形成不同拉压允许应力Michell桁架的有限元方法

1、形成不同拉压允许应力Michell桁架的有限元方法第25卷第3期2008年6月计算力学ChineseJournalofComputationalMechanicsJune2008文章编号:10074708(2008)03036404形成不同拉压允许应力Michell桁架的有限元方法周克民(华侨大学土木工程学院,泉州362021)续分布,这样避免了单元之问材料性质的突变,因此从根本上避免了单元铰接,棋盘榕现象以及单元依赖性等数架.由有限元分析得到结点位置处的主应力方向作为杆件方向,根据主应力方向的应变和材料拉压允许应力调整杆件密度.最后由结点位置的杆件方向形成Michell桁架中连续分布杆件.关

2、键词:结构优化;拓扑优化;Michell桁架;有限元方法中图分类号:TU323文献标识码:A引言结构拓扑优化试图在无限的设计空问内寻找满足一定条件的最优解.以杆系结构为例,设计空间的无限性是指拓扑优化问题的变量是无限多的化过程中拓扑结构发生变化,拓扑优化过程不是同非线性优化问题,无法确定优化结果是否是全局最优解.因此,结构拓扑优化被认为是结构优化问题中最具挑战性的问题1.在结构拓扑优化研究中,Michell理论具有里程碑的意义】.他研究了应力约束下的最小重量桁架,后来被称为Michell桁架,或最小重量桁架.Michell桁架同时也是最小柔度桁架2.后来,HempL3j,Rozvany4等对M

3、ichell理论作了重要了拓扑优化问题的上述重要困难,但他没有给出一理论长期以来没有得到应有的发展.HempE,Rozvany和Lewinskil6等用解析方法也仅推导出了几个Michell桁架.尽管如此,Michell理论在拓扑优化研究领域至今仍具有重要指导意义.收稿日期:20051024;修改稿收到日期:2008一O1一O7.基金项目:教育部科学技术研究重点项目(208169);福建省自然科学基金(E0640010)资助项目.作者简介:周克民(1962一),男,博士,教授(Email: ).因为它不仅揭示了拓扑优化结构的"类桁架连续体"性质,而

4、且Michell桁架目前普遍被作为检验其他方法正确性的基准.虽然"类桁架连续体"不是工程意义上的桁架,不便于工程上的直接应用,但研究表明,由"类桁架连续体"简化得到的,仅由少量杆件构成的近拓扑优化结构的重量与理论解的误差很小7.本文中的材料在设计域内连续变化,这从根本上避免了目前各种拓扑优化方法中经常出现的单元铰接,棋盘格现象以及单元依赖性等数值计算的不稳定性问题.Matsui8也采用了材料在设计域内连续分布的方法解决了该问题,但是其材料模型与Michell桁架不具有对应关系,不能形成类桁架结构.虽然本文研究的是单工况问题,但本文中的方法可以进一步推广到

5、多工况的情况.笔者曾研究了拉压允许应力相同情况下的Michell桁架的有限元形成方法1,本文将该问题推广到材料拉压允许应力不相同的情况,在算法上也作了重要改进,使材料在设计域内连续变化,显着提高了计算精度.2类桁架连续体材料模型一般情况下,Michell桁架是类桁架连续体.类桁架连续体在任一点都是由无限细无限密的杆,T区域的杆件是正交的.单向拉(压)2个区域R和R一都第3期周克民:形成不同拉压允许应力Michell桁架的有限元方法365S一是各向均匀拉(压)区域,所有方向都是优化的,也可以用正交异性材料描述.所以,这里引入正交异性材料模型描述Michell桁架的类桁架连续体.将杆件的两个正交方

6、向定义为材料主轴方向,将这杆件具有相同的弹性模量E.在Michell桁架内,由于轴力和变形都沿材料主轴方向,所以材料主轴外,考虑到要能够描述各向同性材料,材料沿主轴方向的弹性矩阵作如下假设:D(1,t2)一E?diagEt1t2(1+t2)/43(1)与坐标轴夹角为a,在坐标轴方向的弹性矩阵成为D(t1,t2,a)一Tr(a)D(1,t2)(a)(2)式中(a)为坐标转置矩阵:厂COSasina0.5sin2asin2asin2acos2aj(3)为减少后面迭代过程的计算量,对式(2)作进一步变换,定义为.(a)一r(a)D(1,o)(a)一EgA(4)D2(a)=r(a)D(o,1)(a)一

7、E2giA(5)式中5l1=12=13=523=l,521=522=一l(6)g1一sin2a,g2一COS2a,g3一l(7)厂o0lqA=÷fooJ,Az=专diag1l】10lA.一ag专从而,弹性矩阵可以进一步写为D一2t一E2tg4D一N(,7)D(t2,q)(11)Js式中是单元号,N(,7)是形函数,和是单元局部坐标,S是属于单元e的结点集合,将式(9)带入式(11)得D一EN,tgiA(12)|将式(12)带入单元刚度矩阵的定义为七一IBD.Bdn(13)J得屯一EgNBTAiBbid一|2tsblgH(14),bi式中EINBAd(15)Jll如果能够采用规则单元网

8、格,巩是与单元无关的常数矩阵,可以事先计算出来,这样可以显着减少计算量.4优化方法优化分析过程采用了基于优化准则方法的迭代算法,基本过程如下:(1)划分有限单元.初始化设计变量,t1jtzl,一0(=l,2,J)(16)式中.厂为结点总数,初始时材料为各向同性.(2)在第i次迭代过程中,由有限元分析得到结点处两个主应力方向,+/2,以及这两个方向的应变fj和.设材料的拉,压允许应力分别为和,调整杆件的方向和密度为a一(l,2,.厂)(17)(8)斗1一'一(9)3单元刚度矩阵以结点位置的杆件密度和方向作为优化设计变量,结点处的弹性矩阵成为D(t1,t2,a,)(10)到:&gt

9、;-l,2)(18)一踢警<_l,2,致单元刚度矩阵奇异,限制过小的杆件密度,=max(t,-/+)(61,2;l,2,J)(19)式中的最小密度值取为一R?max()(2o)式中R是事先给定的一个很小的数,本文取RlO.重复过程(2),直到两次迭代过程中,所有设计,(1,【计算力学第25卷变量的最大相对改变量小于一个事先给定的值,本文中该值取为0.1,至此得到优化的材料连续分布场.5形成Michell桁架上述过程得到的材料连续分布形式不便于应用,下面讨论将其转化为形象的Michell桁架的方法,以便将结果可视化.Michell桁架是由无限细,为分布杆件无限多,所以只能表示出一部

10、分,在近拓扑优化结构中也仅需选择部分分布杆件;集中杆件则应全部准确表示出来,所以首先确定集中杆件位置.根据平衡条件,集中杆件必然通过集中力作用点(包括铰支座点,下同),所以先从集中力作用杆件方向.首先以集中力作用结点为线段的始点,沿线段始点的杆件方向作直线与相邻单元边界相交,此交点作为线段的终点,由此终点所在单元边界的两端结点的杆件方向插值得到此终点的杆件方向.为了提高计算精度,根据线段终点杆件的方口FI-互图1例1设计域和荷载图3例1结构杆件优化分布图5例1Michell桁架向对始点的方向作一次修正,得到修正后的线段终点;以此线段终点作为下一线段的始点作出下一线段;如此反复直到设计域边界,完

11、成一条折线;对每一个集中力作用点的两个正交方向都可以作出上述折线,至此表示出所有集中杆件,根据平衡条件,曲线杆凹侧必有分布杆件.所以,沿上述集中杆向凹侧等间距画出分布杆件.6算例以两个经典的Michell桁架设计问题为例,如固定,右边自由,右边中点受竖向集中力作用,文献E5给出了解析解,算例2下边左右两个角点铰支,下边中点受竖向集中力作用,文献3给出了解析应力值,弹性模量以及荷载值与拓扑优化结果无算例的杆件密度和方向的优化分布,线段的方向表5和图6给出了两个算例的Miehell桁架.图2例2设计域和荷载图4例2结构杆件优化分布图6例2Michell桁架Fig6TheMiehelltrussof

12、example2第3期周克民:形成不同拉压允许应力Michell桁架的有限元方法3677结语采用正交异性材料模型,在材料拉压允许应力不同的情况下,利用优化准则法,建立了形成度和方向为设计变量,材料性质在设计域内连续均有限元分析方法的灵活性,可以处理各种边界条件的问题.参考文献(References):1ROZVANYGIN.23345LayoutoptimizationBENDS中EMP.KIRSCHU.ofstructuresJ.AppliedMechanicsReviews.1995.48(2):41119.J1.InternationalJournalofMechanicalScienc

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15、44.种方法J.力学,2002,34(6):935940.structingMichelltrussusingfiniteelementmethodJ.ActaMechanicaSinica.2002.34(6):935940.(inChinese)FiniteelementmethodtoestablishMichelltrusswithunequalpermissiblestressesfortensionandcompressionZHUUKerain(SchoolofCivilEngineering,HuaqiaoUniversity.Quanzhou362021.China)Abstract:ThefiniteelementmethodtoestablishMichelltrusswithdifferentpermissiblestressesforties,suchas1一nodeconnectedhinges,checkerboardsandmeshdependencies,disappearedentirely.Basedonoptimalitycriteriamethod,t