2021年江苏高考数学一轮复习讲义第4章第3节第1课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式

1、1第三节三角恒等变换最新考纲1会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 2 会用两角差的 余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式 3 会用两角差的余弦公式推导出两角和 的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联 系 4 能运用上述公式进行简单的三角恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）.课前自主必备知识填充1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1) si n(a3 =sin ocosBcosasin B；(2) cos(a =cos ocosB?si nasinB、,* tanaanBtan(a21?tanaanB2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

2、(1) sin 2a=2si n ocosa;2. 22 2(2)cos 2a=cosasina=2cosa1=1 一 2sina3.辅助角公式常用结论1.公式的常用变式tancanasina+bcosa=a2+b2sin(cc+(D 其中 sin2sinccosa2ta nacosa2sin 2a=2厂=厂:sina+cosa1+tana3222cosasina1tanaCOS 2a222.cosa+sina1+tana2.降幕公式o1cos 2a2SinaCOsa1+cos2a41.sinaosa2sin 2a3.升幂公式2a1+cosa2cos2；2a1cosa2sin2；2aa1+si

3、nasin 2+cos q；2aa1sinasin 2cosq4.半角正切公式a sina1COSatan21+cosasina 学情自测验收一、思考辨析(正确的打“V”，错误的打“X”)存在实数a, B,使等式 sin(a+ 3 sina+sinB成立.()(2) 公式 asin x+ bcos x a2+ b2sin(x+妨中的取值与 a, b 的值无关.2J2J(3) cos02cos2112sin2.a(4) 当a是第一象限角时，sin 2答案(1)VX V(4)X5sin(270 + 77 )cos(90 + 58 ) + sin 77 cos 58(cos 77) ( sin 58

4、 ) + sin 77 cos 58sin 58 cos 77 + cos 58 sin 77sin(58 +77 ) sin 135 亏.3 .计算：sin 108 cos 42 cos 72 sin 42 _12原式一 sin(180 72)cos 42 cos 72 sin 42 sin 72 cos 42 cos 72 sin 42 in(72 42 )1sin 30 24.tan 20 + tan 40 + . 3tan 20 tan 40 _、教材改编3n1 .已知 COS a= 5，a是第三象限角，则 COSg+a为（）A TCOSa=35,-cos 4+ a =2 (cosas

5、ina)25+52. sin 347 cOs 148 + sin 77 cos 58 _cos 148 sin 77 cos 581010a是第三象限角,sin6tan 20 + tan 40 tan 60 =tan(20 亠 40 =1 - tan 20 tan 40 tan 20 牛 tan 40 = tan 60 tan 20 tan 40 =3,3tan 20 tan040, 原式=羽一 73tan 20 tan 40 牛眉 tan 20 tan 40 =3.1 15._tan a= 3,tan(a+ =2，贝 tan _tana+ B tan atan tan(=1+tana+ Bt

6、an a第1课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式喘洽 7(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.11231-=7.1+2X3考点_ 卷變矍密密更课堂考点探究1 公式7B 由二倍角公式可知 4sinacosa=2coVa|园典理 1.(2019 全国卷U)已知a0,2sin 2a=cos 2a+1，贝 U sin0=C.D.2558 cos a 0,2sina=cos.+ 1a tana=2,sina=.故选 B.2.已知 sinna2,1tan( B =2则 tan （a B的值为（）B.fi11Cy

7、112n2, tana=34,又 tan12,tantan (a B=atanB1+tanata nB31 +4+2=2_13 =11.1+1X43.（2019 太原模拟）若a0,且 sin1 n3,则 cos a 3 =则 cos则 cos由于角a为锐角，且2,23sinna61=3,na 3=cosna 6n=cosa6 cosn6+sinan6sin2/2 /3+1X1= 2唇132+3 2=6.4.计算sin 110 s20cos155sin2155的值为9sin 40_ cos 20 sin 20 _ _1=cos 50 _ sin 40 _ 2.IBS点评两角和与差的三角函数公式可

8、看作是诱导公式的推广，可用a,B的三角函数表示aB的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时， 特别要 注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的.考点 2 公式的逆用与变形用吐岱公式的一些常用变形(1) si nasinB+cos(a+ _cosacosB；(2) cosasinB+sin(a B_sinacosBa a2(3) 1na_sin qkos 2；，八.- 2sinacosa2tana(4) si n 2a_ 2_2;sina+cosatana+1222cosasina1tana(5)cos 2a_2_V；cosa+sina1+tana(6)tanaantan(a(1?

9、tanaanB ；22ba+b sin(a+妨 tan 片一. a疋】公式的逆用_si n_10_翩屢 3(1)化简 1 3tan 10 _-(2)在厶 ABC 中，若 tan Atan B_tan A+ tan B+ 1，贝 U cos C_sin 20 _ 14sin 30 10 _* 41(1)4sin 10 1 3tan 10sin 10 cbs 10 cos 10 V3s in 10(7)asi na+bcosa_1011tan A+ tan B由 tan Atan B = tan A+ tan B+ 1,可得=1,1 tan Atan B即 tan(A+B)=1,又 A+B(0,

10、n,所以 A+ B=著,则 C=4，cosC=】E，.-(1)逆用公式的关键是准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用 公式，同时，要注意公式成立的条件和角之间的关系.(2)ta naanB,tana+tanR或 tanatan , tan(a+ 3(或 tan (a三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题.(3)重视 sin acosBcosainRcosacosBsin asin3的整体应用.“tkT 公式的变形用1si n235 2FJk 期 1)化简 cos 10 cos 80 =- .nn化简 sin2a6 + sin2a+占sin2a的结果是_.(1) 1;2

11、11 cos 70 11sin 35 22 2 2os 70(1)cos 10 cos 80 = cos 10 sin 10 = 1 . “= 1.尹 n 20原式=nn1cos 2a31cos 2a+32+2sin2a1nn .2=1qcos 2a 3+cos 2a+3sinan2=1cos 2acos 3sinacos 2a21cos 2a12 =2.注意特殊角的应用，当式子中出现132, 1, 2 , .3 等这些数值时41213定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式.设 a 二 cos 50 cos 127Ccos 4037b 鸟 sin 56-cos 56)；1 tan2

12、39c=1+ tan239则a，b，c的大小关系是（a b c厂 & + V215= 3 x44X44；6 |；2x(2 3 2)= , 2 故选 D.b a cC. c a ba c b由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a = cos 50cos 127 +cos 40 cos 37=cos 50Cs 127+sin 50 sin 127=cos(50127=cos(77=cos 77 =sin 13 飞二彳门 56 cos 56) = -sin 56 cos 56 =sin(56 4521 + tan 39晶莎 = cos2 sin239 =cos78 sin 12.因为c

13、os39函数 y= sin x,nx 0,为增函数，所以 sin 13 sin 12 Cn 11，所以 acb.2.一题多解.3cos 15 4sin215cos 15 )A.1C. 1D/2D 法一：V3cos 15 4sin215cos 15 =V3cos 15 2sin 15 2sin 15 cos 15=3cos 15 2sin 15n 30 =0cos 150 sin 15 = 2cos (15 +30 = 2cos 45 =2 故选 D.法二：因为 cos 15=證严,sin 15 =64，所以 V3cos 15 4sin215cosx0.32+.3)=414n3.已知a+A 4,

14、则(1 + tan0)(1 + tan =_2(1+tana(1+tan =tana+tanB+tan dtanB+1=tan(a+ (1tan dtan+tanaanB+1=1tandtantandtanB+1二 2.14.已知 sinoos A2，则 cos osinB的取值范围| 丄一 | 由题知 sin ocos2,设 cos osin At, + 得 sin ocosB+cos osin即 sin(a+ B =|+1,一得 sin ccos B cos osin1即 sin(a- B= 2 t.T 1sin(cg)1,11w2+1w1,112tw1.1 12wtw2考点 3 公式的灵

15、活运用矗弱三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路(1)角的变换：发现各个角之间的关系：拆角、凑角、互余、倍半、互利(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧及半角与倍角的相c1A 2+1,A | t,15互转化，如：2 a= (a+ 3+ (a, a=( a+ (a B) +B,40 60 20 nnn a 亠 a“4+ a+ 4-a_2，2_2x4 等(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦.芒自三角公式中角的变换53IS 典剖设a, B都是锐角，且 cosa_5，Sin(a+ B_5,

16、则 cosB_1(2)已知 cos(75 +a_3，则 cos(30 2a的值为3因为 sin(a+ B _5 an4所以a+ B2，n,所以 cos(a+ B_于是 cosB_cos(a+ Ba_cos(a+ Bcosa+sin(a+ Bsina(2)cos(75 + o) _ sin(15 a)_3,227所以 cos(3020_12sin (150 _ 19_9.园.賦平(1)解决三角函数的求值问题的关键是把 “所求角”用“已知角”表示.当“已知角”有两个时，“所求角” 一般表示为两个“已知角”的和或差 的形式；当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和 或差的关系.2

17、 5畫(1)依题意得 sina_1cos2aX3- 5+.5-5X16a+ B a B常见的配角技巧：2a_(a+ 3+(a 3, a_(a+BB, B_17E 向三角公式中名的变换1+sin0+cos0sin 2cos 20 n0解(1)由0(0, n，得 0v20,2sin 10aBIB a +a+22+B等.(2)求值：片笃汁sin 10t15-tan 5 2si n 20tan 5Ek 引(1)化简:2+2cos0(Ov 0vn；18cos10cos 102sin 202sin 102cos 10= 2sin 10cos 102sin 30102cos0=4co$0=2cos00又(1

18、+sin0+cos0) sin 2cos20 020 =2singeos 2+2cos20sin 2cos;0.2020 =2cos2 sin 2cos ?0=2cos 2cos0.02cos2cos00：2cos 2=cos0.原式=2cosh0. cos 50sin 52X2sin 10 cos 10sin 10sin5cos 52o 2ocos 10 . cos 5sin 52sin 10sin 10sin 5 cos 5霁40-sin 102sin 10cos 1019n1+cos20+21sin 20i12s in Goos012X44 3.5，3a7,sin(a+9 =14, sin sin(a+B a =Sin(a+ BcosaCOS(a+ sina-普 X1 11X 卄_ （用数字作答）cos 10V3cos100cos 10 +V3cos 802 -ocos 10+V3sin 1002sin 10+30y2sin 40迄sin 402sin 10 cos 10134 cos 10 芬sin 1023