第四节行列式的性质PPT课件

1、第四节第四节 行列式的性质行列式的性质 一、行列式的性质一、行列式的性质 二、应用举例二、应用举例 三、小结、思考题三、小结、思考题一、行列式的性质一、行列式的性质 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式. TDD记记nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211证明证明 的转置行列式的转置行列式记记ijaDdet ,212222111211nnnnnnTbbbbbbbbbD ,1,2,ijjibai jn即按定义按定义 .1121212121

2、 nppptnppptTnnaaabbbD 又因为行列式又因为行列式D可表示为可表示为 .12121 nppptnaaaD故故.TDD 证毕证毕 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .设行列式设行列式,2122221112111nnnnnnbbbbbbbbbD 说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.是由行列式是由行列式 变换变换 两行得到的两行得到的, ijaDdet ji,于是于是 njinpjpipptbbbbD1111 111ijn

3、tpjpipnpaaaa ,111nijnpjpipptaaaa ,1为为自自然然排排列列其其中中nji.1的逆序数的逆序数为排列为排列njippppt则有则有即当即当 时时,jik, ;kpkpab 当当 时时,jik, ,ipjpjpipabab ,11tppppn的逆序数为的逆序数为设排列设排列ji例如例如推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零. .证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 . 0 D,DD ,111tt 故故 .11111DaaaaDnijnpjpippt 证毕证毕,571571 266853.8258

4、25 361567567361266853 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式. .kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 行列式的某一行（列）中所有元素的公行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面因子可以提到行列式符号的外面推论推论2行列式中如果有两行（列）元素成比例，行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零则此行列式为零证明证明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaa

5、a21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 性质性质4 4若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和. .nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如性质性质5把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到

6、另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa122221111111111112122221()()()ijjnijjjijnninjnjnjaakaaaaakaaackcaakaaa k例如例如例例2101044614753124025973313211 D二、应用举例二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的值jikrr 3 2101044614753124025973313211 D3 解解210104

7、4614753124022010013211312 rr2101044614753140202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2 3 122rr 4 42rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 144rr 133rr 2220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211 23rr 2 6000001000211003512013211 612 454rr .12 64000010002110035120132

8、11 352rr 4 例例2 2 计算计算 阶行列式阶行列式 nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D将第将第 都加到第一列得都加到第一列得n, 3 , 2 abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1(00 .)() 1(1 nbabna 这一行列式的特点是只有两个数，主对角线上的元素全为这一行列式的特点是只有两个数，主对角线上的元素全为a,其他位置上的数全为其他位置上的数全为b，根据这一特点，将第，根据这一特点，将第2至第至第n行行(列列)都加到第都加到第1行行(列列)上去，从而第上去，从

9、而第1行行(列列)变成相同的数，进一步变成相同的数，进一步将该行列式化为三角形行列式求出其值将该行列式化为三角形行列式求出其值. 对于这类题目，用这对于这类题目，用这种方法是最简便的种方法是最简便的.121121121121113 .11nnnnnnnnnaaaaaaaaDaaaaaaaa 例例求求解 此题可仿照例2，将第2列至第n列都加到第1列上去做.（略）例例4 4nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110 设设,)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 证明证明证明证明;0111111kk

10、kkkpppppD 设为设为化为下三角形行列式化为下三角形行列式，把，把作运算作运算对对11DkrrDji 化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把作运算作运算对对22,DkccDji .0111112nnnknqqpqqD 设为设为,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把算算列作运列作运，再对后，再对后行作运算行作运算的前的前对对DkccnkrrkDjiji, nnkkqqppD1111 故故.21DD (行列式中行与列具有同行列式中行与列具有同等的地位等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立同样成立). 计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利用利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值列式的值三、小结、思考题三、小结、思考题行列式的行列式的5个性质个性质思考题思考题阶行列式阶行列式计算计算41111111111112222