044第四章 - 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

1、X第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析域分析作业：4-1(1)(3)(5)(7),4-3(2)(4),4-4(1-5),4-11,4-33.X X以以傅里叶变换傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它为基础的频域分析方法的优点在于：它给出的结果有着清楚的物理意义给出的结果有着清楚的物理意义 ，但也有不足之处，但也有不足之处，傅里叶变换只能处理符合傅里叶变换只能处理符合狄利克雷条件狄利克雷条件的信号，而有的信号，而有些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析受到限制；受到限制； 另外在求时域响应时运用

2、傅里叶反变换对频率进行的另外在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的无穷积分求解困难。无穷积分求解困难。 ttfd j11( )d( )2tf tF ef tFXX为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，第三章中引为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，第三章中引入了广义函数理论去解释傅里叶变换，同时，还可利入了广义函数理论去解释傅里叶变换，同时，还可利用本章要讨论的拉氏变换法扩大信号变换的范围。用本章要讨论的拉氏变换法扩大信号变换的范围。 优点优点： 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。时，初始条件被自动

3、计入，因此应用更为普遍。 缺点缺点： 物理概念不如傅氏变换那样清楚。物理概念不如傅氏变换那样清楚。X X本章内容及学习方法 本章首先由本章首先由傅氏傅氏变换引出变换引出拉氏拉氏变换，然后对拉氏变换，然后对拉氏正正变换、拉氏变换、拉氏反反变换及拉氏变换的变换及拉氏变换的性质性质进行讨论。进行讨论。 本章本章重点重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频复频域分析域分析。 最后介绍最后介绍系统函数系统函数以及以及H(s)零极点零极点概念，并根据他概念，并根据他们的分布研究们的分布研究系统特性系统特性，分析，分析频率响应频率响应，还要简略介绍，还要简略介绍系统系统稳定性

4、稳定性问题。问题。 注意与傅氏变换的注意与傅氏变换的对比对比，便于理解与记忆。，便于理解与记忆。 X第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析域分析XX主要内容从傅里叶变换到拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换 拉氏变换的收敛域拉氏变换的收敛域 一些常用函数的拉氏变换一些常用函数的拉氏变换 X X一从傅里叶变换到拉普拉斯变换 1( ) etFf tF ttfttdee)(j ( ), e(), :tf t信号乘以衰减因子为任意实数 后容易满足绝对可积条件 依傅氏变换定义称为复频率。称为复频率。具有频率的量纲具有频率的量纲令令 , , j:s )j( F t

5、tfsFtsde 则则1拉普拉斯正变换ttftde)()j( X X2拉氏逆变换 de21ejttjFtf dej21j tFtf jj: s对对积积分分限限：对对 ej tf tF对于是的傅里叶逆变换 et两边同乘 以:j ; djdss其中若 取常数， 则 jjdej21 ssFtfts ttfsFttfFtstdedej j 所以X3拉氏变换对起因信号：起因信号：考虑到实际信号都是有考虑到实际信号都是有 j1jed 1e d 2 js ts tF sf tf ttf tLF sF ssL 正变换逆变换 sFtf:记记作作 ,0 相相应应的的单单边边拉拉氏氏变变换换为为系系统统采采用用 j

6、jtstssdesFjsFLtftdetftfLsF2110 称称为为象象函函数数。称称为为原原函函数数，sFtf ttfsFtsde0 所以X二拉氏变换的收敛0lim( )e0 ttf t 收敛域：收敛域：使使F(s)存在的存在的s的区域称为收敛域。的区域称为收敛域。 记为：记为：ROC(region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件；实际上就是拉氏变换存在的条件； Oj0收敛坐标收敛坐标收敛轴收敛轴收敛区收敛区X例题及说明例题及说明01.lim( )e0ttf t满足的信号成为指数阶信号； 0 0elim. 3 tntt ttt 0eelim. 46.一般求函数

7、的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。进行拉氏变换。进行拉氏变换。为非指数阶信号，无法为非指数阶信号，无法，长快，找不到收敛坐标长快，找不到收敛坐标等信号比指数函数增等信号比指数函数增2e . 5t氏氏变变换换一一定定存存在在；有有界界的的非非周周期期信信号号的的拉拉. 2X三一些常用函数的拉氏变换 0de1)(ttuLst1.阶跃函数2.指数函数 0deeetLsttt011estss 0ests1s 全全s域平面收敛域平面收敛 1de0 tttLst 0ede000ststtttttL 3.单位冲激信号X4tnu(t) 0 detttLst201

8、e11sssst 0ednnstL ttt 0 1dettsnstn 0 de1stts 0 0dee1ttsstst2 n 3222122ssstLstL 3n 43236233ssstLstL 1 nntLsntL 0estnst 0 1dettsnstn1!nnnL ts 1 n 所以所以第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析域分析X主要内容线性线性 原函数微分原函数微分 原函数积分原函数积分延时（时域平移）延时（时域平移） s域平移域平移尺度变换尺度变换 初值初值终值终值 卷积卷积对对s域微分域微分 对对s域积分域积分 X一线性 )()()()(

9、 ,),()( ),()( 22112211212211sFKsFKtfKtfKLKKsFtfLsFtfL 则则为常数，为常数，若若 ttttfj jee21)cos()( 111cos2jjLtss22ss已知已知则则 sLt 1e同理同理 22 sinstL 例题例题X二原函数微分 )0()(d)(d),()( fssFttfLsFtfL则则若若 )0()0()( )0(0d)(d22 fsfsFsffsFsttfL 10)(1)0()(d)(dnrrrnnnfssFsttfL推广：推广：证明：证明： tdetsfetftdetfststst 000 )s(sFf 0 X电感元件的电感元件

10、的s域模型域模型 )()( ),()(sVtvLsItiLLLLL ttiLtvLLd)(d)( )0()()0()()( LLLLLLisIsLissILsV)(tiL )(tvLL sILLs 0LLi sVL 电感元件的电感元件的s模型模型 应用原函数微分性质应用原函数微分性质设设X三原函数的积分 ，则则若若)()(sFtfL sfssFfLt)0()(d)(1 证明：证明： fffttddd00 01 f 00dedtfstt 000de1dettfsfssttst 01tdetfsst 10fs F ssX电容元件的s域模型 )()( ),()(sVtvLsItiLCCCC 设设 t

11、cCiCtv d)(1)( sissICsVCCC)0()(1)()1()0(d)(1)0(10)1( CCCviCiC )0(1)(1 CCvssIsC tiC tvCCsC1 01Cvs sIC sVC电容元件的电容元件的s模型模型 X四延时（时域平移） 0e)()()( )()(00stsFttuttfLsFtfL ，则，则若若 00000de)()()()(tttuttfttuttfLst 0de)(0tsttttf，令令0tt 0,dd ,ttt则有代入上式 000dee)()()(0fttuttfLsst0e)(stsF 证明：证明：X 22211111ssssssF 。求求已知已

12、知)(,4cos2)(sFtuttf 1111 tututLttuLsF例题例题 4-3-1 sFttutf求求,1 已知已知例题例题4-3-2 tttttfsincos4sinsin24coscos2 sss e112X五s域平移 )(e)( )()(sFtfLsFtfLt ，则，则若若 )(dee)(e)(0sFttftfLsttt 证明：证明：例例4-3-3的的拉拉氏氏变变换换求求tt0cose 2020)(cos:sstutL 已知已知 2020)(cose sstutt 所以所以 20200)(sine:stutt 同理同理X六尺度变换 时移和尺度变换都有时时移和尺度变换都有时: :

13、 0 1)( ),()( aasFaatfLsFtfL则则若若 )bat(u)bat(fL若 0de)()(tatfatfLstat令，则 0de)()(afatfLas 0de)(1faas asFa1证明：证明： 00 1 b ,aeasFaabsX)(lim)0()(lim ),()(d)(d)(0ssFftfsFtfttftfst 则则可以进行拉氏变换，且可以进行拉氏变换，且及及若若七初值 由由原函数微分定理原函数微分定理可知可知 ttfLfssFd)(d0)(tttfstded)(d0 tttftttfststded)(dded)(d000 tttfffstded)(d000 X 应

14、化为真分式：应化为真分式：不是真分式不是真分式若若,sFksFsF )()(1 1(0 )lim( )lim( )limssSfs F sksF sksSF S 项。项。中有中有中有常数项，说明中有常数项，说明ttfsF tttffssFstded)(d0)( 0 所以所以0lim lims00s tdetd)t (fdtdetd)t (fdststX例例4-3-4 即单位阶跃信号的初始值为即单位阶跃信号的初始值为1。?)0(,1)(: fssF求求已知已知1)(lim)(lim)0(0 ssFtffst例例4-3-5?)0(,12)( fsssF求求 12212 ssssF因为 ssskss

15、sFfss2122lim)(lim)0( 所以所以2112lim12lim sssss2)0( f所所以以 2f tt中有项X终值存在的条件终值存在的条件: ，则，则的拉氏变换存在，若的拉氏变换存在，若设设)()(d)(d),(sFtfLttftf )(lim)(lim0ssFtfst 上无极点。原点除外轴在右半平面和)(j ssF 八终值 证明证明根据初值定理证明时得到的公式根据初值定理证明时得到的公式 tttffssFstded)(d0)(0 X22)sin( StL例如例如aSeLat 1 tttffssFstssded)(dlim0)(lim000 0lim( )0tff tf)(li

16、mtft X九卷积 )()()()(2121sFsFtftfL dppsFpFsFsFtftfLjj)()(j21 )()(j21)()(212121 则则为有始信号，为有始信号，若若)(),()()()()(212211tftfsFtfLsFtfL 时域卷时域卷积定理积定理频域卷频域卷积定理积定理X证明：证明： ttutfuftftfLstded200121 交换积分次序交换积分次序 ttutfftftfLstdde002121 0, 同同积积分分区区间间：令令xttx xxfftftfLsxsddee002121 12( )( )F s F s单边拉单边拉式变换式变换X十对s微分 ssFt

17、tfLd)(d)( 常用形式：常用形式： 取正整数，则若nsd)s(Fd)()t (ftL)s(F)t (fLnnnn1 十一对s积分 sssFttfLsFtfLd)()()()(，则，则若若第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析域分析X主要内容由象函数求原函数的三种方法由象函数求原函数的三种方法 部分分式法求拉氏逆变换部分分式法求拉氏逆变换 两种特殊情况两种特殊情况 X一由象函数求原函数的三种方法(1)(1)部分分式法部分分式法 (2)(2)利用留数定理利用留数定理围线积分法围线积分法 (3)(3)数值计算方法数值计算方法利用计算机利用计算机X二F(s

18、)的一般形式11101110( )( )( )mmmmnnnna sasa saA sF sB sb sbsbsbai,bi为实数，为实数，m,n为正整数为正整数。 , mnF s当为有理真分式 :式式具有如下的有理分式形具有如下的有理分式形通常通常sF)()()()()()()(2121nnmmpspspsbzszszsasBsAsF 分解分解零点零点极点极点( )0( )0A sF s因为 的零点的零点称为称为的根的根是是sFsAzzzzm,0,321 的极点的极点称为称为的根的根是是sFsBppppn,0,321 ( )0( )B sF s 因为X三部分分式展开法三部分分式展开法 的的极

19、极点点找找出出sF 展展成成部部分分分分式式将将sF tf查拉氏变换表求查拉氏变换表求拉氏逆变换的过程拉氏逆变换的过程X 部分分式展开法(mn) 1.第一种情况：单阶实数极点 ,321为不同的实数根为不同的实数根npppp)()()()(21npspspssAsF 1212( )nnkkkF sspspsp 展开为部分分式展开为部分分式即可将即可将求出求出sFkkkkn,321X第一种情况：单阶实数极点(1)找极点找极点 )3)(2)(1(3322 ssssssF(2)展成部分分式展成部分分式 312123kkkF ssss6116332)(232 ssssssF求系数求系数 X如何求系数k1

20、, k2, k3？1 1 k所所以以1, 1 ss且令且令对等式两边同乘以对等式两边同乘以11321321)1(kskskskss 右边右边1)()1( ssFs左左边边1)3)(2)(1(332)1(12 sssssss, 5)()2(:22 ssFsk同理同理6)()3(33 ssFskX 1estuLt 根据根据 0e6e5e)(:32 ttfttt得得(3)逆变换逆变换362511)( ssssF所以所以X第二种情况：极点为共轭复数 22ssDsAsF sssFjj1 共轭极点出现在共轭极点出现在j .jj21 sKsKsF ssFsKj j1 Fj2j1 ssFsKj j2 Fj2j

21、2 12,K K可见成共轭关系：1jKAB *21jKABKX求f(t)BAKj1 *12jKBAK sKsKLtfjj211C*11eee tj tj tKK2ecossin tAtBt*1111cossine tKKjtKKtX例题。的逆变换的逆变换求求)()52)(2(3)(22tfsssssF )2)(2j1)(2j1(32 sssssF2j12j12210 sKsKsK02, 1 取取 57)2(20 ssFsK52j1)2j1)(2(32j121 ssssK52,51 BA 0 2sin522cos51e2e572 ttttfttX 22 sssFF(s)具有共轭极点，不必用部分分

22、式展开法具有共轭极点，不必用部分分式展开法 2222 ssssF 0 ttsinetcosetftt 求下示函数求下示函数F(s) 的逆变换的逆变换f(t)：解：解：求得求得另一种方法2222 esin() ecos()ttLtssLts 利用X3. 第三种情况：有重根存在 232122)1(12)1)(2()( skskskssssF4)1)(2()2(2221 sssssk1)1)(2()1(12223 sssssk为重根最高次系数为重根最高次系数为单根系数为单根系数31,kk如何求如何求k2 ? X如何求k2?设法使部分分式只保留设法使部分分式只保留k2，其他分式为，其他分式为03212

23、2)1(2)1(2ksksksss 0)2()1()2)(1(222211 ksskkss22222)2(4)2()2(22dd ssssssssss3 2 k所所以以2 (1) :s对原式两边乘以321,1,skk 令时 只能求出若求两边再求导 3212)1(2)1(ddkksskss右边右边 )()1(dd2sFss 左边左边2, 1ks 右右此此时时令令3)2(4122 ssss左边左边X逆变换2)1(11324)( ssssF 0ee3e4)()( 21 ttsFLtfttt所以所以X一般情况11121111)()()()( kkkpskpskpssA1121)1(1)(pskpskk

24、k 求求k11，方法同第一种情况，方法同第一种情况：求其他系数，要用下式求其他系数，要用下式 111111()( )( )kspspkspF sF s111111d( ) 1,2,3,(1)!diiispkF sikis1)(dd , 2112pssFsKi 当当1)(dd21 , 312213pssFsKi 当当X四F(s)两种特殊情况的非有理式的非有理式含含se 非真分式非真分式 化为真分式多项式化为真分式多项式X1.1.非真分式非真分式真分式多项式真分式多项式23795)(223 ssssssF作长除法作长除法 2 3s 462772 2379523 2223232 ssssssssss

25、sss13( )22( )12sF sssF sss121( )12F sss 2f ttt22e( )e( )ttu tu tX2.含e-s的非有理式2111)(1 sssF )(ee)()( 2111tusFLtftt 所以所以 )2(ee2 )2(2)2(1 tutftftt所以所以。求解时利用时移性质求解时利用时移性质，项不参加部分分式运算项不参加部分分式运算 es sssFss2122e)(23e X五五. 用留数定理求逆变换（围线积分法）用留数定理求逆变换（围线积分法） 极点极点的留数的留数stesFSFL)(1 jjstdsesFjtf )(21拉普拉斯逆变换表达式拉普拉斯逆变换

26、表达式01 j 应用应用留数定理留数定理 niirsFL11)(设设极点极点S=pi处的留数为处的留数为ri，并设，并设F(S)est在围线内共在围线内共有有n个极点，则个极点，则X若若p pi i为为一阶一阶极点，则极点，则ipsstiie )s(F)ps(r ikpsstkikie )s(F)ps(dsd!kr 1111ipsstiie )s(F)ps(dsdrk 22当若若p pi i为为k k阶阶极点，则极点，则ipsstiie )s(F)ps(dsdrk 21 3322当第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析域分析X主要内容用拉氏变换法分析电路

27、的步骤用拉氏变换法分析电路的步骤 微分方程的拉氏变换微分方程的拉氏变换 利用元件的利用元件的s域模型分析电路域模型分析电路 X一. 用拉氏变换法分析电路的步骤列列s域方程（可以从两方面入手）域方程（可以从两方面入手） 列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换； 直接按电路的直接按电路的s域模型建立代数方程。域模型建立代数方程。求解求解s域方程。域方程。)()(tfsF，得到时域解答。，得到时域解答。X二微分方程的拉氏变换 )0()(d)(d fssFttfL )0()0()( )0(0d)(d222 fsfsFsffssFsttfL 我们采用我们采用0-系

28、统求解系统求解瞬态瞬态电路，简便起见，只要知电路，简便起见，只要知道道起始状态起始状态，就可以利用元件值和元件的起始状态，就可以利用元件值和元件的起始状态，求出元件的求出元件的s域模型域模型。X 。求求已知已知tvtvtEtEteRC, 0 0 )( )(teRC )(tvC )(tvR)(tiC例4-5-1te(t)E-Evc(t)+- E+-E1v1(t)+-+-CR+-vR(t)S2X)(teRC )(tvC )(tvR)(tiC(1)求起始状态 EvC 0 0)2( t列列方方程程换换等式两边取单边拉氏变等式两边取单边拉氏变 )3( ? tvC求求EtetvttvRCCC )()(d)

29、(d sEsVvssVRCCCC )()0()(vc(t)+- E+-E1v1(t)+-+-CR+-vR(t)S2X（4）求反变换）求反变换t tvCEOE RCssE1210)( e2)( tEEtvRCtC所以所以;0)(EEtvC充电到充电到的的从从 均可。均可。和和换路定则，采用换路定则，采用符合符合和和时，其时，其在求在求 00 00 )(tvCRCSRCvsEsVCC 1)0()(所以所以 RCsssRCE11X求 ?Rvt )()(d)(1 tetvtRtvCRtR EvvRR2)0(, 0)0(1 ）（ )()2(为为变变量量列列微微分分方方程程以以tvRttettvtvRCR

30、Rd)(dd)(d)(1 )(teRC )(tvC )(tvR)(tiCvc(t)+- E+-E1v1(t)+-+-CR+-vR(t)S2XttettvtvRCRRd)(dd)(d)(1 )()()e(tEutEut 因因为为)(2d)e(dtEtt 所以所以EvssVsVRCRRR2)0()()(1 00RvRCsEsVR12)( 所以所以 ( )2e 0tRCRvtEt所以(3)对微分方程两边取拉氏变换对微分方程两边取拉氏变换 t tvRE2OX三利用元件的s域模型分析电路1.电路元件的s域模型 2.电路定理的推广 线性稳态电路分析的各种方法都适用。线性稳态电路分析的各种方法都适用。 ),

31、()(sIti)()(sVtv 0)(0)(:KCLsIti 0)(0)(:KVLsVtv3.求响应的步骤 画画0- -等效电路，求起始状态；等效电路，求起始状态； 画画s域等效模型；域等效模型； 列列s域方程（代数方程）；域方程（代数方程）； 解解s域方程，求出响应的拉氏变换域方程，求出响应的拉氏变换V(s)或或I(s)； 拉氏反变换求拉氏反变换求v(t)或或i(t)。 X电阻元件的s域模型)()(sRIsVRR RsVsIRR)()( 或或R )(sVR)(sIR tRitvRR X电感元件的s域模型)0()()( LLLLiLssIsV利用电源转换可以得到电流源形式的利用电源转换可以得到

32、电流源形式的s域模型：域模型： )0(1)()( LLLisLssVsI sVL sILLs 0LLi sILLs 01Lis sVL ttiLtvLLdd X电容元件的s域模型)0(11)()( CCCvssCsIsV电流源形式：电流源形式： sC1 01Cvs sIC sVC sICsC1 0CCv sVC tCCtiCtvd1 )0()()( CCCCvssCVsISL)0(1lisRRSL)0(lLiSC1)0(1cVsSC1)()(sRIsVRR1( )( )RRIsVsR)0()()(LLLLissLIsu)0(1)(1)(LLLissuslsI)0(1)(1)(cccussIsc

33、su)0()()(ccccusscusI)(siL)(sic)(siL)(siR)(siR)0(cCV)(sic例例：用用s域模型法求解例域模型法求解例4-25电路的电路的vC(t)和和vR(t)。解：解：画出画出s域模型域模型 1() ( )EERI ssCss,)1(2)(RCsREsI)121()()(RCssEsEsCsIsVCvc(t)+- E+-E1v1(t)+-+-CR+-vR(t)S2EvC)0 (RVc(s)+-+-+-/E sI(s)-E/ssC1)121()(RCssEsVC)()21 ()(tueEtvRCtC2( )( ),1REVsRI ssRC)1(2)(RCsR

34、EsI)(2)(tuEetvRCtRRVc(s)+-+-+-/E sI(s)-E/ssC1一一.积分微分方程拉氏变换的步骤积分微分方程拉氏变换的步骤y(t)的微分方程的微分方程 初始条件初始条件y(s)的代数方程的代数方程y(s)的函数的函数 微分方程的解微分方程的解取取拉拉氏氏变变换换取取拉拉氏氏反反变变换换解方程解方程经经典典法法求求解解 1.系统的微分方程为 y(t)+5y(t)+6y(t)=2f(t)+8f(t) 激励f(t)=e-tu(t)，初始状态y(0)=3， y(0-)=2，求响应y(t)。二二.实例分析实例分析解 ：对微分方程取拉氏变换可得 )(8)(2)(6)0()( 5)

35、0()0()(2sFssFsYyssYysysYs) 65()0( )0() 5()(6582)(22ssyyssFssssY( )( )zsziY sY s2317118( )5623zisY sssss123( )( ) (118) ( )ttziziy tL Y seeu t) s (F)8s2()0(y)0(y)5s () s (y)6s5s (,2123( )( ) (34)( )tttzszsy tL Y seeeu t2281281( )561(2)(3)1zsssY sssssss23( )( )( )(377) ( )zszittty ty ty teeeu t) 3(124

36、13sss) t (u)ee4e3 (t 3t2t) t (u)e8e11(t 3t2第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析域分析X1.定义系统函数 sHsEsR 系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比 )(th sH te sE tr sR( ) ( )( )R sH sE s所以 thtetr )()(),()( teLsEtrLsR 其其中中系系统统的的零零状状态态响响应应时时当当 ,)()(tte )()(thtr )()(sHsR )()(sHthL 则则X2.H(s)的几种情况策动点策动点(驱

37、动点驱动点) 函数函数：激励与响应在同一端口时激励与响应在同一端口时 )()()(11sVsIsH 策动点导纳策动点导纳 )()()(11sIsVsH 策动点阻抗策动点阻抗 单端口单端口网络网络 sI1 sV111 双端口双端口网络网络 sI1 sV111 sI2 sV222 )()()(12sVsIsH 转移导纳转移导纳)()()(12sIsVsH 转移阻抗转移阻抗)()()(12sVsVsH 电压比电压比)()()(12sIsIsH 电流比电流比转移函数转移函数：激励和响应激励和响应不不在同一端口在同一端口X3求H(s)的方法 sHth sEsRsH sEsRsH 利用网络的利用网络的s域

38、元件模型图，列域元件模型图，列s域方程域方程微分方程两端取拉氏变换微分方程两端取拉氏变换X例4-6-1 sV11s1s11 sI1 sI2 sI3。导纳函数导纳函数求下图所示电路的转移求下图所示电路的转移)()()(1221sVsIsY 解：解： 1231111 IsIsIsV sss 1231120IsIsIsss 12311210IsIsIssss121112111111 sssssss1211121sss 1X121112111111 sssssss2225sss 1211112 sss2212sss 2512221221 ssssY于是得到于是得到 ,H s为矩阵的行列式 称为网络的特

39、征方程式，反映了的特性。X4.应用：求系统的响应)()()()()(thtetrthsH 方方法法一一：)()()()(trsEsHsR 方方法法二二：X例4-6-2(1)在零起始状态下，对原方程两端取拉氏变换在零起始状态下，对原方程两端取拉氏变换)(6)(2)(6)(5)(22ssEsEssRssRsRs 24 ( )222R ssH sE sss则。和零状态响应和零状态响应，求系统的冲激响应，求系统的冲激响应，激励为，激励为已知系统已知系统)( )()()e1()(d)(d6d)(d2)(6d)(d5d)(dzs2222trthtutettettetrttrttrt )(e4)(2)(2t

40、uttht 所以所以X(2)zs( )( )( )rth te tZS ( )( )( )RsH sE s或因为因为)1(1222)(ZS ssssssR1226)1)(2()12(2 sssss所以所以)(e6)(e2)(2ZStututrtt 所以所以第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析域分析序言序言 H(s)零、极点与零、极点与h(t)波形特征波形特征 H(s) 、E(s)的极点分布与自由响的极点分布与自由响应、强迫响应特性的对应应、强迫响应特性的对应 X 一序言 冲激响应冲激响应h(t)与系统函数与系统函数H(s) 从时域和变换域两方从时域和变

41、换域两方面表征了同一系统的面表征了同一系统的本性本性。 在在s域域分析中，借助系统函数在分析中，借助系统函数在s平面平面零点与极点零点与极点分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多规律。系统的规律。系统的时域、频域特性时域、频域特性集中地以其系统函数的集中地以其系统函数的零、极点分布表现出来。零、极点分布表现出来。 主要优点：主要优点：1可以预言系统的时域特性；可以预言系统的时域特性； 2便于划分系统的各个分量便于划分系统的各个分量 （自由强迫，瞬态稳态）；（自由强迫，瞬态稳态）； 3可以用来说明系统的正弦稳态特性。可以用来说明系统的正弦稳态

42、特性。 X二H(s)零、极点与h(t)波形特征的对应)()()()()()()()()(2121nkmjpspspspszszszszsKsBsAsH K 12, mz zz系统函数的零点12, nppp系统函数的极点在在s平面上，画出平面上，画出H(s)的零极点图：的零极点图： 极点：用极点：用表示表示，零点：用零点：用表示表示1()mjjsz1()nkksp1系统函数的零、极点X例4-7-12(1j1)(1j1)( )(1) (j2)(j2)s ssH ssss 极点：极点： , 121 pp零点：零点： j0j 1j 12j 2j1 画出零极点图：画出零极点图：, 2j3 p2j4 p,

43、 01 z, 1j12 z1j13 z 4zX2H(s)极点分布与原函数的对应关系一阶极点在原点，在原点，0,1)(1 pssH)()()(1tusHLth apassH 1,1)(0, ,( )e( ),0, ,( )e( ),0, atatah tu tah tu ta 在左实轴上指数衰减在右实轴上指数增加在虚轴上在虚轴上,j,j,)(2122ppssH )()sin()(，等幅振荡，等幅振荡tutth ,)()(22ssH 共共轭轭根根,j,j21 pp0, ,( )esin) ( ),ath tt u t在左半平面（指数衰减0, ,( )esin) ( ),ath tt u t在右左半

44、平面（指数增加X二阶极点,1)(2极点在原点极点在原点ssH )(,),()(thtttuth极点在实轴上，极点在实轴上，,)(1)(2assH 0)(, 0),(e)( thttuttht 在虚轴上，在虚轴上，,)(2)(222sssH 增幅振荡增幅振荡 )(,),()sin()(thttuttth X jO 0j0j 几种典型情况几种典型情况 X 有实际物理意义的物理系统都是因果系统，即随有实际物理意义的物理系统都是因果系统，即随 ， 表明的极点位于表明的极点位于s左半平面，由此可知，左半平面，由此可知，收敛域包括虚轴，收敛域包括虚轴， 均存在，两者可通用，只均存在，两者可通用，只需将需将

45、 即可。即可。 )(j FsF和和 js 0th)(sH, t若若H(s)极点落在极点落在s s左半平面，则左半平面，则h(t)波形为衰减形式；波形为衰减形式；若若H(s)极点落在极点落在s s右半平面，则右半平面，则h(t)增长；落于虚轴上增长；落于虚轴上的一阶极点对应的的一阶极点对应的h(t)成等幅振荡或阶跃，而成等幅振荡或阶跃，而虚轴上的虚轴上的二阶极点将使二阶极点将使h(t)呈增长形式。呈增长形式。结论：结论：极点：极点：左半左半s平面平面h(t)衰减衰减右半右半s平面平面h(t)增长增长虚轴上虚轴上一阶极点一阶极点h(t) 等幅振荡或阶跃等幅振荡或阶跃二阶极点二阶极点h(t) 呈增长

46、形式呈增长形式h(t)衰减衰减 稳定系统（极点在左半稳定系统（极点在左半s平面）平面）h(t)增长增长 非稳定系统（极点在右半非稳定系统（极点在右半s平面）平面）如果在虚轴上如果在虚轴上一阶：阶跃或等幅振荡（临界稳定）一阶：阶跃或等幅振荡（临界稳定） 二阶：以上不稳定系统二阶：以上不稳定系统 从稳定性考虑，系统可划分为下述三类系统：从稳定性考虑，系统可划分为下述三类系统：（1）稳定系统）稳定系统 - H(s)的全部极点在左半的全部极点在左半s平面。平面。（2）不稳定系统）不稳定系统 - H(s)有极点在右半有极点在右半s平面，或在虚轴平面，或在虚轴 上具有二阶或二阶以上的极点。上具有二阶或二阶

47、以上的极点。（3）临界稳定系统）临界稳定系统 - H(s)有一阶极点在有一阶极点在s平面的虚轴上，平面的虚轴上， 其它极点都在左半其它极点都在左半s平面。平面。 对于一阶、二阶系统，系统稳定的充要条件为：对于一阶、二阶系统，系统稳定的充要条件为：0,0,1,2iai（取等号表示（取等号表示临临界稳定）界稳定） H(s)分母多项式分母多项式A(s)的系数的系数 满足满足iaX例4-11-1 211 sssG sG sF sY sX k讨论当讨论当k 从从0 0增长时，系统稳定性的变化？增长时，系统稳定性的变化？ skYsFsX 加法器输出端的信号加法器输出端的信号 sXsGsY 输出信号输出信号

48、如图所示反馈系统，子系统的系统函数如图所示反馈系统，子系统的系统函数 sYskGsFsG X sFsYsH 的的极极点点sHkp 49212, 1则反馈系统的系统函数为则反馈系统的系统函数为1 2 021 p,p,k 2 , 2 2 kkk即时系统稳定为临界稳定，系统不稳定 skGsG 1kss 2120 1 221 p,p,k1291, 42kpp H(s)零点的位置对系统的特性有何影响呢？零点的位置对系统的特性有何影响呢？考虑如下两个系统：考虑如下两个系统：2222222)()()()(ssssssH221)()(sssHtesHthtcos)()(111)cos(sincos)()(21

49、2tAettesHthtt其中：arctan,)(12A结论：结论：H(s)的零点只影响的零点只影响h(t)的幅度和相位，而不影响形状。的幅度和相位，而不影响形状。X三H(s) 、E(s)的极点分布与自由响应、强迫响应特征的对应激励：激励：( )( )e tE s11()( )()ullvkkszE ssP系统函数：系统函数：( )( )h tH s11()( )()mjjniiszH ssP响应：响应：)()(sRtr11()()mjjniiszsp，11()()ullvkkszsP )(sR1vkkkAsp1niiiAsp )(sRXX1vkkkAsp1niiiAsp )(sR )()(1sRLtr自由响应分量自由响应分量 强制响应分量强制响应分量1e( )kvp tkkAu t1e( )inp tiiAu t例例5-4：电路如图所示，输入信号电路如图所示，输入信号x(t)=5cos2t u(t),求输