奥数专题定义新运算带答案完美排版

1、定义新运算我们学过的常用运算有：+、一、X、宁等女口： 2+ 3 = 52X 3 = 6都是 2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算. 当然，这个对应法则应该是对任意两个数， 通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应 . 只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“ + ”，“_”，“x”，J ”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算” .例1、设a、b都表示数，规定a b= 3X a- 2X b， 求 32，

2、2A3; 这个运算“”有交换律吗？ 求(17A6) 2，17A (6A2); 这个运算“”有结合律吗？ 如果已知4A b= 2,求b. 分析：解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的 3倍减去符号后面的数的 2倍.解： 32= 3X 3- 2X 2= 9-4= 523 = 3X 2-2X 3 = 6-6 = 0. 由的例子可知“”没有交换律 要计算(176) 2,先计算括号内的数，有：176 = 3X 17-2X6 = 39;再计算第二步 392= 3 X 39- 2X 2= 113,所以(176) 2= 113对于17 (62)，同样先计算括号内

3、的数，62 = 3X 6-2X 2= 14，其次 17 14 = 3X 17- 2X 14= 23，所以 17 (6 2)= 23. 由的例子可知“ ”也没有结合律 . 因为 44b = 3X4-2X b= 12-2b,那么 12-2b= 2,解出 b = 5.例2、定义运算为b = aX b-( a+ b), 求5探7, 了5;求12探(3探4),( 12探3)探4; 这个运算 ”有交换律、结合律吗？如果3探(5探x) = 3,求x.解： 57 = 5X 7-( 5+ 7)= 35- 12 = 23, 7 5= 7X 5-( 7+ 5)= 35- 12= 23. 要计算12探(3探4),先计

4、算括号内的数，有：3探4= 3X4-( 3+ 4)= 5,再计 算第二步 伐5= 12X 5-( 12+ 5)= 43,所以12探(3探4)= 43.对于(12探3)探4,同样先计算括号内的数， 伐3= 12X 3-( 12+ 3)= 21,其次 21探4 = 21 X 4-(21 + 4)= 59,所以(12探 3)探 4= 59. 由于b = ax b( a+ b)；匕a= bx a( b+ a)=ax b( a+ b)(普通加法、乘法交换律) 所以有b=匕a,因此“”有交换律.由的例子可知，运算“”没有结合律. 厶x = 5x( 5 + x)= 4x 5;3探(5探x)= 3探(4x 5

5、)=3 (4x 5) ( 3+ 4x 5)=12x 15( 4x 2)=8x 13那么8x 13= 3解出x = 2.例3、定义新的运算a b= ax b+ a+ b. 求 6 2， 2 6； 求(1 2)3, 1 (2 3); 这个运算有交换律和结合律吗？解： 62 = 6X 2 + 6 + 2 = 20, 26 = 2X 6+ 2 + 6 = 20.S 1 2)3=( 1 x 2+ 1 + 2)3=53= 5x 3+ 5+ 3= 231(23)=1(2x3+2+3)=1 11 =1x11+1+11= 23.先看“ ”是否满足交换律：a b= ax b+ a+ bb a= bxa+ b+ a

6、= ax b+ a+ b (普通加法与乘法的交换律) 所以a b= b a,因此“ ”满足交换律.再看“ ”是否满足结合律：( a b) c=( ax b+ a+ b) c=( ax b+ a+ b)x c+ ax b+ a+ b+ c= abc+ ac+ bc+ ab+ a+ b+ c.a (b c)=a (bxc+b+c)= ax( bx c+ b+ c)+ a+ bx c+ b+ c= abc+ ab+ ac+ a+ bc+ b+ c= abc+ ac+ bc+ ab+ a+ b+ c. (普通加法的交换律) 所以(a b) c= a (b c),因此“”满足结合律. 说明：“ ”对于普

7、通的加法不满足分配律,看反例：1 (2+3)=1 5=1x5+1+5=11；1 2+ 1 3= 1 X 2+ 1+ 2+ 1 X 3+ 1 + 3 = 5+ 7= 12; 因此 1 (2+ 3)工 1 2+ 1 3.例4、有一个数学运算符号“ ”，使下列算式成立：2 4 = 8, 5 3= 13, 3 5= 11,9 7 = 25,求 7 3=?解：通过对2 4= 8, 5 3= 13, 3 5= 11, 9 7= 25这几个算式的观察，找到规律：a b = 2a+ b,因此 7 3 = 2X 7 + 3= 17.例5、x、y表示两个数，规定新运算“ *”及“”如下：x*y=mx+ny , x

8、 y=kxy，其中m、 n、k均为自然数，已知 1*2=5,(2*3) 4=64，求(2) *3的值.分析：我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求2) *3的值，首先我们要计算2,根据“”的定义：2=kx 1X 2=2k,由于k的值不知道，所以首先要计算出k 的值，k值求出后，I2的值也就计算出来了 .我们设2=a, (1 2) *3=a*3,按“*”的定义： a*3=ma+3n,在只有求出 m、n 时，我们才能计算a*3的值.因此要计算(2) *3的值，我们就要先求出k、m、n的值. 通过1*2 =5可以求出m、n的值，通过(2*3) 4=64求出k的值.解：因为1*2=mX 1+nX2

9、=m+2n,所以有m+2n=5.又因为m、n均为自然数，所以解出： m=1m=2| m=3 当=m=1, n=2 时：n =3 (舍去).n =1(2*3) 4= (1 X 2+2 X3) 4=8 4=k X 8X 4=32k有 32k=64，解出 k=2. 当m=3, n=1时：(2*3)4= (3X2+1 X 3)4=9 4=k X 9X 4=36k有36k=64，解出k=17，这与k是自然数矛盾，因此 m=3, n =1, k=1=99这组值应舍去所以 m=l, n=2, k=2.(2) *3= (2X 1X 2) *3=4*3=1X4+2X 3=10.在上面这一类定义新运算的问题中，关

10、键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时， 严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算 常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前， 不能运用这些运算律来解题.课后习题11. a*b表示a的3倍减去b的-，例如：1*2=1 X3-2X 2=2，根据以上的规定，计算： 10*6;7* (2*1).2.定义新运算为a 一 b= 口 ,b若 x 4二 1.35,求2 一(3 一 4)的值；3. 有一个数学运算符号O,使下列算式成立：1O 2 = 3 ,彳 O 7 = 11236594. 定义两种运算“ ”、a b= a+ b+

11、 1, a 计算4 (6 8) 若x (x 4) =30,求x的值.5. 对于任意的整数x、y,定义新运算“ ”， xAy= 6 '勺 (其中m是一个确定的整数)，m Xx 2 Xy如果 1A 2=2,则 2A9=?6. 对于数a、b规定运算“ ”为 ab= (a+ 1)x( 1 b)若等式(a a) (a+ 1) = (a+ 1) (a a)成立，求a的值.7. “ * ”表示一种运算符号，它的含义是：x*y= +1,xy (x 1) (y A),5 01 =-，求-O 4456742115“”，对于任意两个整数b=ax b 1,(3 5)的值；7* 2X3-1X f的值.a、b,7

12、*557X3-55XI1825.已知2*仁丄 +1=-，求1998* 1999的值.2 X1 (2 1) (1 A) 38. a探b=S，在乂1) =6中，求x的值.a +bb>a)如果A表示选9. 规定 aA b=a+( a+ 1) + ( a+ 2)+( a+ b 1),( a、b 均为自然数， xA 10=65,那么 x= ?10. 我们规定：符号表示选择两数中较大数的运算，例如：503=305=5,符择两数中较小数的运算，例如：5A 3=3A 5=3，计算：(0.60)26(0.3A )9923(0.625A23)33(空 C2.25)106课后习题解答1.2.3.所以有5x-2

13、=30,解出x=6.4左边：8. 解：由于9. 解：按照规定的运算：xA 10=x + (x+1) + (x+2) + + (x+10 1)=10x + (1+2+3+?+9) =10x + 45因此有10x + 45=65,解出x=2.定义新运算我们学过的常用运算有：+、一、X、宁等女口： 2+ 3 = 52X 3 = 6都是2和3,为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数， 通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应 . 只要符合这个要求，不同的法则就是不

14、同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形 式，它们与我们常用的“ + ”，“_”，“x”，J ”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算” 例1、设a、b都表示数，规定a b= 3X a- 2X b， 求 32，2A3; 这个运算“”有交换律吗？ 求（17A6） 2，17A （62）; 这个运算“”有结合律吗？ 如果已知4A b= 2,求b.例2、定义运算为b = aX b-（ a+ b），求5探7，了5;求12探（3探4），（ 12探3）探4; 这个运算 ”有交换律、结合律吗？如果3探（5探x） = 3，求x.例3、定义新的运算a b= ax b+ a+ b. 求62,

15、 26; 求（1 2） 3，1 （2 3）; 这个运算有交换律和结合律吗？例4、有一个数学运算符号“ ”，使下列算式成立：2 4 = 8, 5 3= 13，3 5= 11，9 7 = 25,求 7 3=？例5、x、y表示两个数，规定新运算“ *”及“”如下：x*y=mx+ny , x y=kxy，其中m、 n、k均为自然数，已知 1*2=5,（2*3） 4=64，求（2） *3的值.课后习题11. a*b表示a的3倍减去b的-，例如:11*2=1 X 3-2X 2=2，根据以上的规定，计算: 10*6;7* (2*1)2. 定义新运算为求2 一（ 3 一 4）的值； 若x 一 4= 1. 35

16、,则x =？3. 有一个数学运算符号O,使下列算式成立:102 = 3 , -O- = y- , -O-=-，求-O-的值.236594567421154. 定义两种运算“ ”、“”，对于任意两个整数 a b,a b= a+ b+ 1,a b=ax b 1, 计算4 (6 8)( 3 5)的值； 若x (x 4)=30，求x的值.5. 对于任意的整数x、y，定义新运算“ ”，xAy= 6 '勺 (其中m是一个确定的整数)，m Xx 2 Xy如果 1A 2=2，则 2A9=?6. 对于数a、b规定运算“ ”为ab= (a+ 1)x( 1 b)， 若等式(a a) (a+ 1) = (a+ 1) (a a)成立，求a的值.7. “ * ”表示一种运算符号，它的含义是：1x