一元二次方程的解法

1、一元二次方程的解法 一元二次方程的解法一、知识要点： 一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基 础，应引起同学们的重视。 一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程。 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解 法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。 二、方法、例题精讲： 1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n0)的 方程，其解为

2、x=m± . 例1解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以 此方程也可用直接开平方法解。 （1）解：(3x+1)2=7× (3x+1)2=5 3x+1=±(注意不要丢解) x= 原方程的解为x1=,x2= （2）解： 9x2-24x+16=11 (3x-4)2=11 3x-4=± x= 原方程的解为x1=,x2= 2配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项

3、系数化为1：x2+x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2 方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2= 当b2-4ac0时，x+ =± x=(这就是求根公式) 例2用配方法解方程 3x2-4x-2=0 解：将常数项移到方程右边 3x2-4x=2 将二次项系数化为1：x2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2 配方：(x-)2= 直接开平方得：x-=± x= 原方程的解为x1=,x2= . 3公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式=b2-4ac的值，当b2-4ac0时，把各项 系数a,

4、 b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac0)就可得到方程的根。 例3用公式法解方程 2x2-8x=-5 解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0 a=2, b=-8, c=5 b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 x= = = 原方程的解为x1=,x2= . 4因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让 两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个 根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4用因式分解法解下列方程： (1) (x+3)(x

5、-6)=-8 (2) 2x2+3x=0 (3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学） (1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) x1=5,x2=-2是原方程的解。 (2)解：2x2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) x1=0，x2=-是原方程的解。 注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二

6、次方程有两个解。 (3)解：6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) 2x-5=0或3x+10=0 x1=, x2=- 是原方程的解。 (4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （4 可分解为2 ·2 ，此题可用因式分解法） (x-2)(x-2 )=0 x1=2 ,x2=2是原方程的解。 小结： 一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般 形式，同时应使二次项系数化为正数。 直接开平方法是最基本的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法

7、），在使用公式 法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程 是否有解。 配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法 解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方 法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。 例5用适当的方法解下列方程。（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0 （3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 分析：（1）首先应观察题目有无

8、特点，不要盲目地先做乘法运算。观察后发现，方程左边可用平方差 公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。 （2）可用十字相乘法将方程左边因式分解。 （3）化成一般形式后利用公式法解。 （4）把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。 （1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0 2(x+2)+3(x-3)2(x+2)-3(x-3)=0 (5x-5)(-x+13)=0 5x-5=0或-x+13=0 x1=1,x2=13 （2）解： x2+(2- )x+ -3=0 x-(-3)(x-1)=0 x-(-3)=0或x-1=0 x1=-3，x2=1 （3

9、）解：x2-2 x=- x2-2 x+ =0 (先化成一般形式) =(-2 )2-4 ×=12-8=4>0 x= x1=,x2= （4）解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0 2x-(m+2)2x-(m+3)=0 2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0 x1= ,x2= 例6求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (选学） 分析：此方程如果先做乘方，乘法，合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐，仔细观察题目，我 们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体，则方程左边可用十字相乘法

10、分解因式（实际上是运用换元的方 法） 解：3(x+1)+2(x-4)(x+1)+(x-4)=0 即 (5x-5)(2x-3)=0 5(x-1)(2x-3)=0 (x-1)(2x-3)=0 x-1=0或2x-3=0 x1=1,x2=是原方程的解。 例7用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0 解：x2+px+q=0可变形为 x2+px=-q (常数项移到方程右边) x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方) (x+)2= (配方) 当p2-4q0时，0（必须对p2-4q进行分类讨论） x=- ±= x1= ,x2= 当p2-4q<0时，&l

11、t;0此时原方程无实根。 说明：本题是含有字母系数的方程，题目中对p, q没有附加条件，因此在解题过程中应随时注意对字母 取值的要求，必要时进行分类讨论。 练习： （一）用适当的方法解下列方程： 1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3 3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0 5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0 （二）解下列关于x的方程 1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0 练习参考答案： （一）1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2 3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2= 6.

12、解：（把2x+3看作一个整体，将方程左边分解因式） (2x+3)+6(2x+3)-1=0 即 (2x+9)(2x+2)=0 2x+9=0或2x+2=0 x1=-,x2=-1是原方程的解。 （二）1解：x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解：x2-(+ )ax+ a· a=0 x-( +b) x-( -b)=0 (x- a)(x-a)=0 x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0 x1= +b，x2= -b是 x1= a，x2=a是 原方程的解。 原方程的解。 测试 选择题 1方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ） A、x=5 B、x=-5 C、x1

13、=x2=5 D、x1=x2=-5 2多项式a2+4a-10的值等于11，则a的值为（ ）。 A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7 3若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数，一次项系数和常数项之和等于零，那么方程必有一个 根是（ ）。 A、0 B、1 C、-1 D、±1 4 一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为（ ）。 A、b0且c=0 B、b=0且c0 C、b=0且c=0 D、c=0 5 方程x2-3x=10的两个根是（ ）。 A、-2，5 B、2，-5 C、2，5 D、-2，-5 6 方程x2-3x+3=0的解是（ ）。 A、 B、 C、

14、 D、无实根 7 方程2x2-0.15=0的解是（ ）。 A、x= B、x=- C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=- 8 方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（ ）。 A、(x-)2= B、(x- )2=- C、(x- )2= D、以上答案都不对 9 已知一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解该方程配方后的方程是（ ）。 A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1 答案与解析 答案：1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D 解析： 1分析：移项得：(x

15、-5)2=0，则x1=x2=5, 注意：方程两边不要轻易除以一个整式，另外一元二次方程有实数根，一定是两个。 2分析：依题意得：a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7. 3分析：依题意：有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时， ax2+bx+c=a+b+c，意味着当x=1 时，方程成立，则必有根为x=1。 4分析：一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一个根为零， 则ax2+bx+c必存在因式x，则有且仅有c=0时，存在公因式x，所以 c=0. 另外，还可以将x=0代入，得c=0，更简单！ 5分析：原方程变为 x2-3x-10=0, 则(x-5)(x+2)=0

16、x-5=0 或x+2=0 x1=5, x2=-2. 6分析：=9-4×3=-3<0，则原方程无实根。 7分析：2x2=0.15 x2= x=± 注意根式的化简，并注意直接开平方时，不要丢根。 8分析：两边乘以3得：x2-3x-12=0，然后按照一次项系数配方，x2-3x+(-)2=12+(- )2， 整理为：(x-)2= 方程可以利用等式性质变形，并且 x2-bx配方时，配方项为一次项系数-b的一半的平方。 9分析：x2-2x=m, 则 x2-2x+1=m+1 则(x-1)2=m+1. 中考解析 考题评析 1（甘肃省）方程的根是（ ） （A） （B） （C） 或 （D

17、） 或 评析：因一元二次方程有两个根，所以用排除法，排除A、B选项，再用验证法在C、D选项中选出正确 选项。也可以用因式分解的方法解此方程求出结果对照选项也可以。选项A、B是只考虑了一方面忘记了一元 二次方程是两个根，所以是错误的，而选项D中x=1，不能使方程左右相等，所以也是错误的。正确选项为 C。 另外常有同学在方程的两边同时除以一个整式，使得方程丢根，这种错误要避免。 2（吉林省）一元二次方程的根是_。 评析：思路，根据方程的特点运用因式分解法，或公式法求解即可。 3（辽宁省）方程的根为（ ） （A）0 （B）1 （C）0，1 （D）0，1 评析：思路：因方程为一元二次方程，所以有两个实

18、根，用排除法和验证法可选出正确选项为C，而A、 B两选项只有一个根。D选项一个数不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。 4（河南省）已知x的二次方程的一个根是2，那么k=_。 评析：k=4.将x=-2代入到原方程中去，构造成关于k的一元二次方程，然后求解。 5（西安市）用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为（ ） （A）x=3+2 （B）x=3-2 （C）x1=3+2 ,x2=3-2 （D）x1=3+2,x2=3-2 评析：用解方程的方法直接求解即可，也可不计算，利用一元二次方程有解，则必有两解及8的平方 根，即可选出答案。 课外拓展 一元二次方程 一元二次方程（quadrat

19、ic equation of one variable）是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二 次的整式方程。 一般形式为 ax2+bx+c=0, (a0) 在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它 的倒数之和等于 一个已给数，即求出这样的x与，使 x=1, x+ =b, x2-bx+1=0, 他们做出( )2；再做出 ，然后得出解答：+ 及 - 。可见巴比伦人已知道一元二次 方程的求根公式。但他们当时并不接受 负数，所以负根是略而不提的。 埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，例如：ax2=b。 在公元前4、5世纪时，我国已掌握了一元二

20、次方程的求根公式。 希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中 之一。 公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的婆罗摩修正体系中，得到二次方程x2+px+q=0的一个求根公 式。 在阿拉伯阿尔花拉子米的代数学中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种 不同的形式，令 a、b、c为正数，如ax2=bx、ax2=c、 ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c 等。把二次方程分成 不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一 次 给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理

21、根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的 1、一元二次方程的求根公式将一元二次方程ax2bxc=0(a0)进行配方，当b24ac0时的根为该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2bxc=0(a0)；(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.2、一元二次方程的根的判别式（1）当b24ac0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b24ac=0时，方程有两个相

22、等的实数根；（3）当b24ac0时，方程没有实数根二、重难点知识1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考

23、虑运用。(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。2、在运用b24ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：（1）b24ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b24ac；（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；（3）根的判别式是指b24ac，而不是三、典型例题讲解例1、解下列方程：(1)；(2)；(3).分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，解：

24、(1)因为a=1，c=10 所以 所以(2)原方程可化为 因为a=1，c=2 所以 所以.(3)原方程可化为 因为a=1，c=1 所以 所以； 所以总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行例2、用适当方法解下列方程： 分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。就直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法这四种方法而言，配方法、公式法是一般方法，而开平方法、因式分解法是特殊方法。 公式法是最一般的方法，只要明确了二次项系数、一次项系数和常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入一元二次方程的求根公式求值，所以对某些方程，解法又显得复杂了。如，可以直接开平方，就能马上得出解；若此时还用求根公式就显得繁琐了。 配方法是一种非常重要的方法，在解一元二次方程时，一般不使用，但并不是一定不用，若能合理地使用，也能起到简便的作用。若方程中的一次项系数有因数是偶数，则可使用，计算量也不大。如，因为224比较大，分解时较繁，此题中一次项系数是-2。可以利用用配方法来解，经过配方之后得到，显得很简单。 直接开平方法一般解符合型的方程，如第