圆锥曲线压轴题解题策略

1、圆锥曲线压轴题解题策略圆锥曲线问题将几何与代数知识有机结合在一起，较好地考察了学生的数学思维和创新灵活处理问题的能力，是高考命题的热点之一本文重点分析圆锥曲线的解题策略，希望同学们读后对圆锥曲线有一个新的认识拼通过自己不断地领悟和练习提高自己的解题能力一、知识准备圆锥曲线解题的本质就是将题干中的条件和提干中条件和图形中隐含的几何特征转化 成等式或不等式，最后通过代数运算解决问题，而其中的关键是怎样转化或构造不等式.1抓住定义构造等式，定义是圆锥曲线的核心和根本，涉及焦点时，优先用第一定义 或第一疋义。2 抓住题中特殊几何关系来构造等式或应用几何关系使解题简化。 内心1、三条角平分线支点2、角平

2、分线上的点到两边距离相等3、切线长定理、4、面积法(Sabi +S»ci +Sbci=Sabc) 重心|1、中线交点2、AH=2HD 重心三条高线交点(可用垂直构造等式) 外心垂直平分线交点(垂直平分线的性质构造等式) 三角形两边之和大于第三边(焦点三角形) 直线与圆锥曲线相交(1) 两不同交点=> 0(2) 交于左右两支 =XiX2< 0(3) 交于同一支=X1X2 >0 用点与圆坐位曲线的关系来构造等式或不等式2 2在椭圆上乌=1a b2 2(2)在椭圆外X0厂-> 1a b2 2(3)右椭圆内智乌v 1 a b 用曲线本身的一些坐标限制(在椭圆中，-aw

3、 xw ab w y<) 用k相等(三点共线)注：条件已用完，当缺少等式时，且无明显几何特征时，考虑用、。3. 用其它条件构造等式或不等式 用非负数k2, , R , |x大于0构造 问题中的要求与条件中的范围相联系 结合参数方程，利用参数的几何意义或三角函数的有界性，构造不等式。4. 与平面几何的联系 圆 直径所对的圆周角为 90度(可用垂直构造等式)相交弦，割线长定理 中位线(坐标原点为中点，往往考虑不到)5. 点差法 直线与曲线相交，且出现中点时，常常使用。 抛物线涉及 k时，常使用。、例题2 2例1.椭圆 务 7=1 (a> b> 0)上相异两点 A、B的垂直平分线在

4、 x、y轴上的截 a b距分别tx、ty证明:2 2 2 2 2 tx ty (a -b ) v a2ba b解析：本题初看无法下笔，要求证明的不等式非常复杂，无法入手，条件中只有垂直平分线这个条件，设垂直平分线I与x, y轴交于M (tx, o)、N (o, ty)。因为|AM|=|BM| ,于是M (xi-tx) 2+yi2= (X2-tx) 2+yo2，但是这个等式与问题求证等式无法联系，还需要等式2 2 2 2 2或不等式，注意到 A、B在椭圆上，贝U 笃马 =1，生 込 -1, yi2=b2 (1-务),a ba ba222 , . xy2 =b (1 - 2 ) a2(Xi-ty)

5、2+b2(1 一笃2 2)=(X2 - tx) +b ( 1 -,整理得 2a2tx(X2- xi)=(a2 b2)(X22- Xi2) Xi工xX1X22a tX2同理得yi y2 a2 -b2b2tya2 -b2a知道X2和也，自然想到是 AB中点坐标，但中点条件无法用(几何特征不2 2明显)，且问题中得证的是不等式，现在得到的是等式，还需要一个不等式。从整个图形中 观察，且结合知识准备中的、，可用点与圆坐位曲线的关系来构造不等式(中点在 椭圆内部)。.冬 X2, V1 空)是弦ab的中点，且在椭圆内部。2 2a2tx )2272 )a -b2(一 bty )2a - bb2< i，

6、整理得:2 2 2 2 2tx(a -b )a ba b评注：本题用完垂直平分线的条件后，已无其他条件可用，且无几何特点。根据知识准备，考虑用点在曲线上来构造等式，但最后是证不等式， 必须构造一个不考虑用点在圆锥曲线内，才能构造出一个不等式。例2.已知椭圆的中心为坐标原点 0,焦点在X轴上，K为i的直线过椭圆的右焦点 F且交椭圆于A、B两点，0A 0B与a= ( 3, -i)共线。(1) 求椭圆的离心率。(2) 设M为不椭圆上任意一点，且 0M二 0A0B ( ' / R)证明 22为定值。解析：(i)设AB为中点为M (x, y)则0M与a= (3, -i)共线x+3y=0根据点差法

7、a2a2-3b2 2(2)设 A(Xi, yj、B(X2,y2)、M(x,y),由(1 )知 a2 = 3b2所以椭圆方程为 二 -y2 = 13b2b2要证2i2为定值，现只有 0M=，0A0B 个条件rx =)x 収2转化为等式为彳1'，现缺少等式，且问题中入、的次数为2,但，y =必+也中人次数为1,必须再构造等式，题中条件都已用完，可考虑点在椭圆上这一隐含等式。 M (x, y)在椭圆上二(*妆2)2 3( yi ：y2)2 = 3b2即2(x12 3yj) 2(x22 3y22) 2 J(x1x2 3y1y23b2/ A、B在椭圆上2 2 2 2 2 2二 x13y1 =3b

8、2,x23y2 = 3b222剩下的X1X2,3y1y2可由韦达定理求出，最后可得'=1例3.过定点A ( m, o) (mv o)作直线I交抛物线C: y2=2P0P>O)于P、O两点，Q关于X轴的对称点为Q,连结PQ交X轴于点E,(1)求证：直线PQ恒过定点；(2)若 AP 二 AQ ( />O)，求证：PB 二 BQ。解析：(1)要证直线过定点，首先要将直线的解析式写出来，现在的任务将K值求出，2P根据知识准备中，抛物线中的K值一般用点差法，根据点差法可得k二,P(x1,y1),y1 - y22PQ(x2,y2), Q,X2，-y2)，根据点差法k，于是直线方程为力-

9、 y22P /、2Px * y1 y2y -力(x -xj，整理得y丄 。但方程毫无特征，缺少等% + y2% y?式。注意到题中的隐含条件：A、P、Q三点共线。yi2PXi -m yi y2,整理得:yy »2PM ,代入整理得:2Pyi 一 y2(x m)过点(-m, 0)。(2)证：过P作PH丄X，设QQi交X轴于N则竺二巴AQ QN Q与Qi共于X轴对称PHPHPBQN-QiNBQiAPPBAQ_ BQiPB 二 BQ2(/> 0)例4 .自点A (0, -i )向抛物线C: y=x2作切线AB，切点为B，且点B在第一象限， 再过线段AB的中点M作直线L与抛物线C交于不

10、同的两点 N、F直线AF、AN分别交抛 物线C于P、Q两点，(i)求切线AB的方程及切点B的坐标；(2)证明PQ = ABCR)。解析：(1) AB方程：y=2x i，切点B的坐标(i, i )。(2) 设 N ( Xi,xi2) , F ( X2, X22) , P ( X3, X32) , Q ( X4,X42)AB = (i, 2), PQ = (X4 X3) (i, X4+X3)即证X4+X3=2，但题中已无多余条件，缺少等式寻找隐含条件三点共线。因为A、P、F共线，可是 kAP=kAF,可得X2X3=i同时由A、N、Q共线得XiX4=i ,i . iX<1 +x2X4 X322

11、再根据韦达定理问题便可迎刃而解。X-I x2 X2X22例5.已知椭圆Ci： 生十厶=i，抛物线C2： (ym)2=2PX (P>0)，且Ci,43C2的公共弦AB过椭圆Ci的右焦点，是否存在 M、P的值，使抛物线 C2的焦点恰在直线AB上？解析：假设C2的焦点在AB上，怎样才能用好焦点既在Ci上又在C2这个条件，涉及焦点，考虑到圆锥曲线的统一定义，将AB用不同的定义表示两遍PP11所以 |AB|= (x1) (x2) = % x2 p = (2 x ) (2x2)则 P =43(xX2) =4k2 1224k2 +3现在两个未知数，只有一个等式，必须再找一个，于是考虑到直线与方程联立设

12、 AB 方程为 y=k（x-1）与椭圆方程联立：（3+4k2） x2-8k2x+4k2 12=0。设 A、B 坐标（Xi, yj, （X2, y2）8k2X1+X2= 23 +4k再与抛物线联立：（kx _ k _m）2 = 2px，因为C2的焦点（-,m），在y2= k(x -1)上，所以m二k（ -1），即mkp，代入得:一 21 2k2x2 - p(k22)x p由于Xi，X2也是方程的两根,所以x1x2 =P(k从而车P(k2 2)k23 4k2k28k48k4所以(4k2 -3)(k2 -2)4k2124k23解得：k2=6于是 k=二6, p = 43例6.已知双曲线的中心在原点，

13、右顶点A （1，0），点P、Q在双曲线的右支上，点M（m，0）到直线AP的距离为1。（ 1）若直线AP的斜率为k，且 |kL 3 ,3，求实数 m3所以P =22(4k2 +3)(k2 +2)M，救此双曲线的方程。的取值范围。（2）当m=、21时， APQ的内心恰好是点解析：（1）由点M （m，0）至 AP距离为1的条件转化为由 m，k的等式，再根据知识准备中要求的量与题设中给的范围相联系，可轻松解决。2（2）可设双曲线方程X2"（b = 0），为求出双曲线的方程，必须求出b的值,b2或求出双曲线上一点的坐标。现在的条件有四：A坐标（1,0）;M坐标（寸2 +1,0 ）；MAPQ的内心；M到AP距离为1。先分析M APQ的内心，因为几何特征非常有特色，根据知识准备中内心的四个特征，但好像都没有用，现在必须从另外三个条件中挖掘其它的几何特征，注意到题中两个特殊点A、M距离为2，M到AP距离1,所以v MAP=45，再用MAPQ内心条件，所以kAP=1, kAQ= 1 （不妨设P在第一象限）直线PQ方程X=2+3，直线AP方程为y=x-1，所以P坐标（2 2,1 2 ）,双曲线方程x2 -（2