实实地引导学生完成概）教师一定要扎扎实实地引导学生完成概念形成的每一个步骤。念形成的每一个步骤。（5）必须使新概念纳入到已有的概念系统中）必须使新概念纳入到已有的概念系统中去，使新概念与认知结构中已有的起固着点去，使新概念与认知结构中已有的起固着点作用的相关概念作用的相关概念建立建立起起实

19、质实质的和的和非人为非人为的的联联系系；（6）教师的）教师的语言中介语言中介作用很大，因为教师的作用很大，因为教师的语言引导可以使学生更加有的放矢地对概念语言引导可以使学生更加有的放矢地对概念的具体事例进行分析、归纳和概括；的具体事例进行分析、归纳和概括；（7）教师一定要扎扎实实地引导学生完成概）教师一定要扎扎实实地引导学生完成概念形成的每一个步骤。念形成的每一个步骤。2.2.概念的概念的同化同化 概念同化的学习形式是利用学生认知结构中的原有概念同化的学习形式是利用学生认知结构中的原有概念，以定义的方式直接向学生揭示概念的本质属概念，以定义的方式直接向学生揭示概念的本质属性。性。 由奥苏伯尔的

20、有意义接受学习理论可知，要使学生由奥苏伯尔的有意义接受学习理论可知，要使学生有意义地同化新概念，必须：有意义地同化新概念，必须： 第一第一，新概念具有，新概念具有逻辑意义逻辑意义；第二第二，学生的认知结，学生的认知结构中构中具备具备同化新概念的同化新概念的适当知识适当知识；第三第三，学生，学生积极积极主动主动地使这种具有潜在意义的新概念与他认知结构地使这种具有潜在意义的新概念与他认知结构中的有关观念发生中的有关观念发生相互作用相互作用，改造旧知识，使新概，改造旧知识，使新概念与已有认知结构中的相关知识进一步分化和融会念与已有认知结构中的相关知识进一步分化和融会贯通。贯通。概念同化的阶段概念同化

21、的阶段（1）揭示揭示概念的概念的关键属性关键属性，给出定义、名称和符号；，给出定义、名称和符号；（2）对概念进行特殊的）对概念进行特殊的分类分类，讨论这个概念所包含，讨论这个概念所包含的各种特例，突出概念的本质特征；的各种特例，突出概念的本质特征；（3）使新概念与已有认知结构中的有关观念建立联）使新概念与已有认知结构中的有关观念建立联系，把新观念纳入到已有概念体系中，系，把新观念纳入到已有概念体系中，同化同化新概念；新概念；（4）用肯定例证和否定例证让学生辨认，使新概念）用肯定例证和否定例证让学生辨认，使新概念与已有认知结构中的相关概念与已有认知结构中的相关概念分化分化；（5）把新概念纳入到相

22、应的概念体系中，使有关概）把新概念纳入到相应的概念体系中，使有关概念念融会贯通融会贯通，组成一个整体。，组成一个整体。 如如“一次函数一次函数”的概念的概念给出名称、定义、符号：函数给出名称、定义、符号：函数特例特例： 等等把一次函数与函数概念、一次多项式概念等作把一次函数与函数概念、一次多项式概念等作比较比较用肯定、否定用肯定、否定例证例证让学生让学生辨认辨认：Rbkbkxy,其中0,ybyxykxy1, 0, 1yybxyxy) 0( 3,2axayxyxy 教学过程中要注意：教学过程中要注意：（1）同化方式学习概念，实际上是用演绎方）同化方式学习概念，实际上是用演绎方式来理解和掌握概念。

23、因为它是从抽象定义式来理解和掌握概念。因为它是从抽象定义出发来学习的，所以应注意出发来学习的，所以应注意及时利用实例及时利用实例，使抽象概念获得具体例证的支持；使抽象概念获得具体例证的支持；（2）学习中必须经过）学习中必须经过概念分类概念分类这一步，使学这一步，使学生从外延角度进一步对概念进行理解；生从外延角度进一步对概念进行理解；（3）在引入概念的同时，要求学生掌握一定）在引入概念的同时，要求学生掌握一定的的智力动作智力动作，以防止出现知道概念的定义而，以防止出现知道概念的定义而不知如何将它用于解题的情况；不知如何将它用于解题的情况；（4）为学生及时提供应用概念进行）为学生及时提供应用概念进

24、行推理推理、论论证证的机会，在应用中强化概念，以防止由于的机会，在应用中强化概念，以防止由于没有经历概念形成的原始过程而出现的概念没有经历概念形成的原始过程而出现的概念加工不充分、理解不深刻的情况；加工不充分、理解不深刻的情况；（5）一定要将所学概念）一定要将所学概念纳入纳入到到已有认知结构已有认知结构中，形成概念系统。中，形成概念系统。概念教学的基本要求和教法探讨概念教学的基本要求和教法探讨概念的引入概念的引入概念的明确概念的明确概念的系统化概念的系统化概念的运用概念的运用1、概念的引入、概念的引入（1）原始概念）原始概念 一般采用描述法和抽象化法或用直观说明或指一般采用描述法和抽象化法或用

25、直观说明或指明对象的方法来明确。明对象的方法来明确。 “针尖刺木板针尖刺木板”的痕迹引入的痕迹引入“点点”、用、用“拉紧拉紧的绳的绳”或或“小孔中射入的光线小孔中射入的光线”来引入来引入“直线直线”的方法是的方法是直观说明直观说明法，法，“1，2，3，叫做叫做自自然数然数”是是指明对象指明对象法。法。（2）对于用概念的形成来学习的概念对于用概念的形成来学习的概念 一般可通过一般可通过观察实例观察实例，启发学生抽象出本质属性，启发学生抽象出本质属性，师生共同进行讨论，最后再准确定义。师生共同进行讨论，最后再准确定义。（3）对于用概念的同化来学习的概念）对于用概念的同化来学习的概念（a）用属加种差

26、定义的概念）用属加种差定义的概念 新概念是已知概念的特例，新概念可以从认知结构新概念是已知概念的特例，新概念可以从认知结构中原有的具有较高概括性的概念中繁衍出来。中原有的具有较高概括性的概念中繁衍出来。（b）由概念的推广引入的概念）由概念的推广引入的概念 讲清三点：推广的讲清三点：推广的目的和意义目的和意义； 推广的推广的合理性合理性； 推广后更加广泛的推广后更加广泛的含义含义。（c）采用对比方法引入新概念）采用对比方法引入新概念 当新概念与认知结构中已有概念不能产生从当新概念与认知结构中已有概念不能产生从属关系，但与已有的旧概念有相似之处时可属关系，但与已有的旧概念有相似之处时可采用此法。采

27、用此法。 关键是讲清不同之处，防止概念的负迁移。关键是讲清不同之处，防止概念的负迁移。（d）根据逆反关系引入新概念）根据逆反关系引入新概念 多项式的乘法引入多项式的因式分解、由乘多项式的乘法引入多项式的因式分解、由乘方引入开方、由指数引入对数等。方引入开方、由指数引入对数等。 关键是讲清逆反关系。关键是讲清逆反关系。(4)发生式定义发生式定义 通过观察实例或引导学生思考，进行讨论，通过观察实例或引导学生思考，进行讨论，自然得出构造过程，即揭示出定义的合理性。自然得出构造过程，即揭示出定义的合理性。数学概念引入实例选择注意以下几个方面 针对性。应围绕数学概念的本质属性选择实例,要淡化这些实例中的

28、非本质属性,以免干教学概念的形成。可比性。既要设计所要形成的数学概念的正例，又要设计不符合这一概念的反例, 在概念引入阶段，正例与反例应当容易识别,能明显区分它们的某些不同属性。数学概念的引入选择实例注意以下几个方面 适量性。实例要有一定的数量，数量太少不足以形成概念,数量太多会浪费学习时间并使学生感到乏味，实例的数量应因人而异,为此应充分了解学生的学习水平与接受能力。 趣味性。实例应尽可能生动、有趣，语言要简练，以利于激发学生的学习兴趣,还可借助实物模型、图片、录像、多媒体课件等多种形式引人概念。数学概念的引入选择实例注意以下几个方面 参与性。组织学生对所列举的实例进行比较、分类，并进一步展

29、开讨论,找出它们的本质属性。概念的引入概念的引入概念的明确概念的明确概念的系统化概念的系统化概念的运用概念的运用2、概念的明确、概念的明确 定义的必要理解；定义的必要理解； 表示概念的名称或符号的正确使用；表示概念的名称或符号的正确使用； 抓住掌握概念的关键；抓住掌握概念的关键； 举出肯定例证和否定例证；举出肯定例证和否定例证； 充分揭示概念的内涵；充分揭示概念的内涵；3、概念的系统化、概念的系统化4、概念的运用和深化、概念的运用和深化数学概念运用的设计应注意精心设计例题和习题,可以有以下几种 数学概念的识别。针对数学概念中容易出错的地方有目的地设计一些问题,供学生鉴别,以加深印象。与概念引人

30、和理解阶段相比,这里的问题可以多一些隐蔽性，也可以设置一些干扰因素。数学概念的简单运用。编制一组问题对所概括的数学概念加以运用，这组问题应当是递进的,有一定的变化,难度不宜过高。数学概念运用的设计应注意精心设计例题和习题,可以有以下几种 数学概念的灵活运用。有时直接利用概念的定义来解决问题,常常可以将问题化难为易,如利用椭圆、双曲线和抛物线的定义解有关焦点半径、焦点弦的问题往往比较简单。教师可以选择有关的问题作为例题和习题,培养学生灵活运用数学概念解决问题的能力. 目前在我国的数学教学中在该方面所存在的问题：目前在我国的数学教学中在该方面所存在的问题： 忽视概念的形成过程，否定新概念的形成需要

31、一忽视概念的形成过程，否定新概念的形成需要一个过程。个过程。 忽视结论的推导过程，认为学数学就是学一些结忽视结论的推导过程，认为学数学就是学一些结论去解题论去解题 忽视方法的思考过程。忽视方法的思考过程。（产生的后果：学生对数学知识的理解水平下降；（产生的后果：学生对数学知识的理解水平下降；分析、综合等能力低下；学生负担过重等。）分析、综合等能力低下；学生负担过重等。）美国（杜宾斯）的美国（杜宾斯）的APOSAPOS理论理论 Action（活动）（活动）Process（过程）（过程） Object（对象）（对象）Scheme（图式）（图式）函数概念 第一阶段操作（Action）阶段理解函数需要进行活动或操作例如，在有现实背景的问题中建立函数关系y= ，需要用具体的数字构造对应：24；39；416；525通过操作，理解函数的意义2x 第二阶段过程（Process）阶段把上述操作活动综合成函数过程一般地有x ；其它各种函数也可以概括为一般的对应过程：xf(x)2x 第三阶段对象（Object）阶段然后可以把函数过程上升为一个独立的对象来处理；比如，函数的加减乘除、复合运算等在表示式f(x)g(x)中，函数f(x)和g(x)均作为整体对象出现 第四阶段概型（Scheme）阶段此时的函数概念，以一种综合的心理图式而存在于脑海中，在数学知识体系中占有特