第二章 自动控制系统的数学模型§2-1 动态微分方程

1、一、基本概念一、基本概念 1、系统的数学模型、系统的数学模型：描述系统输入输出变量以及各变量之间 关系的数学表达式 1）动态模型：描述系统处于暂态过程中个变量之间关系的表达式，它一般是时间函数。 如：微分方程，传递函数，状态方程等。2）静态模型：描述过程处于稳态时各变量之间的关系。一般不是时间函数2、建立动态模型的方法、建立动态模型的方法 1）机理分析法：用定律定理建立动态模型。 2）实验法：用实验数据提供的信息，采用辨识方法建模。3、建立动态模型的意义、建立动态模型的意义：找出系统输入输出变量之间的相互关系，以便分析设计系统，使系统控制效果最优。 二、列写系统微分方程的步骤二、列写系统微分方

2、程的步骤 1、确定系统的输入量和输出量 2、根据系统所遵循的基本定律，依次列写出 各元件的微分方程 3、消中间变量，得到只含输入、输出量的标 准形式l iu2u1rc三、举例三、举例 例1：设有由电感l，电容c和电阻r组成的电路，如图所示。试求出以输出电压u2为输出变量和以输入电压u1为输入变量的微分方程。u2u1rlci（1 1）确定电路的输入量和输出量）确定电路的输入量和输出量解解：u1u1为输入量，为输入量，u2u2为输出量为输出量（2 2）依据电路所遵循的电学基本定律列写微分方程）依据电路所遵循的电学基本定律列写微分方程（3 3）消去中间变量，得到）消去中间变量，得到u2与与u1的关系

3、方程的关系方程) 3()2(1) 1 (2121udtdilriuidtcuudtdiluriuuuuuclrclr对（2）式求导得 22,1uciicu即代入（3）式并整理得 122222uudtdurcdtudlc例2：如图所示为一弹簧阻尼系统。图中质量为m的物体受到外力作用产生位移y，求该系统的微分方程。解：解：（1 1）确定输入量和输出量）确定输入量和输出量输入量：外力输入量：外力f f（t) t) 输出量输出量: :位移位移y(t)y(t)（3 3）消去中间变量，得到）消去中间变量，得到输入与输出的关系方程输入与输出的关系方程（2 2）列写原始微分方程）列写原始微分方程kbffffm

4、a其中其中dtdyffb阻尼器的粘性摩擦力阻尼器的粘性摩擦力kyfk弹簧的弹力弹簧的弹力（1 1）将以上各式代入（1）式得 整理得 kydtdyffdtydm22fkydtdyfdtydm22例3：设有带直流电动机系统，如图所示。试列写系统微分方程。解：解：raxu cxn （1）确定输入输出量 输入量ua， 设 输出量n，设 （2）列微分方程等效电路如图所示 电枢回路的微分方程： nceeancdtdilriueaaaaaec-电势常数 电动机机械微分方程 若考虑电动机负载力矩和粘性摩擦力力矩时：dtdngdtttfunian3752（2-2）（2-1）电动机机械微分方程 若考虑电动机负载力

5、矩和粘性摩擦力力矩时：dtdngdtttfunian3752其中dtdfwftnian.，通常忽略不计。 电动机电磁转距与电枢电流成正比 amict （3）消去中间变量 将（2-3）带入（2-4）得 （2-3）（2-4）（2-5）（2-6）dtcdngdima3752222375dtndcgddtdima将（2-5）,（2-6）带入（2-1）得 eaemaemcundtdnccrgddtndccragdrala3753752222（2-7）令： aaarlt -电动机机电时间常数 meamccrgdt3752-电动机电磁时间常数 得 eammacundtdntdtndtt2（2-8）若以 为输

6、入，电动机转角 为输出 audtdwwn602dtdn302230dtddtdn332230dtddtnd 将（2-9）（2-10）（2-11）带入（2-8）得 eammacudtddtdtdtdtt105. 02233（2-9） （2-10） （2-11） （2-12） 例例4 下图所示为闭环调速控制系统，编写控制系统 微分方程。 (2)编写各环节的微分方程解：(1)确定系统输入输出量 输入量为给定电压ug=xr,输出量为电动机转速n=xc. 1）比例放大环节 0321iii0120201rururukfg假定0201rr)()()(10112020112fgfgfgkuukruurrururu，有2）可控硅整流功率放大环节ud=ksuk ； ks-电压放大系数 (2-15) (2-16) 3）直流电动机edmmdcundtdntdtndtt22其中 memccrgdt3752rlltdsd r电动机回路和可控硅整流电路总电阻 4）反馈环节sffnkusfk比例系数 (3) 消去中间变量 (2-17) 将式（2-15）（2-16）代入（2-17）经整理得： ndtdnckktdtndckkkttessfmessfmd/1/1221)/1 (11essfess