人教A版高中数学必修1第二章基本初等函数(1)2.2对数函数导学案(1)

1、指数函数和对数函数1、指数函数：定义：函数），=优（。0且4W1）叫指数函数。定义域为吊底数是常数，指数是自变量。为什么要求函数），= /中的a必须。0且。工1 0因为若a 0时，y =（Y）'，当x =（时，函数 值不存在。67=0, y = 0v,当xKO,函数值不存在。a = l时，y = 1、对一切x虽有意义，函数值恒 为1,但），=1、的反函数不存在，因为要求函数y = a'中的a 0且。*1。1、对三个指数函数y = 23=，y = 10v的图象的认识。图象特征与函数性质:图象特征函数性质（1）图象都位于X轴上方：（1） X取任何实数值时，都有/0；（2）图象都经过

2、点（0, 1）:（2）无论a取任何正数，x = 0时，y=l；（3） y = 21 y= 10、在第一象限内的纵坐 标都大于1,在第二象限内的纵坐标都小于1, ）' = （；）的图象正好相反：,1 L>o,则/>i（3）当时， x<0,则/<1L>o,则当Ovavl时，x<0, lax > 1（4） y = 2r, y= 10、的图象自左到右逐渐 上升，）' = （；）的图象逐渐下降。（4）当。1时，y = 4"是增函数，当0。1时，y是减函数。对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）：所有指数函数的图象交叉相交于点

3、（0, 1）,如y = 2*和，=10、相交于（0, 1）, 当x0时，y = 10、的图象在丁 = 2、的图象的上方，当x0,刚好相反，故有IO?？? 及 10-2 2-。/ 1 .V）,=2，与）,=1的图象关于'轴对称。、2）通过y = 2、，y = 10v,=三个函数图象，可以画出任意一个函数y = 1（a0且awl）的示意图，如y = 3、的图象，一定位于y = 2、和y = 10、两个图象的中的示意图，即间，且过点（0, 1）,从而），=（乡 也由关于y轴的对称性，可得y 通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。2、对数：定义：如果= N（a > 0且&quo

4、t; W 1）,那么数6就叫做以a为底的对数，记作。=log. N（a是底数，N是真数，log. N是对数式。）由于N = a" >0故log. N中A，必须大于O0当N为零的负数时对数不存在。（1）对数式与指数式的互化。由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如：求 bgo.32分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成logo.32=不再改写为指数式就比较好办。解：设小瓦的=Xri t5则 0.321 =4唱H驴2即 log。/竽）=-；评述：由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题， 因此必须因题而异。如求3&

5、#39;=5中的工，化为对数式x = log3 5即成。（2）对数恒等式：由/ = N （1） b = logfl N （2）将（2）代入（1）得“叫”=N运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须累的底数和 对数的底数相同。计臬飞2-近12 解：原式=3 -%（3）对数的性质:负数和零没有对数;1的对数是零;底数的对数等于晨（4）对数的运算法则：题/的卜3加+啕汽W，N CR）log擀= l°g,M7°g*(M, Nglog“(N") = log“N(N£/?+)log。"=Log。N (Ne/r) n '73、

6、对数函数：定义：指数函数y = /m>0且 wl）的反函 数y = logn x x e（0,*o）叫做对数函数。1、对三个对数函数y = log2 x, y = log, x,图象特征函数性质（1）图象都位于y轴右侧；（1）定义域：R，值或：R；（2）图象都过点（1, 0）:(2) x = 1 时，y = 0 o 即 log。1 = 0 ；（3） y = log2 x, y = Igx 当。> 1 时，图象 在X轴上方，当0cx<0时，图象在X轴下 方,y = logl x与上述情况刚好相反；2（3）当。>1 时，若 X>1,则），>0,若 0<%&

7、lt; 1,则y<0：当Ocavl时，若x>0,则），<0,若Ovxvl时，RiJ y > 0；（4） y = log2 x, y = Igx从左向右图象是上 升，而y = log %从左向右图象是下降。2（4）时，y = logx是增函数；0<。<1时，y = logaX是减函数。y = lgx的图象的认识。图象特征与函数性质：对图象的进一步的认识（通过三个函数图象的相互关系的比较）：（1）所有对数函数的图象都过点（1,0）,但是y = log2X与），= lgx在点（1,0）曲 线是交叉的，即当x>0时，y = log2X的图象在y =怆工的图象上

8、方；而0Vxvl时， ），=1。82X的图象在），=坨工的图象的下方，故有：log? 1.5> 1g 1.5； log?0.1 v 1g0.1 °（2） y = log2 x的图象与），=log J的图象关于x轴对称。2（3）通过），=1强2X，y = lgx，y = iogj三个函数图象，可以作出任意一个对数函数的示意图，如作y = log? x的图象，它一定位于y = log2 v和y = lg.v两个图象的中间, 且过点（1,0） , x>0时，在y = lgx的上方，而位于y = log?x的下方，0<xvl时， 刚好相反，则对称性，可知F = log】x的

9、示意图。因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。4、对数换底公式：bglogfL,、N = log, N(其中e = 2.71828)称为N的自然对数4N = logwN称为常数对数由换底公式可得:Ige坨N0.4343=2.3031g TV由换底公式推出一些常用的结论：(1) log b = 或 log。/?，log；, a = 1 log”。(2) log , b1" = logu b(3) log bn = log b(4) log,/'n5、指数方程与对数方程*定义：在指数里含有未知数的方程称指数方程。在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而 属于超越方程。指数方程的题型与解法：名称题型解法基本型 同底数型 不同底数型 需代换型afx =b=产) aM = "6 Ju °取以a为底的对数/(X)= log。b 取以a为底的对数/(x)=0(X) 取同底的对数化为J(x) Tg" = e(x)Igb