弹簧质量阻尼系统模型

1、自动控制原理综合训练项目题目：关于MSD系统控制的设计 目录1设计任务及要求分析 1.1.1 初始条件1.1.2 要求完成的任务 1.1.3 任务分析2.2系统分析及传递函数求解2.1.1 系统受力分析2.1.2 传递函数求解.6.1.3 系统开环传递函数的求解6.3 .用MATLAB对系统作开环频域分析7.3.1 开环系统波特图7.3.2 开环系统奈奎斯特图及稳定性判断74 .系统开环频率特性各项指标的计算 9总结1.0参考文献.1.1弹簧-质量-阻尼器系统建模与频率特性分析1设计任务及要求分析1.1 初始条件已知机械系统如图。kyp k2图1.1机械系统图1.2 要求完成的任务(1) 推导

2、传递函数 Y(s)/X(s) , X(s)/P(s),(2)给定 m 0.2g,b2 0.6N?s/m，K 8N/mk 5N / m ,以 p 为输入 u(t)(3)用Matlab画出开环系统的波特图和奈奎斯特图，并用奈奎斯特判据分析系统的 稳定性。(4)求出开环系统的截止频率、相角裕度和幅值裕度。(5)对上述任务写出完整的课程设计说明书，说明书中必须进行原理分析，写清楚 分析计算的过程及其比较分析的结果，并包含Matlab源程序或Simulink仿真模型，说明书的格式按照教务处标准书写。1.3任务分析由初始条件和要求完成的主要任务，首先对给出的机械系统进行受力分析，列出相关 的微分方程，对微

3、分方程做拉普拉斯变换，将初始条件中给定的数据代入，即可得出 Y(s)/X(s), X(s)/P(s)两个传递函数。由于本系统是一个单位负反馈系统，故求出的传递 函数即为开环传函。后在MATLAB中画出开环波特图和奈奎斯特图，由波特图分析系统的 频率特性，并根据奈奎斯特判据判断闭环系统位于右半平面的极点数，由此可以分析出系 统的稳定性。最后再计算出系统的截止频率、相角裕度和幅值裕度，并进一步分析其稳定 性能。2系统分析及传递函数求解2.1系统受力分析单自由度有阻尼振系的力学模型如图 2-1所示，包括弹簧、质量及阻尼器。以物体的平 衡位置0为原点，建立图示坐标轴x。则物体运动微分方程为mx= cx

4、kx(2-1)式中：cx为阻尼力，负号表示阻尼力方向与速度方向相反。图2-1将上式写成标准形式，为mx cx kx 0(2-2)令p2=K, 2n -,则上式可简化为 m m_2x 2nx p 0(2-3)这就是有阻尼自由振动微分方程。它的解可取 x est,其中s是待定常数。代入(2-1)式得(s2 2ns p2)est 0,要使所有时间内上式都能满足，必须s2 2ns p2 0 ,此即微分方程的特征方程，其解为/22n p(2-4)于是微分方程(2-1)的通解为x Ges1t ae'2t e "ce;n2vl de'b(2-5)式中待定常数ci与c2决定与振动的初

5、始条件。振动系统的性质决定于根式 Jn2 p2是实数、 零、还是虚数。对应的根si与S2可以是不相等的负实根、相等的负实根或复根。若S1与S2为等根时，此时的阻尼系数值称之为临界阻尼系数，记为Cc,即cc=2mp。引进一个无量纲的量，称为相对阻尼系数或阻尼比。n/ p c/2mp c/cc(2-6)当n>p或 >1根式n2 p2是实数，称为过阻尼状态，当 n<p或 <1,根式Jn2 p2是虚数，称为弱阻尼状态，当n=p,即 =1,称为临界阻尼状态。现分别讨论三种状态下的运动特性。1.过阻尼状态此时 >1,即5np7 <n, (b)式中S1及S2均为 则es1

6、t及es2t是两根下降的指数曲线，故(2-2)式所表示 条指数曲线之和，仍按指数衰减，不是振动。图 3-2所负值，的是两示为c1>c2,c1<0时的情况。图2-22.临界阻尼状态此时 =1, (b)式中S1 = S2=n=p,特征方程的根是重根，方程(2-1)的另一解将为te-pt,故微分方程(2-1)的通解为x= (c1 + c2t) e pt(2-7)式中等号右边第一项de-pt是一根下降的指数曲线，第二项则可应用麦克劳林级数展开成以下形式：c2te ptc2c2pt/t23. 2 ,ep 1/t p p t / 2! pt /3!n, np t /n!(2-8)从上式看出，当

7、时间t增长时，第二项cate-pt也趋近于零。因此(c)式表示的运动也不是振动，也是一个逐渐回到平衡位置的非周期运动。3.弱阻尼状态此时p>n,或<1。利用欧拉公式n2 p2tp2 n2teecos、；p2 n2t isin/p2 n2t (2-9)可将(2-2)式改写为nt i p2 n2ti p2 n2tx e (C1eC2e)nt . _22 ,(D1 cos , p n tDzsin . p2n D (2-10)或x Aentsin(Jp2 n2t)(1-11)令 pdJp2 n2 ,则x Ae nt sin( pdt)(2-12)式中A与 为待定常数，决定于初始条件。设t

8、=0时，x=xo, x x0,则可求得2Xo nx0 21 Xo pdA x。 (), tg -(2-13)pdXo nxo2-13）可知，系统振动将A与 代入（2-4）式，即可求得系统对初始条件的响应，由式（已不再是等幅的简谐振动，而是振幅被限制在曲线Ae nt之内随时间不断衰减的衰减振动。如图3-3所示。图2-3这种衰减振动的固有圆频率、固有频率和周期分别为TdPd. P2 n2 P. 12 (2-14)P2 n2 P - .1 22_2 2一Pn2P ,1f .12(2-15)T.112式中P、f、T是无阻尼自由振动的固有圆频率、固有频率和周期。由上可见，阻尼对自由振动的影响有两个方面：

9、一方面是阻尼使自由振动的周期增大、频率减小，但在一般工程问题中 n者B比P小得多，属于小阻尼的情况。例 =n/p=0.05时, fd=0.9990f, Td=1.00125T;而在 =0.20 时，fd=0.98f, Td=1.02T,所以在阻尼比较小时，阻尼对系统的固有频率和周期的影响可以略去不计，即可以近似地认为有阻尼自由振动的频 率和周期与无阻尼自由振动的频率和周期相等。另一方面，阻尼对于系统振动振幅的影响非常显著，阻尼使振幅随着时间不断衰减，其顺次各个振幅是：t=ti时，Ai=Ae-nti; t=ti+Td时，A2=Ae n(ti Td); t=ti+2Td 时，A3=Ae n(ti

10、2TL.o而相邻两振幅之比是个常数。即Aj /Aj 1 enTd(2-16)式中”称为减幅系数或振幅衰减率，n称为衰减系数，n越大表示阻尼越大，振幅衰减也越快。当 =0.05 时，Y=1.37, A2=Ai/1.37=0.73Ai,每一个周期内振幅减少27%,振幅按几何级数衰减，经过10次振动后，振幅将减小到初值的4.3%。可见，衰减是非常显著的。在工程上，通常取（2-6）式的自然对数以避免取指数的不便，即Ln(Aj/Aj) nTd(2-17)式中6称为对数减幅或对数衰减率。将Td2 / Jp2 n2代入，得2n/ ., p2 n2 2/ . 12(2-18)当 <<1时,(2-1

11、9)因为任意两个相邻的振幅之比是一个常数enTd,即故有 因此对数减幅6也可表达为因为(2-20)人n 3j A(j i)此外，根据（3-6）式，可以用实测法来求得系统的阻尼系数AjLn nTdAjinLn&TdAj ic2mLnATdAji(2-21)Aj和Aj+i,即可计算出系统的阻尼系c对9TdAj i所以只要实测得出衰减振动的周期 Td及相邻两次振幅根据弹簧和阻尼器的特性可得以下关系式:Fki(t)=kix(t),Fk2(t)=k2x(t) y(t),Fb2(t)=b2dy(t)/dt设不加p时，质量块处于平衡状态，此时x=0, y=0,即x(0)=0, y(0)=0,根据受力

12、平 衡方程，在不计重力时，可得出以下方程：k2x(t)-y(t)=b 2dy(t)/dt(2-22)又根据牛顿第二定律，有方程：md2x(t)/dt2=p(t) Fki (t) Fk2(t) Fb2(t)(2-23)2.2 传递函数求解(1)求 Y(s)/X(s):对式(2-1)进行拉普拉斯变换，得：k2X(s) k2Y(s)=b2*sY(s),化简得传递函数：Y(s)/X(s)=k 2/(b2s+k2)(2-24)(2)求 X(s)/P(s):对式(2-2)进行拉普拉斯变换，得：ms2X(s)=P(s) k1X(s) 2k2X(s) - Y(s),并将式(2-3)代入可解得传递函数：X(s)

13、/P(s)=(b2s+k2)/mb2s3+mk2j+b2(k1+2k2)s+k1k2(2-25)已知条件为：给定 m 0.2g,b2 0.6N?s/m,K 8N/m,k2 5N/m,设 p(t)是输入u(t)的阶跃力。(2-26)将所给参数代入传递函数式(2-3)和式(2-4)中，可求得具体的传递函数如下：Y(s)/X(s)=5/(0.6s+5)X(s)/P(s)=(0.6s+5)/ (1.2*10A-4s3+10A-3s2+10.8s+40)(2-27)2.3 系统开环传递函数的求解(1)对于 Y(s)/X(s):由微分方程Y(s)/X(s)=5/(0.6s+5)可画出单位负反馈系统方框结构

14、图如下：X (s)Y (s)5/(0.6s+5)故开环传递函数万G (S) =5/(0.6s+5)-(2)对于 X(s)/P(s):由微分方程 ms2X(s)=P(s) k1X(s) 2k2X(s) - Y(s)及 Y(s)/X(s)=k2/(b2s+k2)可画出系统方框结构图如下：0.6s+ 5P(s) *1.2 ?10-4 s3 + 10-3 s2+ 10.8s + 40 X(s)上故开环传递 G(s)=(0.6s + 5)/(1.2 ? 10-4 s3 + 10-3 s2 + 10.8s + 40)3.用MATLAB对系统作开环频域分析3.1 开环系统波特图(1)对于 Y(s)/X(s)

15、 : G (s) = 5/(0.6s + 5)画波特图时采用的MATLAB语句如下：>> num=5;den=(0.6,5);>> margin(num,den)%画系统的开环对数幅频、相频特性运行结果如图3-1图3-1 Y(s)/X(s)的开环波特图(2)对于 X(s)/P(s):G(s)= (0.6s + 5)/(1.2 ?10-4 s3 + 10-3 s2 + 10.8s + 40)画波特图时采用的MATLAB语句如下：>> num=0.6,5;den=(1.2?10-4 ,10-3 ,10.8,40);>> margin(num,den)

16、%画系统的开环对数幅频、相频特性运行结果如图3-2所示：3.2 开环系统奈奎斯特图及稳定性判断(1)对于 Y(s)/X(s)画奈奎斯特图时MATLAB语句如下：>> num=5;>> den=0.6,5;>> nyquist(num,den)运行结果如图3-3所示：图3-3 Y (s) /X (s)开环奈奎斯特图开环传函G (S) = 5/(0.6s + 5),由于系统开环传递函数不存在右半平面的极点，故P=0,从0变到+ oo时，系统的开环幅相曲线不能包围(-1, j0)点周数N=0,则系统位于右半平 面的闭环极点数为：Z=P-2N=0,故系统是稳定的。(

17、2)对于 X(s)/P(s)画奈奎斯特图时MATLAB语句如下：>> num=0.6,5;>> den=1.2?10-4 ,10-3 ,10.8,40;>> nyquist(num,den)运行结果如图3-4所示：图3-4 X (s) /P (s)开环奈奎斯特图开环传函 G(s)= (0.6s + 5)/(1.2 ? 10-4 s3 + 10-3 s2 + 10.8s + 40),由于系统开环传递函数不存在右半平面的极点，故 P=0,从0变到+ 00时，系统的开环幅相曲线不能包围(-1,j0)点周数N=0,则系统位于右半平面的闭环极点数为：Z=P-2N=0,

18、故系统是稳定的。4.系统开环频率特性各项指标的计算(1)对于 Y(s)/X(s) : G (S) = 5/(0.6s + 5)计算各项频率指标时采用的MATLAB语句如下：>> num=5;den=(0.6,5);>> margin(num,den);>> gm,pm,wcg,wcp=margin(num,den)计算幅值裕度gm(h)、相位裕度pm (h0)、穿越频率wcg(g0)、截止频率wcp(皿0)。运行结果gm =Infpm =180wcg =NaNwcp =0由结果可知该系统幅值裕度为无穷，截止频率为 0,相位裕度为180是正值，故系统稳定(2)

19、对于 X(s)/P(s) :G(s)= (0.6s + 5)/(1.2 ?10-4 s3 + 10-3 s2 + 10.8s + 40)计算各项频率指标时采用的MATLAB语句如下：>> num=0.6,5;den=(1.2*10A-4,10A-3,10.8,40) >> margin(num,den);>> gm,pm,wcg,wcp=margin(num,den)计算幅值裕度gm(h)、相位裕度pm (h0)、穿越频率wcg(g0)、截止频率wcp(c0)。运行结果gm =Infpm =15.6933wcg =Infwcp =307.8588由结果可知该系统幅值裕度为无穷，截止频率为308rad/s,相位未谷度为15.7是正值，故系统稳定。总结本次课设是对一个弹簧-质量-阻尼器系统建模并进行频率特性分析。首先根据这个实际 的机械系统的受力分析得出它