中考复习专题——解直角三角形

1、中考二轮复习之解直角三角形一近三年娄底市中考中解直角三角形的分值与百分比2014年2015年2016年分值(分)比率(%)分值(分)比率(%)分值(分)比率(%)娄底市119.17119.1786.67 二.课标要求1.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角；2.探索勾股定理及其逆定理，并掌握运用它们解决一些简单的实际问题；3.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sin A、cos A、tan A)；知道30°、45°、60°角的三角函数值；

2、4.能用锐角三角函数解直角三角形，并用相关知识解决一些简单的实际问题三知识回顾1知识脉络直角三角形边的关系：勾股定理边角关系：锐角三角函数解直角三角形角的关系：两个锐角互余锐角三角函数的应用2基础知识(1)勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方即：如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形ACB斜边cA的对边aA的邻边b图7-1 (2)锐角三角函数锐角三角函数的定义如图7-1，在RtABC中，C=90°，则sin A=，cos A=

3、，tan A=sin A、cos A、tan A分别叫做锐角A的正弦、余弦、正切，统称为锐角A的三角函数锐角三角函数的取值范围0<sin A<1，0<cos A<1，tan A>0各锐角三角函数间的关系sin A=cos (90°A)，cos A=sin (90°A)特殊角的三角函数值asin acos atan a30°45°160°使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角(3)解直角三角形解直角三角形的的定义：已知边和角(其中必有一条边)，求所有未知的边和角.解直角三角形的依据角的关

4、系：两个锐角互余；边的关系：勾股定理；边角关系：锐角三角函数；解直角三角形的常见类型及一般解法RtABC中的已知条件一般解法两边两直角边a，b(1)；(2)由求出A；(3)B=90°A.一直角边a，斜边c(1)；(2)由求出A；(3)B=90°A.一边一锐角一直角边a，锐角A(1)B=90°A；(2)；(3).斜边c，锐角A(1)B=90°A；(2)a=c·sin A；(3)b=c·cos A.实际问题中术语的含义如图7-2，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角铅垂线视线视线水平

5、线仰角俯角图7-2 ai=h:lhl图7-3 如图7-3，坡面的铅垂高度(h)和水平宽度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即坡度通常写成1m的形式，如i=16坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有=tan a显然，坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡.方位角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°角的为方位角 解决实际问题的关键在于建立数学模型，要善于把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的问题在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，应根据题目要求的精确度确定答案四例题分析：1.勾股定理与锐角三角函数知识的应用例1 在RtABC中，C=90°，若sin A=

6、，则cos A的值为()A B C D【分析】先画出图形，由于cos A=，故只需求得AC，AB的关系，可利用sin A=先求得BC，AB的关系，再利用勾股定理即可求得【解】选D【说明】本题主要是要学生了解三角函数的定义及勾股定理解决这一类问题，必须熟练掌握三角函数的定义以及勾股定理的应用，把它们有机地结合起来，因此在复习时要引导学生加强对基础知识的巩固 变式： 如图7-4，在RtABC中，C=90°，AB=10，sin A=.求BC的长和tan B的值【分析】用正弦的定义即可求得BC，而要求tan B则先要用勾股定理求得ACBAC图7-4【解】sin A=，AB=10，BC=4AC

7、=，tan B=【说明】本题是最基本的解直角三角形问题2.仰角、俯角、方位角、坡角和坡度(或坡比)的概念图7-6-1CDBHAE45°60°例1 如图7-6-1，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米(i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比)(1)求点B距水平面AE的高度BH；(2)求广告牌CD的高度(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米参考数据：1.414，1.732)【分析】(1)显然在

8、RtABH中，通过坡度的概念求出BH、AH；(2)在ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在RtCBG中，CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE-DE即可求出宣传牌的高度【解】(1)如图7-6-2，过B作BGDE于G，CDBHAE45°60°G图7-6-2在RtABF中，i=tanBAH=，BAH=30°. BH=AB=5；(2)由(1)得：BH=5，AH=5，BG=AH+AE=5+15.在RtBGC中，CBG=45°， CG=BG=5+15在RtADE中，DAE=60°，AE=1

9、5，DE=AE=15CD=CG+GEDE=5+15+5-15=20-102.7m答：宣传牌CD高约2.7米【说明】此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键图7-7-145°36°52AEBDC例2 如图7-7-1，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52已知山高BE为56m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE(参考数据：sin36°520.60，tan36°520.75)【分析

10、】根据楼高和山高可求出EF，继而得出AF，在RtAFC中表示出CF，在RtABD中表示出BD，根据CF=BD可建立方程，解出即可【解】如图7-7-2，过点C作CFAB于点F设塔高AE=x，由题意得：EF=BE-CD=56-27=29，AF=AE+EF=(x+29)，在RtAFC中，ACF=36°52，AF=(x+29)，45°36°52AEBDCF图7-7-2CF=x+，在RtABD中，ADB=45°，AB=x+56，BD=AB=x+56.CF=BD，x+56=x+. 解得：x=52.答：该铁塔的高AE为52米【说明】本题考查了解直角三角形的应用，解答本

11、题的关键是构造直角三角形，注意利用方程思想求解，难度一般图7-8-145°60°BCPA东北例3 如图7-8，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正东方向，AB=2(单位：km)有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向(1)求点P到海岸线l的距离；(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向求点C与点B之间的距离(上述两小题的结果都保留根号)【分析】(1)过点P作PDAB于点D，设PD=x km，先解RtPBD，用含x的代数式表示BD，

12、再解RtPAD，用含x的代数式表示AD，然后根据BD+AD=AB，列出关于x的方程，解方程即可；(2)过点B作BFAC于点F，先解RtABF，得出BF=AB=1，再解RtBCF，得出BC=BF=【说明】本题中涉及到方位角的问题，引导学生分析三角形的形状后，通过作高构造直角三角形是解题的关键这一问题的解决，会让学生进一步感悟到数学知识在现实生活中的广泛应用变式：1如图，天空中有一个静止的广告气球C，从地面点A测得点C的仰角为45°，从地面点B测得点C的仰角为60°已知AB=20 m，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度(结果保留根号)2如图所示，海上有一灯塔P，

13、在它周围3海里处有暗礁，一艘客轮以9海里时的速度由西向东航行，行至A点处测得P在它的北偏东60°的方向，继续行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险?3.数形结合思想与转化思想的渗透例3 如图7-5-1是工人将货物搬运上货车常用的方法,把一块木板斜靠在货车车厢的尾部,形成一个斜坡,货物通过斜坡进行搬运根据经验,木板与地面的夹角为20°(即图10-5-2中ACB=20°)时最为合适,已知货车车厢底部到地面的距离AB=1.5m,木板超出车厢部分AD=0.5m,请求出木板CD的长度(参考数据：sin 20

14、°0.3420,cos 20°0.9397,精确到0.1m)ABCD图7-5-1 图7-5-2【分析】在RtABC中,利用ACB的正弦即可求得AC的长,进而可得CD【说明】本题考查学生运用数学知识分析、解决简单实际问题的能力本题取材于学生熟悉的生活实际,解决这类题目的难度虽不大,但有利于引导学生关注生活中的数学,关注身边的数学,培养他们从实际问题中抽象出数学模型的能力,促进学生形成学数学、用数学、做数学的良好意识变式：1.如图所示，某风景区内有一古塔AB，在塔的北面有一建筑物，冬至日的正午光线与水平面的夹角是30°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD；而在

15、春分日正午光线与地面的夹角是45°，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C有15米的距离（B、E、C在一条直线上），求塔AB的高度（结果保留根号）2如图，在观测点E测得小山上铁塔顶A的仰角为60°，铁塔底部B的仰角为45°已知塔高AB=20m，观察点E到地面的距离EF=35m，求小山BD的高（精确到0.1m，1.732）3如图所示，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一高压输电的铁架，小山的斜坡的坡度i=1：，斜坡BD的长是50米，在山坡的坡底处测得铁架顶端A的仰角为45°，在山坡的坡项D处测得铁架顶端A的仰角为60° （1）求小山的高度；（2）求

16、铁架的高度（1.73，精确到0.1米）四综合演练填空题1如图1，防洪大堤的横断面是梯形，坝高AC等于6米，背水坡AB的坡度i=1：2，则斜坡AB的长为_米2如图2所示，AB是O的直径，弦AC、BD相交于E，则等于（ ）AtanAED BcotAED CsinAED DcosAED3如图3，在矩形ABCD中DEAC于E，设ADE=a，且cos=，AB=4，则AD的长为（ ）A3 B4如图两条宽度为l的带子以角交叉重叠，则重叠部分(阴影部分)的面积是 A、sin B C D 5有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6 m，下底长为10 m，高为2m，那么此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别是 ( )A

17、，60° B，30° C，60° D，30°解答题：1某地某时刻太阳光与水平线的夹角为31°，此时在该地测得一幢楼房在水平地面上的影长为30m，求这幢楼房的高AB（结果精确到1m）（参考数据：sin31°0.52，cos31°0.86，tan31°0.60）2为测量某塔AB的高度，在离该塔底部20m处目测塔顶，仰角为60°，目高为1.5m，试求该塔的高度（精确到0.1m，1.7）3如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.78米，她乘电梯会有碰头危险吗

18、？姚明身高2.29米，他乘电梯会有碰头危险吗？（可能用到的参考数值：sin27°=0.45，cos27°=0.89，tan27°=0.51）（图6）4某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建造地下停车库，图6是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中， ABBD，BAD18o，C在BD上，BC0.5m根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入小明认为CD的长就是所限制的高度，而小亮认为应该以CE的长作为限制的高度小明和小亮谁说的对？请你判断并计算出正确的结果（结果精确到0.1m）参考数据：Sin180=0.31,Cos180=0.95,tan180=0.325新5RtABC中，C=90°，AC=12，A的平分线AD=8，求BC，AB6两建筑物AB和CD的水平距离为45