应用题06牛吃草问题

1、英国科学家牛顿在他的 普通算术 一书中， 有一道关于牛在牧场上吃草的问题， 即牛在牧场上吃草， 牧场上的草在不断的、均匀的生长后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题” “牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间难点在于随着时间的增长，草也在按 不变的速度均匀生长，所以草的总量不定 “牛吃草”问题是小学应用题中的难点解“牛吃草”问题的主要依据： 草的每天生长量不变； 每头牛每天的食草量不变； 草的总量 草场原有的草量 新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值 新生的草量 每天生长量 天数同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：设定 1 头牛 1 天吃草量为“ 1”；

2、草的生长速度 （对应牛的头数 较多天数 对应牛的头数 较少天数 ） （较多天数 较少天数 ）；原来的草量 对应牛的头数 吃的天数 草的生长速度 吃的天数；吃的天数 原来的草量 （ 牛的头数 草的生长速度 ） ；牛的头数 原来的草量 吃的天数 草的生长速度“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本 质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题板块一、一块地的“牛吃草问题”【例 1】青青一牧场，牧草喂牛羊；放牛二十七，六周全吃光。改养廿三只，九周走他方；若养二十一，可作几周粮？ （注：“廿”的读音与“念”相同。“廿”即二十之意。） 【解说】 题目翻

3、译过来是： 一牧场长满青草， 27 头牛 6 个星期可以吃完， 或者 23头牛 9 个星期可以吃完。 若是 21 头牛，要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草每天都在生长）巩固】 牧场上长满牧草， 每天牧草都匀速生长 这片牧场可供 10 头牛吃 20 天，可供 15 头牛吃 10 天供25 头牛可吃几天？巩固】 仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。用同样的汽车运货出仓， 如果每天用 4 辆汽车，则 9天恰好运完；如果每天用 5 辆汽车，则 6 天恰好运完。仓库里原有 的存货若用 1 辆汽车运则需要多少天运完？例 2 】 牧场上有一片匀速生长的草地，可供 27 头牛吃 6

4、周，或供 23 头牛吃 9 周，那么它可供多少头 牛吃 18 周？巩固】 有一块匀速生长的草场，可供 12 头牛吃 25 天，或可供 24 头牛吃 10 天那么它可供几头牛吃20 天？70 头牛 24 天把草吃完， 30 头牛 60 天把草吃完，则巩固】 （2007 年湖北省“创新杯” ） 牧场有一片青草，每天长势一样，已知 头牛 96 天可以把草吃完巩固】 一牧场放牛 58头， 7天把草吃完；若放牛 50头，则 9 天吃完假定草的生长量每日相等，每头 牛每日的吃草量也相同，那么放多少头牛 6 天可以把草吃完 ?巩固】 林子里有猴子喜欢吃的野果， 23 只猴子可在 9 周内吃光， 21 只猴子

5、可在 12 周内吃光，问如果 要 4 周吃光野果，则需有多少只猴子一起吃？（假定野果生长的速度不变）巩固】 一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库. 5台抽水机连续 20 天可抽干； 6 台同样的抽水机连续 15 天可抽干 . 若要求 6 天抽干，需要多少台同样的抽水机？例 3 】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5 天，或可供 15 头牛吃 6 天照此计算，可以供多少头牛吃10 天？巩固】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草 可供 25 头牛吃 4 天，或可供 16 头牛吃

6、6天，那么可供多少头牛吃 12 天？例 4】 由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少经计算，牧场上的草可供 20 头牛吃 5 天，或可供 16 头牛吃 6 天那么，可供 11 头牛吃几天？巩固】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草 可供 25 头牛吃 4 天，或可供 16 头牛吃 6天，那么可供 10 头牛吃多少天 ？例 5】 一块匀速生长的草地， 可供 16头牛吃 20天或者供 100只羊吃 12 天如果一头牛一天吃草量等 于 5 只羊一天的吃草量，那么这块草地可供10 头牛和 75 只羊一起吃多少天？巩固】 （ 2008年希望杯六年

7、级二试试题） 有一片草场，草每天的生长速度相同。若 14 头牛 30 天可将草吃完， 70只羊 16 天也可将草吃完 （4 只羊一天的吃草量相当于 1头牛一天的吃草量 ）。那么， 17头牛和 20只羊多少天可将草吃完 ?20 头牛吃 12 天，或可供 60 只羊吃 24 天。如果 1 头牛的吃草量等于 4只羊的吃草量，那么12头牛与 88 只羊一起吃可以吃几天？巩固】 一片牧草，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供巩固】 一片茂盛的草地，每天的生长速度相同，现在这片青草 16 头牛可吃 15 天，或者可供 100 只羊吃 6天，而 4只羊的吃草量相当于 l 头牛的吃草量， 那么 8头牛与 48

8、 只羊一起吃， 可 以吃多少天 ?例 6 】 有一牧场， 17 头牛 30 天可将草吃完， 19 头牛则 24 天可以吃完现有若干头牛吃了 6 天后，卖 掉了 4 头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完问：原来有多少头牛吃草（草均匀生长 ） ？巩固】 一片草地，可供 5 头牛吃 30天，也可供 4 头牛吃 40天，如果 4头牛吃 30天，又增加了 2 头牛 一起吃，还可以再吃几天？例 7 】 一片匀速生长的牧草， 如果让马和牛去吃， 15 天将草吃尽； 如果让马和羊去吃， 20 天将草吃尽；如果让牛和羊去吃， 30 天将草吃尽 已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量现在让马、牛、羊一起去吃草，

9、几天可以将这片牧草吃尽？巩固】 现在有牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需要 45 天吃完，于是马、羊吃需要 60 天吃完， 于是牛、羊吃需要 90 天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃， 需多少时间 ?板块二、多块地的“牛吃草问题”【例 8】 东升牧场南面一块 2000 平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长，这片牧场可供 18 头牛吃 16 天，或者供 27 头牛吃 8 天在东升牧场的西侧有一块 6000 平方米的牧场，可供多少 头牛吃 6 天？巩固】 有甲、乙两块匀速生长的草地，甲草地的面积是乙草地面积的3 倍30头牛 12 天能吃完甲草地上的草， 20

10、头牛 4 天能吃完乙草地上的草问几头牛10 天能同时吃完两块草地上的草？巩固】 有一块 1200 平方米的牧场，每天都有一些草在匀速生长，这块牧场可供 10 头牛吃 20 天， 或可供 15 头牛吃 10天，另有一块 3600 平方米的牧场， 每平方米的草量及生长量都与第一 块牧场相同，问这片牧场可供 75 头牛吃多少天？例 9】 一个农夫有面积为 2 公顷、 4 公顷和 6 公顷的三块牧场 三块牧场上的草长得一样密，而且长 得一样快 农夫将 8 头牛赶到 2 公顷的牧场，牛 5 天吃完了草；如果农夫将 8 头牛赶到 4 公顷 的牧场，牛 15天可吃完草 问：若农夫将这 8 头牛赶到 6 公顷

11、的牧场，这块牧场可供这些牛吃 几天？巩固】 有三块草地，面积分别为 5公顷、 15公顷和 24 公顷草地上的草一样厚，而且长得一样快 第 一块草地可供 10 头牛吃 30 天，第二块草地可供 28 头牛吃 45 天问：第三块草地可供多少头 牛吃 80 天？例 10 】 4 头牛 28 天可以吃完 10 公顷牧场上全部牧草， 7 头牛 63 天可以吃完 30 公顷牧场上全部牧草， 那么 60 头牛多少天可以吃完 40 公顷牧场上全部牧草？ （每公顷牧场上原有草量相等， 且每公顷 牧场上每天生长草量相等 ）巩固】 有三块草地，面积分别是 4 公顷、 8 公顷和 10 公顷草地上的草一样厚而且长得一

12、样快第一 块草地可供 24头牛吃 6周，第二块草地可供 36头牛吃 12周问：第三块草地可供 50 头牛吃几周？例 11 】 三块牧场，场上的草长得一样密，而且长得一样快，它们的面积分别是3 公顷、 10 公顷和 24公顷第一块牧场饲养 12 头牛，可以维持 4 周；第二块牧场饲养 25头牛，可以维持 8周问 第三块牧场上饲养多少头牛恰好可以维持 18 周？【例12】17头牛吃28公亩的草，84天可以吃完；22头牛吃同样牧场 33公亩的草54天可吃完，几头牛吃同样牧场40公亩的草，24天可吃完？（假设每公亩牧草原草量相等，且匀速生长）1【例13】 有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一样快它

13、们的面积分别是3丄公顷、10公顷和243公顷.已知12头牛4星期吃完第一片牧场的草，21头牛9星期吃完第二片牧场的草，那么多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草 ？【例14】如图，一块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的阴影部分，已知草在各处都是同样速度均匀生长.牧民带着一群牛先在号草地上吃草，两天之后把号草地的草吃光（在这2天内其他草地的草正常生长）之后他让一半牛在号草地吃草，一半牛在号草地吃草，将两个草地的草吃光然后牧民把1的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外-的牛放在号草33地吃草，结果发现它们同时把草场上的草吃完.那么如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草，吃完这些草需要多少时间？6天

14、后又板块三、“牛吃草问题”的变形【例15】一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水，8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水?【巩固】一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果3人淘水40分钟可以淘完;例 16】 假设地球上新生成的资源增长速度是一定的， 照此计算，地球上的资源可供 110 亿人生活 90 年； 或供 90 亿人生活 210 年。为了使人类能够不断繁衍，地球上最多能养活多少人？例 17 】 画展 8:30 开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如 果开 3 个入场口， 9

15、点就不再有人排队；如果开 5 个入场口， 8 点 45 分就没有人排队。求第 个观众到达的时间。巩固】 画展 9 点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如 果开 3 个入场口， 9 点 9 分就不再有人排队；如果开 5个入场口， 9点 5 分就没有人排队求第 一个观众到达的时间巩固】 早晨 6 点，某火车进口处已有 945 名旅客等候检票进站，此时，每分钟还有若干人前来进口处 准备进站这样，如果设立 4 个检票口， 15 分钟可以放完旅客，如果设立 8 个检票口， 7 分钟 可以放完旅客现要求 5 分钟放完，需设立几个检票口 ?【例18】在地铁车站中，从站台

16、到地面有一架向上的自动扶梯小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过 20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过30级台阶到达地面.从站台到地面有 级台阶.【巩固】 两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级梯级，女孩每秒可走2级梯级，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了 300秒。问：该扶梯共有多少级梯级？【巩固】 自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个急性子的孩子嫌扶梯走的太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒向上走1梯级，女孩每3秒钟走2梯级。结果男孩用 50秒到达楼上，女孩用 60秒到达 楼上。该楼梯共有多少级？【例19】小明从甲地步行去乙地，

17、 出发一段时间后，小亮有事去追赶他， 若骑自行车，每小时行15千米,3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米，分钟能追上。【例20】快、中、慢三车同时从 A地出发沿同一公路开往 B地，途中有骑车人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑车人.已知快车每分钟行800米，慢车每分钟行 600米，中速车的速度是多少？【巩固】 有固定速度行驶的甲车和乙车，如果甲车以现在速度的2倍追赶乙车，5小时后甲车追上乙车;如果甲车以现在速度的 3倍追赶乙车，3小时后甲车追上乙车，那么如果甲车以现在的速度去追 赶乙车，问：几个小时后甲车追上乙车？【

18、例21】甲、乙、丙三车同时从 A地出发到B地去甲、乙两车的速度分别是每小时60千米和每小时48千米.有一辆卡车同时从 B地迎面开来，分别在它们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙车相遇，求丙车的速度.【巩固】 小新、正南、妮妮三人同时从学校出发到公园去.小新、正南两人的速度分别是每分钟20米和每分钟 16 米.在他们出发的同时，风间从公园迎面走来，分别在他们出发后6 分钟、 7分钟、 8分钟先后与小新、正南、妮妮相遇，求妮妮的速度.例 22】 一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀，如果同时打开进水阀及一个排水 阀，则 30分钟能把水池的水排完， 如果同时打开进水阀及两个

19、排水阀，则10分钟把水池的水排完.问：关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要多少分钟才能排完水池的水？【巩固】 一个蓄水池有1个进水口和15个出水口，水从进水口匀速流入.当池中有一半的水时，如果打开9个出水口， 9小时可以把水排空如果打开7个出水口， 18小时可以把水排空如果是满池水，打开全部出水口放水，那么经过 时分水池刚好被排空.【例23】 北京密云水库建有10个泄洪洞，现在水库的水位已经超过安全线，并且水量还在以一个不变的 速度增加，为了防洪，需要调节泄洪的速度，假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开 一个泄洪闸，30个小时以后水位降至安全线；若同时打开两个泄洪闸，10个小时后水位降

20、至安全线根据抗洪形势，需要用 2个小时使水位降至安全线以下，则至少需要同时打开泄洪闸的 数目为多少个？【巩固】（2008年“希望杯”五年级二试）有一个蓄水池装了 9根相同的水管，其中一根是进水管，其余8根是出水管开始时，进水管以均匀的速度不停地向蓄水池注水后来，想打开出水管，使池 内的水全部排光.如果同时打开8根出水管，则3小时可排尽池内的水； 如果仅打开5根出水管, 则需6小时才能排尽池内的水.若要在4.5小时内排尽池内的水，那么应当同时打开多少根出水 管？【巩固】 一个蓄水池装有9根水管，其中1根为进水管，其余 8根为相同的出水管。开始进水管以均匀 的速度不停地向这个蓄水池蓄水。池内注入了

21、一些水后，有人想把出水管也打开，使池内的水再全部排光。如果把 8根出水管全部打开，需要 3小时可将池内的水排光；而若仅打开3根出水管，则需要18小时。问如果想要在 8小时内将池中的水全部排光，最少要打开几根出水管？【巩固】 由于环境恶化、气候变暖，官厅水库的水在匀速减少，为了保证水库的水量，政府决定从上游 的壶流河水库以及册田水库分别向官厅水库进行调水，已知这两个水库的每个闸门放水量是相 同的，如果同时打开壶流河水库的5个闸门30小时可以使官厅水库水量达到原来的标准，如果同时打开册田水库的 4个闸门40小时可以使官厅水库水量达到原来的标准，如果24小时使官厅水库水量达到原来的标准，问需同时打开

22、两个水库的几个闸门？【巩固】（2008年“陈省身杯”国际青少年五年级数学邀请赛）有一个水池，池底存了一些水，并且还有泉水不断涌出。为了将水池里的水抽干，原计划调来8台抽水机同时工作。 但出于节省时间的考虑，实际调来了 9台抽水机，这样比原计划节省了8小时。工程师们测算出，如果最初调来10台抽水机，将会比原计划节省12小时。这样，将水池的水抽干后，为了保持池中始终没有水，还应该至少留下 台抽水机。例 24 】 甲、乙、丙三个仓库，各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带输送机和12 个工人， 5 小时可将甲仓库内面粉搬完； 乙仓库用一台皮带输送机和 28个工人， 3 小时可将仓库内面粉搬完； 丙仓库现有 2 台皮带输送机， 如果要用 2 小时把丙仓库内面粉搬完， 同时还要多少个工人？ （每 个工人每小时工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，另外皮带输送机与工人一起往外