根式和分数指数幂

1、指数与指数与指数幂指数幂的的运算运算讲讲 授授 新新 课课1.根式：根式：(1)求：求：9的算术平方根，的算术平方根，9的平方根；的平方根；8的立方根，的立方根，8的立方根；的立方根；什么叫做什么叫做a的平方根？的平方根？a的立方根？的立方根？(2)定义定义 一般地，若一般地，若xna (n1, nN*)，则，则x叫做叫做a的的n次方根次方根. x24, 则则x=_x481,则则x=_x664,则则x=_x327, 则则x=_x532, 则则x=_x3-8, 则则x=_x5-243,则则x=_3-2-23223正数的偶次方根有两个，记作：正数的偶次方根有两个，记作：.nax 正数的奇次方根为正

2、，负数的奇次方根为负正数的奇次方根为正，负数的奇次方根为负判断：1、1的4次方根为1.2、-27的5次方根是非负数。3、对于任意实数x, 总有意义。 4、 ), 2(*Nnnxn，0,228xx则xxxx(3)性质性质.nax 记作：记作： 当当n为偶数时：正数的为偶数时：正数的n次方根有次方根有两个两个(互为相反数互为相反数).nax 记作记作： （a0,n为正偶数）为正偶数）负数没有偶次方根负数没有偶次方根.0的任何次方根为的任何次方根为0 当当n为奇数时：正数的为奇数时：正数的n次方根为次方根为正数正数，负数的，负数的n次方根为次方根为负数负数00 n注：注：.216004的写法是错误的

3、的写法是错误的所以类似所以类似表示算术根，表示算术根，时，时，当当 naa333322)()(aaaa思考：333333332222)2() )2()2(2)2()3(2)2- (，(4)常用公式常用公式.)(aann ).0()0(|aaaaaann 当当n为任意为任意正整数正整数时，时， 当当n为为奇数奇数时，时， 当当n为为偶数偶数时，时， ;aann ;)8()1(33 ;)10()2(2 ;)3()3(44 ).()()4(2baba 例例1 求下列各式的值：求下列各式的值：)()()5(77yxyx)()()6(88yxyx2、分数指数幂、分数指数幂 (1) 整数指数幂的概念：整数

4、指数幂的概念：)., 0(_ ),0(_ ),(_ 0 NnaaaaNnannnaa aa a 个11na;()mnm nmnmnaaaaa(),()nmmnnnnaaaba ba0且m,n是整数（2）观察以下式子，并总结出规律：观察以下式子，并总结出规律：a0105102 5255()aaaa884242()aaaa12123 43444()aaaa5105102 525()aaaa小结：小结：当根式的被开方数的指数能被根指当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）形式，（分数指数幂形式） 3、思考：、思考：

5、根式的被开方数不能被根指数整除时，根根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式式是否也可以写成分数指数幂的形式 ？如：？如：2323(0)aaa12(0)bbb5544(0)ccc*(0,1)mnmnaaanNn即 ： 为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为： *(0,)mnmnaaam nN正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同 *1(0,)mnmnaam nNa即 ：规定：规定：0的正分数指数幂等于的正分数指数幂等于0，0的负分数的负分数指数幂无意义指数幂无意义 21a34a

6、35a 23a 34() (0)abab 23()mn 4() ()mnmn 65(0)pqp a43a351a231a23()mn 43)(ba 2()mn 532pq 例1、【1】用根式表示下列各式:(a0) 【2】用分数指数幂表示下列各式：3mm4.整数指数幂的运算性质(1)(,Z )mnmnaaam n (2) ()(,Z )mnm naam n (3) ()(,Z )nnnaba bm n 1 1 ( )(Q)0, ,;rsrsaaaar s 3 3( ) ()(0,0,Q).rrraba brab2 2( ) ()(0, ,Q);rsrsaraas 指数的概念从整数指数推广到了有理

7、数指数,整数指数幂的运算性质对于有理指数幂都适用.2313245161281(1)8 ,(2)25,(3)( ) ,(4)( ) . 【1】求下列各式的值.23:(1)8解解233(2 ) 2332 224; 12(2)25 122(5 ) 12()25 115;5 51(3)( )2 15(2 ) 5232; 341681(4) ( ) 34423( ) 34()423( ) 323( ) 278. 例例2 2：用分数指数幂的形式表示下列各式：用分数指数幂的形式表示下列各式(a0)(a0)：23321),3)2),4)aaa aaaa1152222221);aaaaaa11313222243

8、)()().a aa aaa解解:例例3:计算下列各式（式中字母都是正数）计算下列各式（式中字母都是正数）)3()6)(2)(1 (656131212132bababa318284(2)()(4)m nmn63(3)231.512例例3:计算下列各式（式中字母都是正数）计算下列各式（式中字母都是正数）)3()6)(2)(1 (656131212132bababa2111153262362( 6)( 3)ab aab4403188284() ()(4)mnmn444mn解：解：318284(2)()(4)m nmn63(3)231.512111362231.5121112362323()(23)21111123366223322311111123623623 23663(3)231.5126632231.51223666322223322366623(4)常用公式常用公式.)(aann ).0()0(|aaaaaann 当当n为任意为任意正整数正整数时，时， 当当n为为奇数奇数时，时， 当当n为为偶数偶数时，时， ;aann 1.正数的正分数指数幂正数的正分数指数幂)1*,0(nNnmaaanmnm且2.正数的负分数指数幂正数的负分数指数幂) 1*, 0(1nNnmaaanmnm且3. 0的分数指数幂的分数指数幂 0的正分数指数幂等于的正分数指数幂