基本不等式知识点和基本题型

1、基本不等式专题辅导、知识点总结1、基本不等式原始形式22(1)若 a,b w R,贝 U a2 +b2 之 2ab (2)若 a,b w R ,贝 11ab <a +b一 22、基本不等式一般形式(均值不等式)若a,bwR*,则a+b至2/0b3、基本不等式的两个重要变形(1)若 a,bwR*,则 U *茄(2)若 a,bw R*,则 ab/U ;2一 2总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值;特别说明：以上不等式中，当且仅当a = b时取 一4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论一， 1 ,一 .一“(1)若XA0,则x+

2、之2(当且仅当x = 1时取“二”)X1,1若x<0,则x+,E2(当且仅当x = -1时取“二”)X(3)若ab>0,则a+b之2(当且仅当a = b时取“二”)b a22(4)若 a,bw R,则 ab w(支出)22222(5)若 a,bWR ,则，wGbM*bMa +b1122T -a b特别说应似上不等式M,当且仅当a = b时取“二”6、柯西不等式(1)若a,b,c,dWR, WJ (a2+b2)(c2+d2)之(ac +bd)2(2)若 a1，a2,a3,b1,b2,b3 亡 R,则有：(a； +a22 +232)(也2+b22+b32)至(aA+a22+a3b3)2

3、(3)设 a1，a2, -an与b1，b2, -bn是两组实数，则有(a；+a22 +a；)(n2+t22+。2)之(aQ+a2b2+ +a0bn)2二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式21、设a,b均为正数，证明不等式：Jab >11十2、已知a,b,c为两两不相等的实数，求证:a2 b2 c2ab bc ca4、5、3、已知 a+b+c=1,求证：a2 已知 a,b,c R ; 且 a+b+c=1,求证： 已知 a,b,c R *,且 a+b+c=1,求证：b2 c2 -1 3(1 -a)(1 -b)(1 -c) -8abc1-1 1-1 1-1 .8 ab c来源网络6、选

4、修45:不等式选 讲2,22a b c ,1.b c a, 2ab2 -a2b1y = x （x ： 0）x设 a,b,c均为正数，且a+b+c=1,证明:（I ） ab + bc + ca<- ;（ n ）37、选修45:不等式选.讲：已知a之b>0,求证：2a3b3 题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域,211，八(1)y =3x +2(2)y=x(4x) (3)y=x+(x>0)(4)2xx题型三：利用不等式求最值(一)(凑项)41、已知x>2,求函数y=2x4+的取小值;2x-44.变式1:已知x>2,求函数y=2x+ 的最小值；2x -44变

5、式2:已知x<2,求函数y=2x+ 的最大值；2x -4练习：1、已知x>3 求函数y=4x2+-的最小值;44x -52、已知x<5,求函数y=4x2+1的最大值；44x -5题型四：利用不等式求最值(二)(凑系数)1、当口 CM <4时,求y =x(8-2x)的最大值；变式1:当口<木<4时，求y =4x(8-2x)的最大值；3变式2:设0 < x <-，求函数y亏4x(3 -2x)的取大值。22、若 0cx <2,求 y = Jx(6 3x)的最大值；变式：若0<x<4,求y = Jx(8 2x)的最大值；3、求函数y =

6、4'2x1 +,52x(工<x<§的最大值;(提示：平方，利用基本不等式) 22变式：求函数y =，4x -311 -4x( <x J1)的最大值；题型五：巧用“ 1”的代换求最值问题111、已知a, b >0, a +2b =1 ,求1=十一的取小值； a b法一：法二：1 1 一变式1:已知a,b>0,a+2b =2,求1=十的最小值； a b2 8变式2:已知x, y >0,-+=1 ,求xy的取小值；x y11变式3:已知x, y > 0 ,且一+ = 9,求x + y的最小值。x y19变式4:已知x, y >0 ,且

7、+ = 4 ,求x + y的取小值； x y1 1变式5:(1)若x,y>0且2x + y = 1,求+一的最小值；(2)若a,b,x, y = R且卫+也=1，求x + y的x yx y最小值；变式6:已知正项等比数列 Q满足：a7=a6+2a5,若存在两项am,an ,使得p&an = 4a1，求二+的 m n最小值；题型六：分离换元法求最值（了解）2 2 c1、求函数y=以0（x#1）的值域；变式：求函数丫=8（x>1）的值域；x 1x-12、求函数y=之上2的最大值；（提示：换元法） 变式：求函数y=2211的最大值；2x 54x 9题型七：基本不等式的综合应用1、

8、已知log2 a+log2 b ±1 ,求3a十9b的最小值2、（2009天津）已知a,b>0,求L1+2V0B的最小值； a b1 1变式1: （2010四川）如果a>b>0 ,求关于a,b的表达式a +的最小值；ab a（a -b）变式2: （2012湖北武汉诊断）已知，当aQa#1时，函数y = loga （x-1）+1的图像包过定点A ,若点A在直线mx y+n=0上，求4m+2n的最小值；3、已知 x, y > 0 , x+2y + 2xy=8,求 x+2y 最小值；变式1:已知a,b >0 ,满足ab = a +b +3 ,求ab范围；、，、

9、.， 一111变式2: （2010山东）已知x,y>0, +=-，求xy取大值；（提小：通分或二角换兀）2 x 2 y 3变式3: （2011浙江）已知x,y>0, x2 + y2+xy=1 ,求xy最大值；X _J"" j I . 1fli4、 （2013年山东（理）设正实数乂,丫？满足*2-3*丫+4丫2-2=0,则当上取得最大值时，2+22的最 zx y z大值为（1）（提示：代入换元，利用基本不等式以及函数求最值）2变式：设x, y,z是正数，满足x-2y+3z=0,求y-的最小值；xz题型八：利用基本不等式求参数范围1、 （2012沈阳检测）已知x,y

10、>0,且（x + y）（1+亘）29恒成立，求正实数a的最小值；x y2、已知xy >z >0且 + 恒成立，如果nN+，求n的最大值；（参考：4） x - y y -z x -z（提示：分离参数，换元法）14变式：已知a,b a0?两则一+ = 2 ,右a+b殳c，lH成立，求c的取值氾围；a b题型九：利用柯西不等式求最值1、二维柯西不等式（a,b,c,dR,当且仅当 a = b;即 ad=bc 时等号成立）若 a,b,c,dw R,贝 U（a2+b2）（c2+d 2）之（ac+bd）2 c d2、二维形式的柯西不等式的变式（1）,：a2+b2 -c2 +d2 ac+bd

11、 , （a,b,c,d w R,当且仅当 a =为；即ad =bc时等号成立）c d（3）（a+b）（c+d） >（v'ac+vbd）2 , （a, b,c,d 圭0 ,当且仅当 a =为；即ad =bc时等号成立）c d3、二维形式的柯西不等式的向量形式，（当且仅当E=0,或存在实数k,使W=kE时，等号成立）4、三维柯西不等式若 ai,a2,a3,bi,b2,bs w R ,则有：(a12 +a22 +a32)(ibi2 + +b32) - (aib +a2b2 +a3b3)25、一般n维柯西不等式设 a1,a2, ,I, an与bi,b2, 、bn是两组实数，则有：(a；+

12、a2?+ +an?)(b12+b22+bn2)之(aih+a2b2+anbn)2题型分析题型一：利用柯西不等式一般形式求最值1、设 x, y,zwR,若 x2+y2+z2=4,贝U x 2y+2z 的最小值为 时，(x,y,z)=析：(x2y+2z)2 w(x2 + y2+z2)12+(2)2+22 =4M9 = 36 , . x 2y + 2z最小值为一6此时:=5Hz = T，T)2+22Jy=± z=W 33并求此时x, y,z之值。2、设 x, y, z w R , 2x y 2z = 6 ,求 x2 + y2 +z2 的最小值 m ,、4 24、Ans： m =4;(x, y, z)=(一,一一,一) 3 333、设 x,y,zwR, 2x3y+z = 3,求 x2+(y 1)2 + z2 之最小值为，止匕时 y =(析：2x3y+z = 3u 2x-3(y-1)+z = 0)4、(2013 年湖南卷(理)已知 a,b,cw,a+2b+3c = 6,贝1Ja2+4b2+9c2 的最小值是(Ans:12)5、6、(2013 年湖北卷(理) 设