基本不等式教学设计

1、基本不等式（第一课时）授课教师：教材：人教版高中数学必修5第三章一、教学目标1 .通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景， 体会数形结合的思想：2 .进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深 对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力：3 .结合课本的探究图形,引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想：4 .借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等 式对4二的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法 与策略.以

2、上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教 学环节.二、教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式如4%士的证明过程：难点：在几何背景卜抽象出基本不等式，并理解基本不等式.三、教学过程：1.动手操作，几何引入如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标 代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最 明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？在正方形ABCD中有4个全等的直角三角角形两条直角边长为a,b,rjszi

3、那么正方形的边长为JaF?.于是，4个直角三角形的面积之和5 = 2ab ,是根据我国占.,|H 的，形.设直角三 DB正方形的面积S = a3+b2.三角形，再用 直角边，多余 个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？通过学生动手操作，探索发现：Vb< 2 .代数证明，得出结论根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论:a,b e R+,则 a+bAZab.若 a,b e R+ ,则 Vab < 3.o1学生探讨等号取到情况，教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生宜观感受不等关系中的相等 条件，从而进一步完善不等式结论：（1）若 a,beR+,则 a+bNZab；

4、 （2） a,b e R+, Ml Vab < 3请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明.证法一（作差法）：a3 +b: - 2ab = (a -b)2 > 0a2+b2>2ab,当a =b时取等号.（在该过程中，可发现a.b的取值可以是全体实数）证法二（分析法）：由于a,beR+,于是要证明止之而，只要证明 a +b > 2-x/ab »即证 Va + Vb - 2Vab > 0 ,即 W?->/b）2>0,该式显然成立，所以山2而，当a=b时取等号.得出结论，展示课题内容基本不等式：若a,beR+,则廊4山（当且仅当a =b时，等号成立

5、）若a,beR,则a+b2 2 2ab （当且仅当a =b时，等号成立）深化认识：称而为a.b的几何平均数；称山为a,b的算术平均数基本不等式而4 3又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数3 .几何证明，相见益彰探究三：如图，AB是圆0的直径，点C是AB上一点，AC = a, BC = b .过点C作垂直于AB的弦DE ,连接 AD,BD.D根据射影定理可得：cd = Vac Bc = Vb由于RtACOD中直角边CD v斜边OD ,A（T o C J B于是有而2E当且仅当点C与圆心。重合时，即a = b时等号成立.故而再次证明：当a>0,b>0时，而4孚（当且仅

6、当a=b时，等号成立）（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）4.应用举例，巩固提高例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆 最短，最短的篱笆是多少？（2） 一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面枳最大,最大面枳是多少？（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问翘的特征,实现积与和的转化）对于 x,yeR+,（1）若xy=p （定值），则当且仅当a=b时，x + y有最小值又质：2（2）若x + y = s （定值），则当且仅当a=b时，xy行最大值亍.（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基

7、本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于 探索的精神.）例2.求y = x+4（xh 0）的值域.变式1.若X > 2 ,求X+的最小值.x- 2在运用基本不等式解题的基础上，利用几何画板展示y=x+1（XHO）的函数图象，使学生再次感受数 X形结合的数学思想.并通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式a V包的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略.练一练（自主练习）：c 81 .已知x>0,y>0,且二+ = 1,求xy的最小值.x y2 .设x,yeR,且x+y=2,求3*+3旷的最小值.5 .归纳小结，反思提高

8、基本不等式：若a,bcR,则a'b2 2 2ab （当且仅当a = b时，等号成立）若a,bwR+,则闻 4烈士（当且仅当a = b时，等号成立）（1）基本不等式的几何解拜（数形结合思想）：（2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法.媒体展示，渗透思想：若将算术平均数记为马=二2,几何平均数记为4=历利用电脑3D技术，在空间坐标系中向学生展示基本不等式的几何背景：100- Z平面71=2在曲面=向的匕方6 .布置作业，课后延拓（1）基本作业：课本P1OO习题A组1、2题（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上杳找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流.（3）探究作业：现有一台天

9、平，两臂长不相等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘 各称一次，则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量.这种说法对吗？并说明你的结论.基本不等式（第一课时）教学设计说明一、内容和内容解析本节课是人教版高中数学必修5中第三章第4节的内容。主要是二元均值不等式。它是在系统地学习 了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一，为后续的学 习奠定基础。要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题.此时基本不等式是必不可缺的。基本不 等式在知识体系中起了承上启卜的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进 行情感价值观

10、教育的优良素材，所以基本不等式应重点研究。教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自 主探究、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学 生主体参与、揭示本质、经历过程。就知识的应用价值上来看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式 推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等在各种不等式的研究中均 有着广泛的应用；另外，在解决函数最值问题中，基本不等式也起着重要的作用。就内容的人文价值上来看，基本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳，有助于培养学生

11、创 新思维和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体。二、教学目标和目标解析教学目标：了解基本不等式的几何背景，能在教师的引导卜探究基本不等式的证明过程，理解基本不 等式的几何解释，并能解决简单的最值问题；借助于信息技术强化数形结合的思想方法。在教师的逐步引导下，能从较为熟悉的几何图形中抽象出基本不等式，实现对基本不等式几何背景的 初步了学生己经学习了不等式的基本性质，可以运用作差法给出基本不等式的证明，同时，介绍并渗透分析 法证明的思想方法，从而完成基本不等式的代数证明。进一步通过探究几何图形，给出基本不等式的几何解糅，加强学生数形结合的意识。通过应用问题的解决，明确解决应用

12、题的一般过程。这是一个过程性目标。借助例b引导学生尝试 用基本不等式解决简单的最值问题，体会和与枳的相互转化，进一步通过例2,引导学生领会运用基本不 等式加4山的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，并用几何画板展示函数图形，进一步深化数形结合的思想。结合变式训练完善对基本不等式结构的理解，提升解决问题的能力，体 会方法与策略。三、教学问题诊断在认知上，学生己经掌握了不等式的基本性质，井能够根据不等式的性质进行数、式的大小比较，也 具备了一定的平面几何的基本知识。但是，倘若教师不加以引导，学生并不能自觉地通过已有的知识、记 忆去发展和构建几何图形中的相等或不等关系，这就需要教师

13、逐步地引导，并选用合理的手段去激活学生 的思维，增强数形结合的思想意识。另外，尽可能引领学生充分理解两个基本不等式等号成立的条件，为利用基本不等式解决简单的最值 问题做好铺垫。在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式同4受使用的前提条件a,b>0,同时又要注意区别基本不等式a?+b222ab的使用条件为a,bwR。因此，在教学过程中，借助 例题落实学生领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用。而对于 “一正二定三相等”的进一步强化和应用，将放于下一个课时的内容。四、教学支持条件分析为了能很好地展示几何图形，体会基本不等式的几何背景，教学中需要有

14、具体的图形来帮助学生理解基 本不等式的生成，感受数形结合的数学思想，所以，借助于几何画板软件来加强几何直观十分必要，同时 演示动画帮助学生验证基本不等式等号取到的情况，并用电脑3D技术展示基本不等式的又一几何背景， 加深对基本不等式的理解，增强教学效果。五、教学设计流程图教学过程的设计从实际的问题情境出发，以基本不等式的几何背景为着手点，以探究活动为主线，探 求基本不等式的结构形式，并进一步给出几何解释，深化对基本不等式的理解。通过典型例题的讲解，明 确利用基本不等式解决简单最值问题的应用价值。数形结合的思想贯穿于整个教学过程，并时刻体现在教 学活动之中。六、教法和预期效果分析本节课通过6个教学环节，强调过程教学，在教师的引导卜.，启动观察、分析、感知、归纳、探究等 思维活动，从各个层面认识基本不等式，并理解其几何背景。课堂教学以学生为主体，基本不等式为主线, 在学生原有的认知基本上，充分展示基本不等式这一知识的发生、发展及再创造的过程。同时，以多媒体课件、几何画板、电脑3D技术作为教学辅助手段，赋予学生直观感受，便于观察， 从而把一个生疏的、内在的知识