动圈式扬声器的半电感等效电路模型

1、JAES 论文翻译，本译文原文发表在JAES VOLUME 56 NUMBER 9,2008 September <Electrical Equivalent Circuit Model for Dynamic Moving Coil Transducer Incorporating a Semi-inductor>动圈式扬声器的半电感等效电路模型作者：Knud Thorborg（丹麦迪芬尼）, Andrew D. Unruh（美国迪芬尼） (Tymphany Corporation, Denmark &USA)翻译：王富裕 （Tymphany China，中国迪芬尼，惠州

2、超声音响有限公司）内容摘要传统的动圈扬声器在音圈嵌定（阻挡）时的电路模型为一个电感和一个电阻的串联，实际上由于T铁芯柱的涡流和“趋肤效应”，以及音圈与磁路系统中的导电圆环(圈)之间的互相耦合（如同变压器的初级和次级线圈之间的耦合）,使得音圈电感具有半电感的性质，传统简单的电路模型已不能很好地表达。本文介绍的改良模型只是在原来传统基础上增加几个额外的原件，从而克服了那些局限，改良模型更符合物理实质,而且可以很容易被合并到现存的等效电路模型中。本文还介绍了模型的发展和应用，并提供了一个模拟结果更精确的低音音箱声压频率响应的案例，以及新模型相对以前的Wright,Leach以及Klippel所使用的

3、模型的优点等。A series connection of an inductance and a resistor is traditionally used to model the blocked electrical impedance of a dynamic moving coil loudspeaker. In practice, semi-inductive behaviour due to eddy currents and “skin effect” in the pole structure, as well as transformer coupling between

4、 the voice coil and conducting rings in the magnet system can be observed, but are not well represented by this simple model. An improved model using a few additional elements is introduced to overcome these limitations. This improved model agrees well with physical realities and is easily incorpora

5、ted into existing equivalent circuit models. The development of the model is explained and its use is demonstrated . An example yielding more accurate simulation of the sound pressure frequency response of a woofer in its enclosure is provided. The advantages of this new model compared to previous m

6、odels by Wright ,Leach and the model used by Klippel are discussed. 【关键词】扬声器等效电路模型，半电感，涡流，短路环【key words】equivalent circuit model of a dynamic moving coil loudspeaker, semi-inductor, eddy current, short-circuiting ring 1. 引言一种改进的动圈扬声器电阻抗模型开始是作为会议论文发表在122次AES会议上（2007年5月，维也纳），由于交稿时间紧，第一稿不很完善，这篇论文是会后对理论

7、的解释作了修正，并增加了最新的研究结果。大家熟悉的动圈扬声器的等效电路如下图1所示， 图 1 传统的导纳型扬声器等效线路图这是扬声器力学端导纳型、电学端阻抗型的复合电路。该电路的好处是可以将电学端通过变压比为Bl的变压器耦合到力学（机械）端，或将力学端耦合到电学端，Bl为扬声器磁路系统的力因子。该系统的输入为电压，输出为振动系统的速度，见图1.在计算扬声器声压频率响应时，由于振动锥体在空气中的辐射阻抗对振动系统的运动影响很小，通常予以忽略，而空气负载考虑为振动系统等效质量（）的一部分。和为音圈的电阻和电感，是支撑系统的总顺性，代表振动系统的粘滞阻尼。现在我们的重点是改善等效电路的电学端，使得模

8、型中的元件能反映系统（物理模型）的行为并能与实际测量结果更吻合。改进模型运用“曲线逼近（吻合）”技术，能够推导出更精准的T/S参数。2. 阻抗2.1 音圈钳定（阻挡）阻抗及动生阻抗图1中，通过变压器耦合可以将代表机械（力学）运动部分的电路转换到变压器初级（电部分），从而产生下图2。图2 ，图1转换到电学端后的等效电路图电阻抗可以认为由上面两个图框中零件组成，图2 左边图框中的元件构成了“钳定”阻抗，与锥体运动无关。右边第二个框图中的元件构成了动生阻抗,只要音圈在磁隙中运动就会产生动生阻抗,相应也就形成电动势（E.M.F,或电压），u为锥体振动速度，该电动势产生的电流将阻止音圈的运动，所以称反电

9、动势。机械参量依下列等式转为虚拟电子元件： (F) .(1) () .(2) (H) .(3) (V) .(4) 下标ES表示构成扬声器动生阻抗的并联谐振回路的虚拟电子元件。图2所示为扬声器两块式电路模型，右边方框内的电路存在谐振频率，在该频率时阻抗达到极大值。但是，实际上由于很小的感性抗的存在使得测得的谐振峰频率会往高频端移一点点。在振动元件谐振点的电阻抗等于： ()-(5)如果输入端电流为i, 那么将出现在输出端，那我们得到： （N/A）-(6)可以直接用激光换能器测量。2.2 测量得的阻抗与建模得到的阻抗之间的差异音圈钳定阻抗在处的实部的数值并不就等于,至少稍高一些，但这种差别也可能很明

10、显，因此用来计算的就不是，而是更大的值，这样得到的会比用传统的方法计算的数值高，这也会影响其他T/S参数的计算。然而，应注意的是没有简单的办法来测量，因为测量必须消除音圈运动的影响，以非破坏的方式又能有效地钳定扬声器可没那么简单。扬声器阻抗曲线的形状人所共知，下图3是测量的曲线，从很低频率接近开始，接着在谐振频率（由和对应的电等效元件和决定）处出现峰值。 在谐振频率以上，在 处出现一个极小值的该频率，主要由于和谐振。该极小值频率以上，根据传统音圈模型，其阻抗随频率单调上升（6 ）。图3 一个超低音（Peerless 830843）实测的阻抗曲线与用图2 所示的简单模型计算出的 曲线比较注：根据

11、测量曲线， 大约为160Hz。 上图是同一单元的测量的曲线和用简单等效电路预算出曲线的比较，该曲线表示的是一个2英寸4层线音圈低音，33毫米绕线高度。这些曲线显示了传统理论和测量结果之间的明显区别，在频率，预测的 阻抗幅度接近，而测量的阻抗值显著高于预料值，所以我们必须预料到该单元在装箱(密闭式或管道倒相式音箱)后模拟的声压频率响应会与相应的实际测量产生明显偏差。而测量的阻抗曲线的斜率在以上一般更接近为3而不是传统的只考虑电路中感性元件所预料的6。2.3 涡流效应和半电感Vanderkooy【4】解释阻抗曲线3斜率上升是铁心涡流和“趋肤效应”的 结果（主要在T铁芯柱）。不仅感应的交流电场，还有

12、交流磁导率，其趋肤深度都随频率的平方根（增加）相应减小（交流磁场也被限制在“趋肤深度”内），根据Vanderkooy给出的 趋肤深度为： （m） -(7)这里为铁的磁导率，为铁的电导率。Vanderkooy应用Maxwell方程证明如果线圈包裹在无限长铁芯上，那么在很低转折频率之上，线圈就表现为我们所谓的半电感，但在此转折频率以下，线圈仍表现为正常的电感。该半电感的复数阻抗按下列公式计算【4】： （） -（8） 该复数函数的模值的上升斜率为3，这正是我们大多数情况看到的扬声器在较高频率的阻抗曲线， K的单位是“半电感”【 】。如果音圈被铁芯包裹形成封闭的磁回路，那就可以预料上述类似结果。根据V

13、anderkooy的理论，我们应该可以知道线圈从电感特性转换到半电感行为的转折频率为趋肤深度（随频率升高而减小）达到下列值时： - （9）（这里，r为芯柱半径）如果我们有一个铁芯柱半径为10mm，相对磁导率为3000，电导率为，他计算的转折频率低至0.17Hz，但Vanderkooy观察到的转折频率一般在100-200Hz。他认为这种差别是由于磁路开放程度引起（主要是气隙和高磁阻磁钢），结果导致很不同的磁导率也许是3而不是通常纯铁的3000，将该值代入公式（7），就得出高1000倍的转折频率，这就与Vanderkooy实际观察到的频率比较一致。在以前会议论文中【1】，我们引用这种假设来解释从普

14、通电感变化为半电感的转折频率，但在论文提交后，通过对磁路系统中的涡流的模拟，发现这种假设并不正确，在远低于我们观察到的转折频率之下 ，就出现“趋肤效应”，于是我们不得不修正我们的理论，寻求另一种解释，重新考虑高转折频率真正的物理背景。Vanderkooy没有做出一种等效电路，既包括较高频段的半电感行为又包含电感与半电感之间的转折行为。本文的主要目标就是研究出这样的电路。前面提到扬声器总的阻抗包含两部分：音圈钳定电阻抗和动生阻抗,下面的重点是音圈钳定阻抗。2.4 介绍Vanderkooy模型中的空气间隙为评估扬声器导磁的铁部件里究竟发生了什么，我们应用有限元分析（FEA）工具来模拟，不仅形象化和

15、计算静态场（电、磁），还可研究音圈交流电流的影响。我们使用的是公司的Magnet 软件。图4是一个模拟案例，我们看到的是扬声器磁路系统剖面图（轴对称线右侧）的右半部分在输入30HZ，1安培电流的情况。图4，扬声器磁路轴对称右半剖面图，在音圈流过1A、30Hz激励信号时，磁路导电的铁件中产生的涡流密度（颜色愈深（黑）电流密度愈大，浅色电流密度小）上图我们可看到，音圈电流密度当然是最大的（黑色条），铁的部分颜色深度反映了涡流密度，黑色涡流密度最大，白色背景反映电流很小或为零，阴影部分的面积多少衡量铁磁回路中电流密度分布。白色部分即使被切除也不会带来明显变化（静态磁场除外，磁钢和铁部件内部和周围的静

16、态磁场用磁力线表示）。在迪芬尼网站有上图的彩色动画演示，请注意，铁周围导电层（趋肤）深度并不是一个导电的“鸡蛋壳”，电流密度从表面向材料内部传播像很多道“水中的圈圈”（遵循Maxwell方程），当电流改变方向时，我们观察到一根零电流的白线（图4中可以清楚地看到）向铁内部移动，然后消失，在这条线内部，电流还没有改变方向。而且“趋肤深度”可以理解为图4中这样一个零电流线的等效数值，其内部的电流和外部相反。（在这个案例中，由于铁的磁化，相对磁导率大约为1000，其“趋肤深度”约为非磁化系统的3倍。-更大的“趋肤深度”某种程度是对更低导磁率的补偿。）从上面模拟中我们能学习到什呢？我们看到了Vander

17、kooy预言的在很低频率也存在“趋肤效应”，这里模拟的是30赫兹（但即使很低频率同样可以观察到）。根据公式（7），该模拟案例的趋肤深度约为3mm，但30Hz远低于观察到的转折频率。虽然我们按照原来预测观察到了“趋肤效应”，但还没达到半电感的程度，所以高转折频率一定另有原因，磁路的低导磁率并没有影响“趋肤效应”。线圈的电感一般由圈数的平方除以磁路的总磁阻，对于一个音圈那就是： （H） -（10）（n是音圈的圈数，磁路总磁阻是铁磁部分的磁阻和空气间隙的磁阻之和，由于趋肤效应，电感L变成频率的函数）如果没有“趋肤效应”（非导电铁芯），将有： () -(11)是没有空气隙时的电感，是只有空气隙磁阻时的

18、电感.这就有： （） -（12） 如果我们再考虑铁具有导电性，那就存在趋肤效应，根据Vanderkooy的模型，我们就得用替换，然后我们得到： () -(13)对于钳定的扬声器音圈阻抗，根据上述公式可用下图的等效电路图表示：图5： 根据公式（13）得到的“钳定音圈”半电感等效电路注意，我们插入了一个更小电感值的，主要代表了音圈在铁芯以上（音圈悬出间隙的上部）的电感，这是一个漏电感-后面有详细解释，我们假定其表现基本像一个普通电感。Vanderkooy计算的，参见资料【4】和方程（27），在高端频率（转折频率以上），Z的近似值（无限长线圈绕在无限长铁芯上，单位为） （）-（14）（r 是芯柱半径

19、，公式在时有效，参见（7），n是每米的圈数），从这个公式我们可得到： (sH) -(15)这里是起作用的（active）线圈长度（r和必须单位相同），可看成绕在无限长铁芯柱上无限长线圈的一部分，虽然我们不能用上述公式（15）来计算扬声器的,因为扬声器的实际情况离方程（15）适用的理想条件差得很远，但公式指明了决定的因素。图5代表了扬声器“实际的钳定音圈电路”，如果扬声器磁路系统中有一个导电环（或其他与音圈同心的导电元件），那电路就得更改（在后文中有提到，用替代）更改后就可应用于实际场合。(表示由于涡流引起的损耗，比如与音圈同心的短路环)3. 实际模型的验证基于PC数据采集的测试系统Soundc

20、heck（Listen公司）被用于测量超低音的阻抗曲线，设置为1/12oct间隔，10Hz-20kHz扫频。使用Microsoft Excel的Solver函数功能，使得数据逼近（fit）结合了图5的“钳定阻抗”和图2的“动生阻抗”的模型图6。图6 将传统“钳定音圈电路”换成图5的“实际钳定电路”后的等效电路，推荐在实践中使用（例如在T/S参数计算和音箱模拟中）。测试的扬声器是一只10”的Peerless XXLS，型号为830843，该超低音单元的特征为T铁柱上方采用了铝垫圈，并在磁路系统中使用了铝短路环。用曲线逼近（吻合）的方法被认为是解决带有几个变量方程的捷径，这里我们有7个变量，逼近的

21、结果参见下图7（阻抗幅度）和图8（阻抗相位），计算出的参数显示在下表1中，很明显，吻合很好，结果看起来很正确。图7，测量到的Peerless 830843 低音单元阻抗幅度响应和逼近（符合）图6电路图的阻抗幅度曲线，单元是在自由空气中测量，700Hz小峰是典型边缘谐振的产物。图8测量到的Peerless 830843 低音单元阻抗相位响应和逼近（符合）图6电路图的阻抗相位曲线，单元是在自由空气中测量，700Hz小峰是典型边缘谐振的产物。表1， 符合图6电路的Peerless830843低音参数（在自由空气中），逼近结果如图7和图8显示。注：通过曲线逼近找到的比用直流DC法测量的大一些，我们明白

22、这是由于与音圈同心的 导电材料中涡流引起。由于是半电感,或也包含实部，在举的这个案例中并不很重要。同样因为导电材料的存在，使得大大减小。为了测试这些结果的可靠性，我们想单独测量和逼近（吻合）钳定音圈阻抗。为这个目的，我们在音圈骨架和单元的T铁芯柱间使用一种高强度的胶水粘住，消除音圈运动，这样就消除了动生阻抗，只留下待检测的钳定阻抗，测量的结果如下图9（幅度）和图10（相位）所示，钳定电参数如表2所示。图9，测量的Peerless 830843低音钳定阻抗的幅度响应以及逼近图5等效电路的曲线图10，测量的Peerless 830843低音钳定阻抗的相位响应以及逼近图5等效电路的曲线。在测量曲线中

23、4kHz衍生的小峰是由于机械系统没有完全钳定造成的谐振。表2，Peerless830843 钳定的阻抗参数，逼近图5等效电路的结果参见 图9和图10。又一次看到，根据曲线逼近方法和测量得到数据相当吻合，表1和表2显示的钳定阻抗参数很一致。这告诉我们要准确测量钳定阻抗参数不必卡住让音圈不动，条件是只要动生阻抗的等效电路模型正确。但，一个可能干扰的因素是“蠕变”（creep）导致的Cms随频率变化。【5】注，由曲线逼近方法得到的值明显比高（约高0.5 ）。4. 带短路环扬声器模型的评估4.1 应用变压器理论考虑现代扬声器磁路驱动系统相当复杂的几何形状（见图11），预先计算钳定音圈的电阻抗很困难，但

24、可以利用现代的FEA（有限元分析）来完成。图11是在前面第3部分用来验证的超低音案例的剖视图，我们可以看到，音圈并没有在所有绕线高度上包围铁芯柱，此外，空气间隙以外的线圈靠近同心的导电铝部件，包括间隙上方芯柱上面铝件（A）和间隙下磁钢内壁的短路铝环（D），这些部件，由导电材料做成并与音圈同心，通常被使用在一些高品质扬声器中，因为它们对降低失真有好的效果，而且可以通过降低音圈电感从而延伸高端频率响应范围。图11， Peerless830843的横断面， 音圈在空气隙中部分的贡献为半电感，其余部分可被看着变压器的初级绕组，而导电材料铝短路环D和芯柱延伸块A，两个均与音圈同芯，可看成变压器的一圈次级

25、。音圈数据：2”，190圈，17g CCAW（铜包铝线），高33mm，华司（上夹板）厚8mm。为评估引入磁路系统的导电元件和音圈之间耦合的影响（短路环，铜套和铁芯柱上方的导电延伸块），我们将应用一些变压器的理论。一般，我们将音圈看成独立的三部分更实用和易理解（当然它们实际是是相互作用的）。第一部分，音圈在间隙上方的部分“上悬浮”-多数情况下这部分暴露在空气中，表现为普通电感（贡献给）， 但在这个案例中，由于与芯柱上铝块的耦合，这部分电感成分减小（后续会讨论到，在“变压器耦合”到铝块上后，减小为漏电感）。第二部分，音圈在空气隙中包围铁芯的部分，也被上夹板的铁包围，在这两个铁部件中我们可以观察到高

26、涡流密度（见图4）和大致相同“趋肤深度”，因此两者共同作用的结果，相对只有一边铁部件作用而言，减小更多。第三部分，在空气隙下方，音圈的“下悬浮”部分，内部与铁芯柱耦合，外部又与铝制短路环的耦合。如果没有短路环，这部分的音圈不仅对幅度有很大的贡献，而且对音圈位置的依赖性有很大贡献（扬声器失真的一个主要原因）。音圈里瞬变电流将在铝环中感应相反方向的电流，这将降低铁的交流磁化和铁芯柱里的涡流，使得线圈更接近阻性，结果也就降低了。为了评估短路环的影响（导电性芯柱延长块或铜帽），我们来看一个“变压器”，其初级为直接与其耦合的部分音圈，将同心导电材料看成“一圈”闭合的次级绕组，见图12.图12，匝数比为n

27、：1，次级短路的变压器等效电路，次级绕组电阻转换到初级端为, 和是初级和次级漏电感（次级转换到初级端）是初级绕组的电阻；是次级绕组转换到初级端的电阻，是初级电感，而和是初级和次级漏电感，是被转换到初级端的值。变压器初级端泄漏电感代表了初级绕组电流产生的磁通没有被次级包围的部分,反之亦然。两个绕组之间耦合越紧，漏电感越少。所以，绕组间绝缘层（距离）愈厚，漏电感愈大。在一个扬声器中，漏电感将取决于音圈和“一圈”次级绕组之间耦合紧密程度。4.2 完整阻抗模型图13是一个类比变压器，插入和串联，导出的带短路环的扬声器“完整电路” ，对应于,(EC代表涡流Eddy Cuurent)，和贡献到。我们可用类

28、似方法来评价柱芯延伸块或铜帽，但因为种种实际原因（知道的还不很透彻），我们将用来代表这一复杂的实体（存在事实）-这是扬声器磁路中所有同心高导电材料近似的全部效果。 图13，“新的完整模型”，一种改进的电动扬声器等效电路模型。是由于短路环产生的电阻，如果磁路中没有使用导电材料（非铁），取消掉，但会显著变大。注：通过在音圈周围增加导电元件，扬声器的灵敏度总能增强。我们可以容易地从图中观察到预料中的电路特征，在很低频率，因为与并联，其影响消失（在直流DC时，应该只有.）。如果没有与音圈同心的高导电材料零件，我们将发现一个高得多的值，同时将消失，但对有很显著的贡献。如果铁芯上“一圈”次级是一个延伸得比

29、音圈全长还长的铜帽，使得音圈上下运动都与铜帽耦合很好（SD,全长对称驱动【6】），而完全不同于普通音圈向上（空气中）和向下（铁芯内）的不对称，它占用气隙必须相当薄，但将它转换到初级端时，是一个通常比高的电阻，最好用一个电阻与半电感并联的电路来表示，我们称之，因而我们得到替代的。最近的工作经验证实这个很管用，在高于转折频率以上的频率范围，我们得到几乎平直的阻抗曲线，。磁路系统中短路环的影响是降低了音圈对半-电感贡献的部分，但代价是与串联电阻的适度地增大，而且是决定这种效果的频率下限。另一方面，项，代表音圈中单独与铁芯耦合的那部分，而代表音圈外悬（间隙上方）部分，以及音圈（初级）与/短路环（次级）

30、“变压器”的漏感。830843在自由空气中测量到的数据逼近到图13 的“完整”模型中，我们现在有9个独立参数，图14显示的是测量的阻抗幅度，图15是相位。图14 测量的Peerless 830843 低音单元阻抗的幅度响应和根据图13所示完整电路逼近得到的曲线。 单元测量在自由空气中进行。图15，测量的Peerless 830843 低音单元阻抗的相位响应和根据图13所示完整电路逼近得到的曲线。 单元测量在自由空气中进行。表格3是因此得到的参数列表，和表格2相比，表3给出的参数逼近的曲线吻合更好一些，尽管这种改善太小以致在这些图中不是很容易看到。、的数值并不强烈依赖于我们使用的简化的或完整的电

31、路模型。另外，数据再一次显示要测量钳定音圈参数没必要让音圈不动，它们可以从自由空气的阻抗中导出。注意：表3中的是6.37，和表1中=6.29 很一致。表3，Peerless 830843低音参数（扬声器在自由空气中），曲线逼近的结果见图14和图15.是正确地用阻抗实部，或计算出的，大约比传统基于计算出的值高10%。为了在()和（10.8）之间找到该案例扬声器的转折频率，我们用下列公式求得-（16）在该案例中，转折频率为8Hz（赫兹）实际应用中，可能被忽视，图6所示的“实用”电路可以使用，这里是由曲线逼近方法决定的值，在（谐振频率之上的阻抗最小值点）以下能否完全吻合很关键。5.新模型的践行图16

32、是应用新电路模型模拟Peerless830843在管道倒相式音箱上的阻抗幅度和声压频率响应曲线，以及与传统模型的比较。图16，用Peerless830843低音的新旧参数来模拟倒相式音箱（阻抗和声压响应），箱体积= （80升），风管质量=(80g)，=86.5,(箱体和管道阻尼忽略)有了今天的计算机技术，做一个或修改一个来处理新电路模型的模拟程序是小问题，例如LspCad6.32 已经是一个现成可用的程序。Tymphany迪芬尼公司打算在准备好相应必要的测量设备后，将尽快公布我们所有扬声器基于新电路模型的参数。我们使用SoundCheck（该文案例亦使用）测量阻抗，用激光换能器测量速度曲线，在

33、一次测量中同时完成，避免两次测量之间的任何变化，通过曲线逼近（吻合）方法利用速度曲线来决定和动生阻抗的所有元件值。这些参数被输出到最后的逼近程序，减少通过逼近的方法决定的变量数，并确认机械参数尽可能正确。也可利用激光换能器来决定,同时测量频率响应和速度，我们就能够通过曲线逼近（吻合）方法得到辐射面积，这种技术比我们简单以折环中间（R环顶部）距离来计算面积的方法更可信。6. 探讨与早先Wright和Leach根据经验导出的数学上逼近的模型相比，本文模型的优点是与物理实质一致，并能做出容易理解的等效电路，我们只要接受一个新的-相当简单的-元件-半电感，就容易理解半电感随音圈上下运动将如何变化（包围

34、铁芯部分或多或少）。怀特（Wright）模型中的四个系数和Leach模型中的两个系数不是很直观性地与物理规律相关，Klippel的模型【10】可能被认为是第一个接近半电感的，但是（依照Klippel）只能在40倍基本谐振频率的范围内有效，本文发现的模型与实际测量有好的吻合性（一致性）。三个竞争性模型的方程如下：Wright： （17） Leach ： （18）Klippel： (19) 在所有情况，我们插入的是而不是,因为我们发现通过曲线逼近（fit)得到的，值比直流测量的要高。我们已经应用曲线逼近（fit）技术在以上三种模型，把它们逼近（fit）到前面测量到的数据，在Klippel例子里，逼

35、近（吻合）的方法只做到高达1000Hz的频率。结果如图17和18 所示，直接与图9和10比较可以看到，它们都吻合得很好（逼近）（Klippel只到1000Hz以上，但这个模型可通过增加额外的项如,等来改进-更好地近似为半电感）。值得注意的是Wright用了四个系数，如仅让阻抗幅度吻合（逼近）的话，其相位与实际测量的结果差得较远，但如同时使相位吻合的话，那结果幅度和相位都会相当一致。Leach仅需要两个系数，他的模型在数学上是基于阻抗曲线是“最小相位”的假设，仅吻合阻抗幅度应该就足够了，事实上相位也是与测量结果很一致（吻合），增加相位吻合只改善一点点。在所有曲线逼近（吻合，fitting）中，被认为是额外的变量（输入测量的直流不管在哪个案例中都不能得到令人满意的吻合）。下面是的计算值：Wright： 6.255 ohm， Leach：6.156 ohm，Klippel： 6.119 ohm ，新模型：6.241 ohm ，测量值：6.146 ohm。作为比较，