双曲型方程组

1、双曲型守恒律方程组1.拟线性双曲型守恒律方程初值问题拟线性双曲型守恒律方程组初值问题的一般形式为-二二 x 二,t 0(1)；wf w =0:t 一 x1其中以及w x,0 =w0 xWl x,tW2 x,twm(x,t )-二：x 二f1 wf2 wfm (w)fl Wi，W2，,Wmf2 Wi,W2,Wmfm w1,W2,Wmw0都是m维向量，分别叫做守恒变量、通量和初值。在初值问题(1)中，要求守恒变量具有紧支集，即:集合S=x w(x,t)#。的闭包为有界集。从而存在常数 R>0 ,使得：当x >R 时,w(x,t)=0 ；要求通量满足归零条件，即：当|w|t 0 时,|f

2、(w T 0 0(2)u x,0 = x例2: 一维气体力学方程组初值问题：w：f w =0:t :x(3)w x,0 i=w0 x例1:单个守恒律方程初值问题其中（对于完全气体,利用关系式1E 二-11-2 p - - u2,其中的¥是比热比）fi:uPu2pu <u(E + P) J2.守恒性W1W2< W3w2上 +U-1) W3w1w2WiIIP：uE2w1W22w13- 7 w；丁3-1W322w1W2W3Wi上积分，得任取 A<-R , B>R ,将方程（1）在区间lA,BB w A ftB jf wdxdx = 0A.:xd Br -.-/ a

3、wdx ' f | w B,t -f |w A,t ”=00d3但根据A、B的选取，有 f -w（A,t）=0 , f -w( B,t)=0所以有d bw dx = 0dt A令 At -co , Bt ",就得到dx, t dx = 0(4)d wdt -二此式对任意的t>0都成立。这表明,f：w（x,t）dx是一个与时间无关的常数,或者说，这个量是一个守恒量。对任意的t>0 ,再将（4）时在区间10,t上积分，得.w x, dx d>； =0也就是15"bo-bow x,t dx - iw x,0 dx=0从而有w x,t dx =w x,0

4、dx 二-be w-OO0 x dxw x,t dx =-beW-oO0 X dx-t 03.非守恒形式定义通量的Jacobi矩阵“；fA W =CWf1外 .%；:w1.:w2-：wm开2，开2:w1.:w2.：wma二+ .a二九：fm垢“1:w2-：wm则方程组（1）可写成w ：f.:t ：w ：x:wftA卫二0二 x(5)称为方程组（1）的非守恒形式。例3:对于一维气体力学方程组（3),-13 -w；2 w1-1 3w2w32 w1w1-1?W3 _ 汽加3-23 一 22 叫w13 f " 2w22 w3 9-3-u23 一 u -13 EE -1 2-1 u3 - u-

5、 -3u2u:；-2引入音速c = fp ，则p11二一1 EP：2E 1所以 尸三二,不+/ ,于是上述Jacobi矩阵最终可写成 ；-120103-2u23- u二2十4、2 V-1123-22一 c u-1 u4 .双曲型方程组对于方程（5）,以及相应的守恒形式（1）,定义：若矩阵A的所有特征值都是实数，并且矩阵 A是可对角化的，则称方 程（5）是双曲型的。（注）关于“矩阵 A是可对角化的“，有以下几种等价的描述：矩阵A是可对角化的：矩阵A可以通过相似变换，变换成一个对角矩阵D ;存在可逆矩阵 R，使得R，AR=D是对角矩阵；矩阵A存在m个线性无关的特征向量。事实上，以上述m个线性无关的

6、特征向量为列，就得到矩阵R。例4:对于单个守恒律方程（2）,矩阵A成为标量a = a（u）= f'（u）,所以其特征值也是a5 .不变性考虑因变量的变换，设Wl(Vl,V2,，Vm)；W2(Vl,V2,，Vm)w = w( v )=Wm(Vl,V2,，Vm)则方程组(5)可写成w v :f 二 w 二 v c=0v 二 t w 二 v 二 x定义因变量变换的Jacobi矩阵'电加>>>>>加'cVi5v20 Vm二2刖2 二2P=CV1CV2Cvmcv9+I-孤孤 £Wm< CViCV2Cvm /则上式就是：vZP AP=0

7、.trxvft如果矩阵P可逆，就是/ vP AP - = 0.x记B=P,AP ,就是v v cB二0,t二 x经过因变量变换，双曲型方程中的矩阵 A变成了矩阵 B。上述推导表明, B与A相似。如果 A能够相似于对角矩阵，则 B也相似于对角矩阵。也 就是说，双曲型方程组经过因变量变换还是双曲型方程或者说,方程组的双曲性质在因变量变换下具有不变性。例5:对于一维气体力学方程组（3）,如果用原变量表示，可写成cP cP u :t；:xfuftfuu一；:x二0；x1fp-=0 p:：x或写成就是.:p Fp r 2 fu cu ： c2 = 0.:t x xufp)2 u + 0 a山0fP)色u

8、 =0 exup0B=0u70Pc2uvvc B=0-t：x对于一维气体力学方程组3）,如果将守恒变量 w换成原变量 v ,例2中的Jacobi矩阵A变成了这里的矩阵 B 。根据双曲性方程组的不变性，这 两个矩阵是相似的，从而有相同的特征值。显然，计算矩阵B的特征值更容易 些。事实上，由,：- -u000PU '-u - c 1-U '-u“c '-uc 0这样，我们很容易就求出了矩阵 B ,同时也是矩阵 A的三个特征值%=uc , 九2=U ,%=u+c6 .特征线特征线是双曲型方程的重要性质，我们先通过一个线化的模型方程对此展开 讨论。考虑对流方程初值问题O=U X

9、a+=O,audx考虑x - t平面上由万程 一 dta确定的一族平行直线(因为这里的a为常数)。沿着这族直线中的任意一条,x = x(t)成为t的函数，所以方程的解u = u(x(t),t)也是t的函数。所以有du桃u dx札u=tt += + a dt 抖x dt 抖xu =常数也就是说，沿着这族曲线中的每一条, 程的特征线。从而有以下结论：方程的解都是常数。这样的曲线称为该方对于双曲型方程，沿着方程的特征线，方程的解为常数如图，对x- t平面（上半平面,t > 0）上的任何一个点P（x,t）,设过P点的特征线与 x轴相交于Q（xo,0）点，根据上面的性质，就有u(x,t)= up

10、= uq =中(xo)。x = at + b T x0=a?0 b = b = x - at所以u (x,t)=(x - at )这样，利用特征线的性质，我们实际上已经得到了初值问题的解。对于标量守恒律方程工?f (u) 抖记 a（u）=f ） ,可有非守恒形式桃u八+ a (u)=0抖 () x此时，上面的所有推导依然成立。沿一条特征线，由于 u为常数，所以a(u)也是常数，因此特征线仍是 直线。但对于不同的特征线，u的变化导致特征线斜率 a(u)的变化，所以 此时的特征线不再是一族平行直线，这是非线性方程与线性方程之间的重要区止匕外，虽然初值问题的解仍可写成u (x,t )= (x - a

11、 (u)t )但由于右端隐含了 u ,上式并没有给出显式的解。7 . Riemann不变重再考虑拟线性双曲型守恒律方程组。直接考虑非守恒形式wftA -X根据方程组的双曲性，有 R "AR =D 。其中，矩阵D是对角矩阵，其对 角线元素就是矩阵 A的特征值九j (j = 1,2,L ,m);矩阵R是可逆矩阵，其列向量行向量rj就是对应的右特征向量，即Ar）=%口 ；还可以证明，逆矩阵R的LT就是对应的左特征向量，即有 lTA = %lT o于是，用lT左乘方程T wj -：x=0( j = 1,2,L ,m )可将方程组解耦，成为 m个独立的方程式此时，引入变量 Rj ,满足dRj

12、=ljTdw 。则上式成为.:Rj；Rj十 %=0(j = 1,2,L ,m ).t . x于是，根据上一节的特征线理论，可定义（方程组的）第 j族特征线Cj： -jj ft j而沿着其中的每一条特征线，都有Rj =常数o因此将Rj称为（方程组的）第 j 个 Riemann不变量。（注）由lTA= %lT ,取转置，得 ATlj=4L ,所以矩阵A的左特征向量实际上就是矩阵 AT的右特征向量。在因变量变换 w = w（v）下，考虑行向量qT = lT =lTP ,则而根据双二 v曲型方程组的不变性，B = P，AP ，有qT B= l T P B = l TP PAP =l T AP= jlT

13、 P= j IT P = j q所以qT恰好就是矩阵 B的左特征向量。止匕时,TT - wTTdRj = L dw = L - dv = lj Pdv = q dv这表明,Riemann不变量是双曲型方程组在因变量变换下的不变量。例6:对于一维气体力学方程组,%2p;：c2设qT =«0小）是矩阵的左特征向量，则)q = 0 o对特征值(BT -uI ,2=0 ,有方程组%2q1q22q = .c q3qi =_c2 %=_y£Ov171cv - ,0,_pj从而dR2=q；dv =3Vil . 一dP+dp =Cv d(ln p )-'d(ln P)=Cvd p

14、p )所以R2 = cv In S就是烯J o对特征值K13=u不c ,由（B,3T-(u+c )I )为=0 ,有方程组q3 二 一In与 Plq1q2g3J0、04，解得 q = 0 , q3 = +4T3 =严叱%q2T ,1 ,dR13 = c113dv = du 一 dp,：c对绝热等嫡流动，有 dp = lLdc ,所以P 一1 c(6)21从而最终得到dp =p 2 dc 2：c -1 c2dc =dc-1dR,3, f 丁 2dc = d u +cJFc8 . Riemann 问题考虑一个截面积不变的无限长直管， 在直管内的x = 0处有一金属膜片。在膜片左侧（x< 0）

15、的管道内充满了一种气体，其密度为P1 ,压力为P1 ； 而在膜片右侧（x > 0）的管道内则充满了另一种气体，其密度为 P2 ,压力为p2 。设在t = 0时刻，金属膜片被突然打破，考虑直管内两种气体在破膜后的 流动。这一问题称为激波管问题。可以证明，激波管问题存在自相似解，即：所有的流动参数都是组合自变量-=x的函数 tu=uG), p = p。，p = Pf)对于激波管问题的解，有如下的描述（解的波系结构）在t > 0时刻，将产生两个波，分别在两种气体中传播。第一种气体中的 波记作L ,向左传播；第二种气体中的波记作R ,向右传播。根据两种气体的状态不同，波 L和R ,既可以是

16、激波（强间断），也可以是中心稀疏波 （弱间断）。第一种气体经过波 L ,达到新的常数状态 p = p3 , p = P3 ；而第 二种气体经过波 R ,也达到新的常数状态 p = p4 , p = p4。由于是无 粘流，两种气体不会掺混，两者之间始终保持着一个接触面，称为接触间断。但 是这个接触间断不是静止不动的，而是移动的（也就是会传播的） ，这就形成了 第三个波，记作M 。纵上所述，激波管问题的解在x- t平面内被上述三个波分成了四个区域，每个区域内的解都是常数。这些常数解的区域由各种波分隔开，如下图所示。Ox激波管问题可以用一维气体力学方程组间断初值问题:w:f w _0二二 x : 0

17、0 ： x 二二txw Lw x,0 =w R来描述，称为Riemann问题。9 .弱解作为一个典型的例子，Riemann问题表明,双曲型方程组的解并不总是连续 的、光滑的，可以产生间断。这样的间断解显然不能用传统的方式来描述，需要 引进弱解的概念。记x-t平面的上半平面（t 3 0）为区域 W ,考虑函数集合v 蛹C1 ( ) , suppv 有界任取v ?V ,则由supp v的有界性，一定存在 T > 0和有限区间b ，使得v在矩形区域Sb备T的三条边界x = a 、 x = b 和 t = T以及边界以外的区域上等于零。用v乘以方程组（1）的两边，并在矩形区域 薪b '箱

18、 上积分，得f , Cvdxdt = 0x +分部积分-v -+ fzdxdt + ?- fvdt + wvdx = 0这里，G表示矩形区域T 的边界。在组成G的四条边上，v只在t = 0这一条边上有可能不等于零，而沿着这条边，dt = 0 ,所以上式中的边界积分变成蝌 fvdt +wvdx =bbw(x, 0)v (x, 0)dx = ? w0 (x)v (x, 0)dx从而有执w + 融抖 v -f zdxdt + x +b? w0 (x )v (x, 0)dx = 0?W+触抖v -fzdxdt =b? w0(x)v(x, 0)dx现在令b?梦四w轩+v q?fzdxdt = ? w 0

19、(x)v(x,0)dxx .'' ' ''根据以上推导,可以给出双曲型守恒律方程组初值问题弱解的定义。fvdt + wvdx = 025定义（弱解）:若存在分片连续的函数w（x,t）及相应的通量函数 f (u),使得v q?f-zdxdt = ? w 0(x)v(x,0)dx,x?则称 w 为初值问题（1）的弱解激波关系式不失一般性，假设初值函数 w0(x)在x = x0处有一个间断。这使得初值问题(1)的解 w 在区域 W上形成了一条间断线C : x = x (t)(t30)这条间断线将矩形区域 薪b '露T 分成了 WL和WR两个部分。在这种

20、情形下，我们重复上面的推导。&f+ dvdxdt = 0W a 啊 x +分部积分+ fV-zdxdt x + ?-槽Lfvdt + w vdxv +- zdxdt + x +?-禧R27v -Wxdt + x +-fvdt + wvdx +Clxo aw(x,0)v(x, 0)dxH浮耳丘 v f,质+ fzdxdt +- fvdt + wvdx +W?> tx + CWRC Rb? w(x,0)v(x,0)dxv j .zdxdt + x +-fvdt +CLwvdx +x0aw 0(x)v(x, 0)dxv =dxdt + x +-fvdt +wvdx +CR'x w0 x0(x)v (x, 0)dx = 0式中CL和Cr分别表示沿间断线C 两侧的积分。显然，按照逆时针方向积分时，cL和cR方向相反。令CL ? C , CR ? C ,上式可合并写成+抖v . zdxdt + x +(x)v(x, 0)dx；f；vdt+ : w；vdx = 0其中(w) = wR - wL ，= fR - fL