第06讲二次函数的应用(教师版)A4

1、初中数学二次函数的应用目知识图谱二次函数的应用翻熟口识精讲.二次函数求解实际问题中的最值问题设二次函数y =ax2 +bx +c（a。0）,自变量在没有限制条件时：当a>0,x=B时，y最小值= 4ac二b2；无最大值；2a4a当a<0,x=时，y最大值= 4ac二b2;无最小值.2a4a当自变量有限制时，要分类讨论，利用二次函数的增减性判断相应范围上的最值问题.二次函数的实际应用1 .二次函数与面积问题;2 .二次函数与经济问题;3 .二次函数与拱桥问题;4 .二次函数与其它问题.三点剖析考点：二次函数的应用.二.重难点：找准等量关系，建立正确的函数关系式，然后利用二次函数的最值

2、来求解实际问题中 的最值问题.1 «三.易错点：1.利用二次函数解决实际问题中的最值问题时一定要注意自变量的取值范围，最值不一定都在 顶点处取到，也可能在自变量的端点处取到；2 .利用二次函数解决拱桥问题或者其它与二次函数图像直接相关的问题时，要选择合适的点作为 坐标原点建立坐标系，然后再设出二次函数的解析式；3 .实际应用问题必须注意结果是否符合实际意义.题模精讲题模一：面积问题例1.1.1学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成(如图所示).设矩形的一边 AB的长为x米(要求AB<AD),矩形 ABCD勺面积为S平方 米.(1)求S

3、与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(2)要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？a!d花圃B【答案】(1) S =2x2 +36x(0<x <12 ) (2) 9 米【解析】该题考查的是二次函数的应用.(1)二.四边形ABCD是矩形，AB的长为x米，CD =AB =x (米),矩形除AD边外的三边总长为 36米，BC =36 2x (米). 1分_2-. S =x(36 2x )=-2x +36x . 3 分0<x<362x,则有 0<x<12,，自变量x的取值范围是0<x<12.4 分,_22(2) S =-2x +36x

4、 = -2(x9 ) +162 ,且x=9在0 <x <12的范围内，当x=9时，S取最大值.即AB边的长为9米时，花圃的面积最大. 5分题模二：经济问题例1.2.1某超市销售一款进价为50元/个的书包，物价部门规定这款书包的售价不得高于70元/-»> 2 C«初中数学个，市场调查发现：以 60元/个的价格销售，平均每周销售书包100个；若每个书包的销售价格每提高1元，则平均每周少销售书包2个.(1)求该超市这款书包平均每周的销售量y (个)与销售价 x (元/个)之间的函数关系式；(2)求该超市这款书包平均每周的销售利润w (元)与销售价x (元/个)之

5、间的函数关系式；(3)当每个书包的销售价为多少元时，该超市这款书包平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1) y=/x+220 (2) w = -2x2 +320x11000 (3)对称轴 x=80； x=70 时，w 最大为1600【解析】该题考察二次函数的应用.(1)由题意，有 y=100_2(x_60 1即 y = -2x+220 ;(2)由题意，有 w=(x-501(-2x+220 1即 w =-2x2 +320x11000 ;(3)二.抛物线w = _2x2 +320x11000开口向下，在对称轴 x=80的左侧，w随x的增大而增大， 由题意可知60 <x<

6、70,，当x =70时，w最大值为1600.题模三：拱桥问题 例1.3.1如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面 AB的宽为20米，如果水位上升 3米， 则水面CD的宽是10米.(1)建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；(2)当水位在正常水位时，有一艘宽为 6米的货船经过这里，船舱上有高出水面 3.6米的长方体 货物(货物与货船同宽).问：此船能否顺利通过这座拱桥？25【解析】该题考察二次函数在实际生活中的应用.»> 8 C«(1)设抛物线的解析式为 y =ax2 ,因为抛物线关于 y轴对称，AB =20 .所以点B的横坐标为10,设点B (0,n )，

7、点D (5,n+3b由题意,n =100an 3 =25an - -4解得 ,a 二 25.1 2 y 二 x25(2)由题意知此时y =-0.4,将此代入上式中得,x =士/0, 2加>6 ,所以该船能够正常通过.题模四：其他问题例1.4.1经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v (千米/小时)是车流密度 x (辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为 80千米/小时，研究表明：当 20WxW220时，车流速度 v是车 流密度x的一次函数.(1)求大桥上车流密度为 100辆/千米时的车流速度

8、；(2)在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？(3)车流量(辆/小时)是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度X车流密度.求大桥上车流量 y的最大值.【答案】(1) 48 (2) 70<x< 120 (3) 4840【解析】80 = 20kb0 =220kb2一 _5 , 二88(1)设车流速度v与车流密度x的函数关系式为 v=kx+b,由题意，得当 20WxW22时,v=-2x+88, 5当 x=100 时，v=-2 X100+88=48 (千米/小时)；(2)由题意，得2x 88 . 4

9、0 55 5,解得：70<x< 120.2-x 88 :二 60,5，应控制大桥上的车流密度在70 vxv 120范围内;(3)设车流量y与x之间的关系式为y=vx ,当 0WxW20 y=80x,k=80>0,，y随x的增大而增大,. x=20 时，y 最大=1600;当 20WxW22时y= (-Zx+88) x=- - (x-110) 2+4840 55当 x=110 时，y 最大=4840.4840 >1600,，当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值时4840辆/小时.例1.4.2施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为 6米，宽度OM为12

10、米.现以。点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系(如图 1所示)(1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量 x的取值范围；(2)隧道下的公路是双向行车道(正中间是一条宽1米的隔离带)，其中的一条行车道能否行驶宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A、D点在抛物线上. B、C点在地面OM线上(如图2所示).为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长图1解之得：x1 =6 - 46AB+AD+CD 最大为 15m/“、1 2_(1 ) y =一x +2x (0 <x <12) ( 2 ) 6x2

11、=6 +拓；x2 x| =2j6<2.5M2+1 所以不能(3)当 x=9时,【解析】(1)可设二次函数的解析式为y =ax2+bx ,由图像可得P(6,6 )、M (12,0),利用待定系数法求得a =- , b=2,因此二次函数的解析式为y=-1x2+2x(0<x<12) ; (2)令66y = 1x2+2x = 5；解之得：x1=6-而，x2=6+J6；|x?x =26<2.5父2+1 所以不能；(3)61 212设 D(x , y);则有： AB +AD +DC =2(x 6 + y) = x2 +6x-12= (x-9)2 +1533所以当x=9时，AB +A

12、D+CD最大为15m随练1.1张大爷要围成一个矩形花圃.花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形ABCD .设AB边的长为x米.矢I形ABCD的面积为S平方米.(1)求S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)当x为何值时，S有最大值？并求出最大值.a|d花圃占11?2【答案】(1) S = -2x +32x (2)当x =8时S有最大值128【解析】(1) AB=x，则 BC=322x , S = AB BC =x(32 2x )=-2x2 +32x ；2(2) S =-2x2 +32x =-2 (x 8 ) +128,故当

13、x =8时 S有最大值 128.随练1.2某商场将进价为 2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出 8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台.(1)假设每台冰箱降价 x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；(不要求写自变量的取值范围)(2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？(3)每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？【答案】(1) y=- 2- x2+24x+3200 (2)每台冰

14、箱应降价 200元(3)每台冰箱的售价降价 150元25时，商场的利润最大，最大利润是 5000元.【解析】x (1)根据题意，得 y= (2400-2000-x) (8+4X),50即 y= -x2+24x+3200 ; ( 2 分)255(2)由题意，得-Zx2+24x+3200=4800 . 25整理，得 x2-300x+20000=0 . ( 4 分)解这个方程，得x1=100, x2=200. ( 5分)要使百姓得到实惠，取 x=200元.，每台冰箱应降价 200元；(6分)(3)对于 y= - x2+24x+3200= (x-150) 2+5000 , 2525当x=150时，(8

15、分)y最大值 =5000 (元).所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元.(10分)随练1.3某公司生产一种产品，每件成本为 2元，售价为3元，年销售量为100万件.为获取更好 的效益，公司准备拿出一定资金做广告.通过市场调查发现：每年投入的广告费用为x (十万元)时，产品的年销售量将是原销售量的 y倍；同时y又是x的二次函数，相互关系如下表：x012y11.51.8(1)求y与x的函数关系式；(2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S (十万元)与广告费x(十万元)的函数关系式；(3)如果一年投入的广告费为1030万元，问广告费在什么范

16、围内时，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？【答案】(1) y=_工x2+3x+1 (2) S=x2+5x+10 (3) 1。|_25万元之间105【解析】(1)设二次函数解析式为 y=ax2+bx + c (a¥0),根据表格中数据可得.1a =1=110?a+b+c=1.5,解得 db =0,所以 y = x2 +3 x +1 ;51054a+2b+c=1.8,(1) c =1I(2) S =10y(3-2 )-x =-x2+5x+10 ；(3) S =-x2 +5x +10 =x -5 |+65 ,因为1MxM3 ,所以当1 Ex E2.5时，S随x的增大而增大， ,24故当

17、年广告费为10|_25万元之间，公司获得的年利润随广告费的增大而增大.随练1.4 如图所示，有一座抛物线拱桥，桥下面在正常水位AB时，水面宽20m水位上升3m就达到警戒线CD这时水面宽度为10m(1)在如图的坐标系中求抛物线的解析式；(2)若洪水到来时，水位以每小时 0. 2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达 拱桥顶？【答案】(1) y = x (2) 5小时.25【解析】该题考查的是二次函数的应用题.(1)设所求抛物线的解析式为 y = ax2 .依题意，D(5,b),则 B(10,b _3),25a =b100a =b -3la =.解得，b =25-1抛物线的解析式为y

18、=-1x225(2) B(10,41警戒线比水面 AB高3m，故警戒线到桥面高度为 1m.1，一， =5 (小时).0.2答：再持续5小时到达拱桥顶.3分4分5分6分随练1.5如图，河上有一座抛物线形状的桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部4米时，水面宽 AB为12米，如图建立直角坐标系.(1)求抛物线的函数解析式；(2)当水位上升1米时，水面宽为多少米？(答案保留整数，其中J3.1.7).【答案】(1) y=x2+4 (2) 10米9【解析】(1)设所求抛物线方程为y=ax2+4,将A(-6,0 )代入得a =-，因此y = -1x2+4；99(2)所求水面宽应为当 y=1时所对应的两个x值之间的

19、距离，即y x2 +4=1,解得x1=33,9x2=3V3,因此 x -x2 =6点电6 M1.7 =10.2 电 10m随练1.6科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园.初中数学如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8: 30开门后经过的时间(分钟)，纵坐标y表示到达-2ax ,0 三 x 三30科技馆的总人数.图中曲线对应的函数解析式为y=2",10： 00之后来的游b x-90n,30 <x <90客较少可忽略不计.(1)请写出图中曲线对应的函数解析式；(2)为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待.从10: 30开始到12: 00馆

20、内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到 624人时，馆外等待的游客可全部进入.请问馆外游客最多等待多少分钟？1x20_x_30(1) y= 4312x -90700 30 Ex £9057分钟»> IO «<【解析】 (1)由图象可知，300=aX302,解得a=-,3n=700, bx (30- 90) 2+700=300,解得 b=-, 91 2-x2 0 _x _30- y=2x -90700 30 _x J903(2)由题意-1 (x- 90) 2+700=684 , 9解得x=78,.684 -624=15,415+30+ (

21、90 78) =57 分钟所以，馆外游客最多等待57分钟.随练1.7 一男生在校运会的比赛中推铅球，铅球的行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系用如图所示的二次函数图象表示.(铅球从A点被推出，实线部分表示铅球所经过的路线)(1)由已知图象上的三点，求 y与x之间的函数关系式；(2)求出铅球被推出的距离；(3)若铅球到达的最大高度的位置为点B,落地点为C,求四边形OABC的面积.1 ) 25【答案】 (1) y=x + x+-(2) 10m (3)点 Bf4,3 ;1233【解析】(1) y =ax2 +bx +c ,因为抛物线经过点10,- j, ,355 万'2, 8 I&#

22、39;, (-2,0 ),所以 ,34a , 2b »c = 8 ,解得34a -2b »c =01 a =12b =235c =一 3,所以 y - - 1 x2 -1225一 x 十一 ；33(2)令y =0得1x1225+ x + =0 ,33解得X =10 ,X2 =-2 (舍去)，所以铅球被推出 10米;(3 ) 因为点B为抛物线顶点，所以B(4,3，所以四边形OABC勺面积为回自我总结初中数学能力拓展拓展1将一根长为16n厘米的细铁丝剪成两段，并把每段铁丝围成圆，设所得两圆半径分别为r和R,面积分别为Si和(1)求R与r的数量关系式，并写出 r的取值范围；(2)

23、记S=S +$ ,求S关于r的函数关系式，并求出 S的最小值.【答案】(1) 0 <r <8 (2) 32兀【解析】该题考查二次函数的应用.(1)由题意，有2nr+2nR=16冗，则 r +R =8 ,' r >0 , R>0 ,0<r <8即r与R的关系式为r+R=8, r的取值范围是0<r<8厘米； = r +R =8 , r =8 R ,._2_ 222 S -二r ，R =二，8 - r21. 二2 二 r -16 二 r 64 二22. =2 二 r -432二.当r =4厘米时，S有最小值32兀平方厘米拓展2某水果批发市场经销

24、一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出 500千克.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克这种水果在原售价的基础上每涨价1元，日销售量将减少20千克.设每千克这种水果涨价x元时(0<x<25),市场每天销售这种水果所获利润为y元.若不考虑其它因素，单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元时，市场每天销售这种水 果盈利最多？最多盈利多少元？【答案】每千克这种水果涨价 7.5元时，市场每天销售这种水果盈利最多，最多盈利6125元【解析】该题考查的是列一元二次方程解应用题.因为每千克水果涨价 x元时，市场每天销售这种水果所获利润为y元，y是关于x的函数由题意得：y =(10

25、 +x 1j(500 -20x pcx <25 )2分.22- y=；10 x 500 -2x - -20x 300x 5000 - -20 x -7.56125所以，当x=7.5时(0 <7.5 M25 ), y取得最大值，最大值为 61255分答：不考虑其它因素，单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元时，市场每天销售这种水果盈利最多，最多盈利 6125元.拓展3已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如左图所示.(1)请说明图中 、两段函数图象的实际意义.(2)经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如右图所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果

26、，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案, 使得当日获得的利润最大.*批发单价（元）O 2060批发量（kg）»> 15 «<【答案】 （1）图表示批发量不少于 20kg且不多于60kg的这种水果，可按 5元/ kg批发，图表示批发量高于60kg的该种水果，可按 4元/kg批发（2）经销商应批发80kg这种水果，日销售量定位6元/kg,当日可获得最大利润160元【解析】（1）根据图像，图 表示批发量不少于 20kg且不多于60kg的这种水果，可按5元/kg批发，图 表示批发量高于60kg的该种水果，可按4元/kg批发；（2）设日销售量为 ykg

27、,零售价为x元，由图像可知满足 y = kx + b,将（6,80 ）、（7,40）代入得到320 一 yy = Y0x+320, 因 此 零 售 价 x = , 销 售禾1J润40320 -y12W =y（x -4 = yy -4 =fy80+160,因此当 y =80 时 Wmax =160 ,此时 x=6,即经4040销商应批发80kg这种水果，日销售量定位 6元/kg,当日可获得最大利润160元.5.6米，桥洞离水面的最大高度为4m ,拓展4有一个抛物线形的拱形桥洞，桥面离水面的距离为 跨度为10m,如图所示，把它的图形放在直角坐标系中.（1）求这条抛物线所对应的函数关系式.（2）如图

28、，在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是多少?【答案】(1) y = - x2 +8 x (0 <x <10) (2) 3.84 米255【解析】（1）设y=ax2+bx，由题意得（5,4）、（10,0 ）在抛物线上，利用待定系数法求得48 ” 一 ，a =-，b =-,因此抛物线所对应的函数解析式为2554 28y二x 十一x (0 <x <10) ； (2)当 x=6255时代入抛物线方程得 y =3.84 m ,即桥洞离水面的距离是3.84 m .拓展5小强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线、满足抛物线y = _1x2 +9x,55其中y(m点球的飞行高度，x(m田