第九时间序列分析基础学习教案

1、会计学1第九第九 时间时间(shjin)序列分析基础序列分析基础第一页，共61页。2021年12月19日星期日第1页/共60页第二页，共61页。2021年12月19日星期日)cov(), 2, 1, 0()();, 2 , 1()(), 2 , 1(functionariancesautoYkYYEtYEYYttYktktkttttt称为自协方差函数为平稳序列，则称）为常数）满足下述条件：是一个随机变量。若，即对任意固定的是一个随机时间序列，第2页/共60页第三页，共61页。2021年12月19日星期日0110)(11)2, 1, 0()2, 1, 0()(0)2 , 1(kkknttktnt

2、tkkkttktYYYYnYnYkkYYEtY样本自相关函数：样本自协方差函数：时间序列的样本均值：自相关函数为：自协方差函数为：的时间序列是均值为假设第3页/共60页第四页，共61页。2021年12月19日星期日0,)4()3()2(0)()1(1121020 njnkkjkjnktaaaaaYE皆有对于任意实数非负定性对称性第4页/共60页第五页，共61页。2021年12月19日星期日111)()()()(1)()()()(*1)(1)(LLLLqpLLLLLLLLaLaLapqqpqpqpppppp可逆，并记为和可以无穷大，那么称和式中，使得和若有两个算子表达式或幂函数算子表示的无穷多项

3、式更一般的，给出以滞后式：以滞后算子表示的多项为了应用的需要，给出第5页/共60页第六页，共61页。2021年12月19日星期日ttittusttttptpttttttuYLYuEststuuEuEupARpuYYYYYuY)(0)()3(0)()2(0)() 1 ()(22211表示为：引入滞后算子，模型可质：是白噪声，满足下列性模型阶自回归模型，简称称为为自回归序列，序列称的型为自回归模型，相应的线性函数，则称此模值和一个误差项可以表示为它的先前的如果时间序列第6页/共60页第七页，共61页。2021年12月19日星期日1.AR(p)模型的平稳性条件模型的平稳条件它就是从而，非负，所以由于

4、，即：由上式有：，是平稳的，则有如果序列：该式两边平方再取期望模型为：假定模型的平稳条件：) 1 (, 10)1 ()()1 ()()()1 ()()()()(2)()()()(,) 1 () 1 (1212221222221212221211122121211211ARYEYEYEYEYEYYEuYEuEYEuYEYEuYYARARutututtttuttttttttttt第7页/共60页第八页，共61页。2021年12月19日星期日的根在单位圆外就等价与那么平稳条件式中模型可以写为，利用滞后算子0)(11)()() 1 (11LLLuYLARLtt归模型。则称此模型为平稳自回，根的模皆大于

5、的根全在单位圆外，即如果式中模型假设平稳自回归模型定义：10)(1)()()(221LLLLLuYLpARpptt第8页/共60页第九页，共61页。2021年12月19日星期日模型的平稳域。所构成的集合称为数向量的根全在单位圆外的系的滞后多项式模型模型平稳域：)(),(0)()()()(21pARLuYLpARpARptt例：AR(2)模型(mxng)的平稳域的平稳域如图所示的根都在单位圆外。)2(0)(1)()(221ARLLLLuYLtt第9页/共60页第十页，共61页。2021年12月19日星期日21-11 +212 -1121AR(2) 模型(mxng)的平稳域第10页/共60页第十一

6、页，共61页。2021年12月19日星期日1102122112221211211220112111111111)()()()()(),()()()(),(),cov(,)1(211tttttttttttttttttttttttttYuEYuEYEYuuYEYuYEYYEYuEYEYuYEYYEYYuYYARtt其自协方差函数为：模型的自相关函数：第11页/共60页第十二页，共61页。2021年12月19日星期日，这种现象称拖尾。趋向无穷大时，趋于，当所以自相关函数为般的利用数学归纳法可得一01,11001kkkkkkkk221122112211)()()2(kktktktkttktkttttY

7、uYYEYYEuYYYAR其自协方差函数：模型自相关函数：第12页/共60页第十三页，共61页。2021年12月19日星期日2222211211212112211112,1*01也就是时，有当于是就有kkkkk第13页/共60页第十四页，共61页。2021年12月19日星期日kAR(1)1=-0.8AR(1)1=0.8AR(1)序列自相关(xinggun)函数k第14页/共60页第十五页，共61页。2021年12月19日星期日AR(2)1=+0.6 2=+0.2AR(2)1=-0.6 2=+0.2AR(2)序列(xli)自相关函数第15页/共60页第十六页，共61页。2021年12月19日星期

8、日AR(2)1=+0.75 2=-0.5AR(2)1=-0.8 2=-0.6AR(2)序列自相关(xinggun)函数第16页/共60页第十七页，共61页。2021年12月19日星期日pikiikpkpkkkkkkkpkpkktktpktpktkttktktptptttCYuYYYEYYEuYYYYpAR122110221122112211,)()()(解为：这是一个差分方程，通于是得到：且自相关函数：其自协方差函数：模型自相关函数：第17页/共60页第十八页，共61页。2021年12月19日星期日尾序列非截尾序列，称它为拖个在模型的平稳域内是一项，通解中一个阻尼正弦波就构成的一对复根，那么是

9、和若增大按几何级数衰减；随的实根，那么是若。道序列满足平稳性条件知根据kkjjkikiiCCLkCLpARijiii0)(0)(1)(111第18页/共60页第十九页，共61页。2021年12月19日星期日22121211121221122112212112211)(111ker*upppppppppppppppkpkkkpARWalYule估计表示，并且可以它们完全可以用自相关的参数是方程组的解，为方程，表示成矩阵形式称上述方程式为写成：将数：时间序列的偏自相关函第19页/共60页第二十页，共61页。2021年12月19日星期日kjjkWalYuleYYYYEuEkjkkjkjkjkjpjj

10、jpjiijjipjjjptptttut, 2 , 1*ker2)(2211101,102221122表示为个系数，式阶自回归模型的第表示用的偏自相关函数方程可以讨论时间序列用第20页/共60页第二十一页，共61页。2021年12月19日星期日函数。的函数，称为偏自相关为模型阶数中的式解方程组得到对上式的矩阵形式：kkkkkkkkkkkkkk*1111,2, 1*111212121121122111212121211第21页/共60页第二十二页，共61页。2021年12月19日星期日序列时间序列是否为征来判断数序列的拖尾和截尾特这样可以利用自相关函列是截尾的，我们称偏相关函数序项以后的各项都为

11、而，项不为，前时全为序列的偏自相关函数在之间的相关程度与影响后，的，除中间变量偏自相关函数则讨论排之间的相关程度；与自相关函数度量)(0100)(.11pARpppkpARYYYYYYkttkttktt第22页/共60页第二十三页，共61页。2021年12月19日星期日以后截尾。在则可判断或满足计算的根据统计理论，由样本时，当函数实际中，样本偏自相关注意：序列。序列是“拖尾”，可以认定此而且它的自相关函数，即函数在步以后“截尾”的偏自相关若模型识别方法：pknPnPnNpkpARpkYpARkkkkkkkkkkkkkkkkkt%5 . 4)2(%7 .31)1()1, 0()(, 0,)(第2

12、3页/共60页第二十四页，共61页。2021年12月19日星期日的估计值得到样本观测值，利用根据是白噪声是未知参数，式中最小二乘法pptttttptptptttOLSYYYYuuYYYY2121212211,;) 1 (pjijijpjjjuppppppWalYule1,01022102120111021ker)2(方程估计根据第24页/共60页第二十五页，共61页。2021年12月19日星期日第25页/共60页第二十六页，共61页。2021年12月19日星期日稳性的条件。差分，使其能够满足平阶，就可以对序列进行一或接近的根有一个等于由此可知模型。的就是一个满足平稳条件，因此又因为的一阶差分。

13、正是这里则有如果记，上述模型写为：不妨假定为，个根接近，如果这个方程其中一其中：模型例子：110)() 1 ()1 (1,)1 (,)1 (,)1 ()1)(1 (1101)()1 ()2(1211211LARuMLYYYYLuMLMYLuYLLLLLuYLLARttttttttttt第26页/共60页第二十七页，共61页。2021年12月19日星期日是白噪声序列否则认为不是白噪声，则认为下，于是在给定显著性水平分布。的服从自由度为则统计量是白噪声序列，知根据数理统计知识，可分布，构造统计量近似于在大样本的情况下，它的自相关函数，即表示残差设212121212121,),()1, 0(2eee

14、eQkQeeennQnNeeeekkkiiknttkntkttkkk第27页/共60页第二十八页，共61页。2021年12月19日星期日ttqqtqttqtqttttuLuLLLYqqMAYelsaveragemovingYuuuYY)()1 ()(),mod(1571572212111使用滞后算子写法：称为滑动平均参数。，为滑动平均的阶数。模型。记为称为滑动平均序列，简序列的滑动平均模型）为序列则称（）（线性组合，即是现在和过去的误差的若序列值第28页/共60页第二十九页，共61页。2021年12月19日星期日 1.滑动平均序列Yt的自协方差函数和自相关函数qkqkuuuuuuEuuuEYE

15、qkqkkukqtqktktqtqttkuqtqttqt0)()()1 ()()(1121111222211201根据定义第29页/共60页第三十页，共61页。2021年12月19日星期日制。，而且被负指数函数控是的偏相关函数每项都不所以后增大而变小，回归序列。其系数随滞可以表示为无穷阶的自也就是说那么的根是其中因为：的自相关函数序列是拖尾，它是截尾的，而其偏项以后的各项皆为的，项是非的前序列的自相关函数序列由上式知0)()1 (0)()1 (010)(0)1 ()(221122111tttqiiiqiiitqkqkkkYqMAuYLLLuLYqqqMAqkqkiq第30页/共60页第三十一页

16、，共61页。2021年12月19日星期日MA (1)1= -0.8MA (1)1= +0.8形取不同值时，有不同图模型自相关函数例：12111, 101) 1 (kMAk第31页/共60页第三十二页，共61页。2021年12月19日星期日MA (2)1= +1.4, 2= -0.6MA (2)1= -0.8, 2= -0.52011)1 ()2(2221222221211kMAk模型自相关函数：例：第32页/共60页第三十三页，共61页。2021年12月19日星期日MA (2)1= -0.5, 2= +0.2MA (2)1= +0.4, 2= +0.2第33页/共60页第三十四页，共61页。2

17、021年12月19日星期日序列的逆转形式。称为或者：继续迭代下去，有所以：相应的模型的可逆性：) 1 ()(,) 1 (1111221121112111111MAYuYYYuuYYuYYuuYuuYuMAjjtjttjjtjttttttttttttttt第34页/共60页第三十五页，共61页。2021年12月19日星期日模型的平稳域一致模型的可逆域与模型的可逆域模型的可逆域称为所构成的集合外的滑动平均系数向量的根全在单位圆模型的可逆域：凡使模型是可逆的，则称其模都大于的根均在单位圆外，即若之后算子多项式，则不合常理。否则。虽有影响，但越来越小的历史值对现在的的函数来表示，序列的滞后项可以用也就

18、说明这种逆转是有意义的，若)2() 1 (11:) 1 ()(),(0)(,)()()(101)(1, 1112122111ARMAMAqMALuLYqMAqMALLLLYYYYqttqqtttt第35页/共60页第三十六页，共61页。2021年12月19日星期日时是“截尾的”在就可以认为或若，实际上，对序列。平均则可判定该序列是滑动尾，而它的偏相关函数拖步后有即自，序列的自相关函数截尾模型的识别：如果随机qknPnPqkqMAqkqqMAkkkk%5 . 4)2(%7 .31)1()()(0)(第36页/共60页第三十七页，共61页。2021年12月19日星期日211121021212120

19、112221224112)411(21(1.1*1)(0)1(,)(uuuqkqkkuqukkuiqqkkqMA解之得：）时直接求解法的估计。的估计就是对参数第37页/共60页第三十八页，共61页。2021年12月19日星期日21112102211211211141122411) 1 (1411214112*4112, 1) 1 (uMAMA参数估计为满足可逆性条件，因此所以而可逆条件根据第38页/共60页第三十九页，共61页。2021年12月19日星期日用迭代法解时，方程解较复杂，应一般的的解。根据可逆条件选取合理的三个解，可得到解此方程组，时3,)()1 (2212222211212221

20、20qquuuu第39页/共60页第四十页，共61页。2021年12月19日星期日作为近似解。迭代，把的变化不大时，便停止步，出现第。如此循环下去，直到，出第二次迭代值，再将其带入上式，算，的第一次迭代，记为，代入上式，可算出首先给出一组初始值可得由线性迭代法),2 , 1)(),()(),()2(,),2()2(),2() 1 (,),1 () 1 (),1 (),2 , 1(0)0()0()0(,)0()()1 (1)(0)1 (. 222212212221021122221021122212qkmmmmmqkqkkkukuququkuquqkqkukukquqkqkkuquk第40页/共

21、60页第四十一页，共61页。2021年12月19日星期日*000)1 ()()()()()()(1)(0)1 (. 30112110022120012111221201122212qqqqqukukuququququuuuuquuqkqkkuqukqkqkk那么上式变为如果记改写成把拉普森法牛顿第41页/共60页第四十二页，共61页。2021年12月19日星期日01010211010111010100010101000*), 1 , 0(),(*qqqqqqqqqqqkqqqkkFffffffffffFffffqkff变为由此方程组，且记中的各方程式左边记为将方程组第42页/共60页第四十三页

22、，共61页。2021年12月19日星期日), 2 , 1()()()()( )0( )()()( ) 1( 0)( ) 1( )()(1)( 0021qkmmmmifiFiiiiiFifiiikku的近似值，即作为并以定的精度，邻两步的迭代值达到制，按上式迭代，直到相给出初始值即步的迭代值必须满足第，那么步的迭代值为果第拉普森法的原则是：如牛顿第43页/共60页第四十四页，共61页。2021年12月19日星期日足可逆性条件。差分阶数，使该模型满分，应减少，说明此模型有过度差或等于的根有一个接近于如果模型。就是一个可逆滑动平均因此由于则有令，模型可记为有一个根等于如果模型：例：条件主要检验模型的

23、可逆性110)()1 (, 1)1 (,)1 ()1)(1 (10)()()1 ()2(221LWLYWLYWuLuLLYLuLuLLYMAttttttttttt第44页/共60页第四十五页，共61页。2021年12月19日星期日一、ARMA模型(mxng)的定义，其中使用滞后算子写法：参数。称为自回归和滑动平均，和，平均的阶数。分别表示自回归与滑动模型。简记为的自回归滑动平均模型）为序列则称（）（合，即及先前序列值的线性组是现在和过去的误差以若序列值ppttqptqtqttptpttttLLLLuLYLqpqpARMAModelsAverageMovingsiveAutoregresYuuu

24、YYYYY22121211122111)()()(,),(),(277277第45页/共60页第四十六页，共61页。2021年12月19日星期日的根。是的根，是其中：的另一种形式0)(0)()1 ()1 (1111LLuLYLARMAjiqjtjpiti二、ARMA(p,q)模型(mxng)的识别1.ARMA(p,q)模型的平稳性条件模型是平稳可逆的。无公共因子，则称，均在单位圆外，且，和（即的根，的滞后算子多项式如果作用于),()()(), 2 , 2 , 10)(0)(),(11qpARMALLqqjpiLLqpARMAji第46页/共60页第四十七页，共61页。2021年12月19日星期

25、日11 , 11: ),() 1 , 1 (),(),(, ),()()(0)(0)(),(11112121的平稳可逆域为模型的平稳可逆域。所构成的集合称向量数自回归与滑动平均的系无公共因子，其相应的，且的根均在单位圆外，模型中凡使得ARMAqpARMALLLLqpARMAqp第47页/共60页第四十八页，共61页。2021年12月19日星期日)(000)()()() 1()()(22112211212211pkqkkkuYEkqkkkYYEpkpkkkpkpkkkkukttyuyuqyuyupkpkktktk时，所以当其中：第48页/共60页第四十九页，共61页。2021年12月19日星期日

26、均序列。该序列是自回归滑动平均是拖尾的，则可断定关函数的自相关函数与偏自相一般的，如果随机序列见下页图的自相关函数是拖尾的当，的自相关函数例：)() 1 , 1 (, 2,21)(1 (1)(1 (121) 1 , 1 (1111211111122111112211210111RMAkARMAkkuu第49页/共60页第五十页，共61页。2021年12月19日星期日1=-0.51=+0.81=-0.61=-0.21=+0.21=+0.61=+0.71=-0.31=+0.61=+0.2图：ARMA(1,1)自相关(xinggun)函数第50页/共60页第五十一页，共61页。2021年12月19日

27、星期日值是观测时刻以前出现的和其中个样本观测值，有若取容量为设模型：模型的最小二乘估计：000000)()(),(.1uYuYuYnuLYLqpARMAnntt第51页/共60页第五十二页，共61页。2021年12月19日星期日000000001010110100011001001001000100001111032110111211121qqqqpppppqqqqpppp第52页/共60页第五十三页，共61页。2021年12月19日星期日最小二乘估计。的，求上式的最小值，得到，对令从而误差平方和由上式得：, 0, 0)()()()(0010000110000200001YuuYYuYYuuYYuntnntnn第53页/共60页第五十四页，共61页。2021年12月19日星期日由观测值来计算。是样本的自相关函数，其中：第一步：估计的矩估计法qpqqqqpqpqpqqqpqqqpkqpARMA),(. 22