第二类面积分学习教案

1、会计学1第二类面积第二类面积(min j)分分第一页，共27页。其方向(fngxing)用法向量指向方向(fngxing)余弦coscoscos 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 为下侧外侧内侧 设 为有向曲面,)(yxSSyxS)(侧的规定表示 :其面元在 xoy 面上的投影记为,0)(yxyxS)(的面积为则规定,)(yx,)(yx,0时当0cos时当0cos时当0cos类似可规定zxyzSS)( ,)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共27页第二页，共27页。1. 引例引例 设稳定流动设稳定流动(lidng)的不可压缩流体的速度场为的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过

2、有向曲面(qmin) 的流量 . S分析分析: 若 是面积为S 的平面, 则流量法向量: 流速为常向量: ),(),(),(zyxRzyxQzyxPv )cos,cos,(cosnvcosvS nvSnv机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共27页第三页，共27页。用“大化(d hu)小, 常代变, 近似和, 取极限” ni 10lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiRcos),(0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxiiiiSR)(,(iiiiQcos),(iS对稳定流动的不可压缩(y su)流体的速度场),(),(),(zyxRzyxQz

3、yxPv 进行分析可得iniviiiSnv)cos,cos,(cosiiiin设, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共27页第四页，共27页。设 为光滑的有向曲面(qmin), 在 上定义了一个意分割(fng)和在局部面元上任意取点,0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(分,yxRxzQzyPdddddd记作P, Q, R 叫做(jiozu)被积函数; 叫做积分曲面积分曲面.yxiiiiSR)(,(或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场xdydzdPQR),(),(),(zyxRzyxQzyxPA 若对 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标

4、的曲面积机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共27页第五页，共27页。引例中, 流过有向曲面(qmin) 的流体的流量为zyPddxzQdd称为Q 在有向曲面(qmin)上对 z, x 的曲面(qmin)积分;yxRdd称为R 在有向曲面(qmin)上对 x, y 的曲面(qmin)积分.称为P 在有向曲面上对对 y, z 的曲面积分的曲面积分;yxRxzQzyPdddddd若记 正侧正侧的单位法向量为令)cos,cos,cos(n)dd,dd,d(dddyxxzzySnS) ),(, ),(, ),(zyxRzyxQzyxPA 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式机动 目录 上页

5、下页 返回 结束 第5页/共27页第六页，共27页。(1) 若,1kiiki 1之间无公共(gnggng)内点, 则i且(2) 用 表示 的反向(fn xin)曲面, 则 SA dSASAddiSA dyxRxzQzyPddddddSnAdSA d机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共27页第七页，共27页。定理定理: 设光滑设光滑(gung hu)曲面曲面yxDyxyxzz),( , ),(:取上侧,),(zyxR是 上的连续函数, 则yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd证证:0limni 1yxiiiiSR)(,(yxiS )(yxi)( 取上侧,),(i

6、iiz0limni 1) ,(iiR),(iizyxi)(yxx,yzyxRyxDdd)(,(yxzyxRdd),(机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共27页第八页，共27页。 若,),( , ),(:zyDzyzyxx则有zyzyxPdd),(), (zy,PzyD),(zyxzydd 若,),( , ),(:xzDxzxzyy则有xzzyxQdd),() z, ,(xzDxQ),(xzyxzdd(前正后负)(右正左负)说明说明(shumng):如果积分(jfn)曲面 取下侧, 则yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd机动(jdng) 目录 上页

7、 下页 返回 结束 第8页/共27页第九页，共27页。yxxzxzzyzyyxdd)(dd)(dd)(其中(qzhng) 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方体的整个(zhngg)表面的外侧.解解: 利用对称性.原式yxxzdd)(3 的顶部 ),(:2221aaayxz取上侧 的底部 ),(:2222aaayxz取下侧1dd)(3yxxzyxDyxxadd)2(3yxxz2dd)(yxxayxDdd)2(yxDyxadd333axzy机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共27页第十页，共27页。解解: 把把 分为上下分为上下(shngxi)两部分两部分2211:yxz根据对称性0d

8、dyxxyz 思考思考(sko): 下述解法是否正确下述解法是否正确:,ddyxxyz其中 为球面2x外侧在第一和第八卦限部分. ozyx112yxD0,01:),(22yxyxDyxyx2221:yxz122zy机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共27页第十一页，共27页。yxDyxyxyxdd 1222221cossin2rryxDrrrd1210315220d2sinozyx112yxDyxzyxdd2ddyxzyx1ddyxzyxyxDyxxydd )1(22yx yxDyxxydd 221yx ddrr机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第11页/共27页第十

9、二页，共27页。1222zyx的外侧(wi c) , 计算SxxzyI2cosdd2解解: 利用利用(lyng)轮换对称性轮换对称性, 有有Sxxzy2cosdd20cosddcosdd22SSzyxyxzSzzyxI2cosdd102221cos1drrrr102221cos1d4rr1tan4yxz2cosddzzyx2cosdd,cosdd22Szzyx122222221cos1ddyxyxyxyx20d22机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共27页第十三页，共27页。ni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxRxzQzyPddddddyxiiiiSR)(,

10、(0lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiQcos),(iiiiRcos),(iSSRQPdcoscoscos曲面的方向用法向量的方向余弦(yxin)刻画机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第13页/共27页第十四页，共27页。令yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscosSAnd向量(xingling)形式),(RQPA )cos,cos,(cosn)dd,dd,d(dddyxxzzySnS SA dnAAnSnAd( A 在 n 上的投影)机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第14页/共27页第十五页，共27页。解解:Srqd2SRqd2q4。q

11、)(),(22233zyxrzyxrqrrqE求E 通过球面 : r = R 外侧的电通量 .SE dSnEdSrrdrrq3机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共27页第十六页，共27页。yxz111,1:22yxz是其外法线(f xin)与 z 轴正向夹成的锐角(rujio), 计算.dcos2SzI解解: SzIdcos2yxzdd2rrrd)1(d210202yxDyxyxdd)1(22n机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第16页/共27页第十七页，共27页。221cosyxx其中(qzhng)解解: 利用两类曲面利用两类曲面(qmin)积分的联系积

12、分的联系, 有有zyxzdd)(2)(2xzSdcosyxddcoscosoyxz2 原式 =)( x )(2xzyxzdd,dddd)(2yxzzyxz旋转抛物面)(2221yxz介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. )(2xz2211cosyx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共27页第十八页，共27页。)( xxyxD222)(41yx oyxz2原式 =)(2221yx yxyxxyxDdd)(22212rrrrd)cos(221220220d8yxdd得代入将,)(2221yxz机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第18页/共27页第十九页，共2

13、7页。定义定义(dngy):Szyxfd),(iiiniiSf),(lim10yxRxzQzyPddddddzyiiiiniSP),(lim10yxiiiiSR),(1. 两类曲面积分两类曲面积分(jfn)及其联系及其联系xziiiiSQ),( 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共27页第二十页，共27页。yxRxzQzyPddddddyxRxzQzyPdddddd联系联系(linx):yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos思考思考(sko):的方向有关,上述联系公式是否矛盾 ?两类曲线积分的定义一个与 的方向无关, 一个与 机动 目录 上页 下页 返回 结束

14、第20页/共27页第二十一页，共27页。面积(min j)分第一类 (对面积(min j)第二类 (对坐标)二重积分(1) 统一积分变量代入曲面方程 (方程不同时分片积分)(2) 积分元素投影第一类： 面积投影第二类： 有向投影(4) 确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面 注注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共27页第二十二页，共27页。yxDyxyxzz),( , ),(:时，yxzzyxzyxfSzyxfyxDyxdd1),(,(d),(22yxyxzyxRyxzyxRyxDdd),(,(dd),(（上侧取“+”, 下侧取“”)类似

15、(li s)可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式 .机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共27页第二十三页，共27页。1. P167 题2提示提示(tsh): 设设,),( ,0:yxDyxz则 取上侧时,yxzyxRdd),(yxDyxyxRdd),(0 取下侧时,yxzyxRdd),(yxDyxyxRdd),(02. P184 题 13. P167 题3(3)机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第23页/共27页第二十四页，共27页。,),(Czyxf是平面(pngmin)1zyx在第四卦限部分(b fen)的上侧 , 计算zyxzyxfIdd),(xzyzyxfdd),(2yxzzyxfdd),(提示提示(tsh):求出 的法方向余弦,转化成第一类曲面积分作业作业 P167 3 (1) ,(2) , (4) ; 4 (1), (2)SzyxId)(31Sd31yxxd3d01103121第六节 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共27页第二十五页，共27页。,ddddddzyxyxzxzyI1:222222czbyax取外侧(wi c) .解解:zyxdddxdycyxDbyax,2222111dxdycyx