新课标五数列强化训练题

1、新课标必修五第二章数列强化训练题1 .已知三个正数成等差数列，如果最小的数乘以2,最大的数加上7,则成等比数列，且它们的积为1000,求等差数列的公差。2 .设&n是一个公差为d(d#0)的等差数列，它的前10项和Si。=110,且a-a2, a4成等比数列。(1)证明 a1 =d ；(2)求公差d的值和数列On的通项公式.3 . 一个首项为正数的等差数列中，前 3项的和等于前11项的和.(1)若这个数列前n项和最大，求n的值.(2)求该数列前14项的和S_4 .设Sn是等差数列an的前n项的和,已知S7=7, S15=75, Tn为数列| n的前n项的和，求Tn6Sn5 .已知数列、

2、n 中，an >0,Sn =a +a2 + +an ,且 an =-,求 Sn。an 36,已知数列 况中，Sn是其前n项的和，且对不小于 2的正整数n满足关系1 an = Sn an -1.(I)求为，a2,a3;(II )求数列On的通项.7,数列tn共有k项(k为定值)，它的前n项和Sn=2n2+n(1 WnW,knC N),现从k项中抽取一项(不抽首项、末项)，余下的k-1项的平均值是79。(1)求数列00的通项。(2)求出k的值并指出抽取的是第几项。8.数列tn 的前n项和为Sn,且Sn=2an-1 ,数列n ,满足h=2, bn由=an+bn .(1)求数列&n的通项

3、公式；(2)求数列I 的前n项和为Tn9 .已知等差数列Gn的首项ai=1,公差d>0,且其第二项、第五项、第十四 项分别是等比数列0的第二、三、四项.(1)求数列&0与1的通项公式；(2)设数列cn对任意自然数n均有以+色+cn = an书成立，求 bib2b3bnCi +C2 +C3 + +C2007 的值.10 .设数列 £前项和为Sn,且(3-m)Sn +2man =m+3(n N十),其中m为常 数,m 二 3.(1)求证：数列0是等比数列。(2 ) 若数歹I和的公比q=f(m),数歹I满足b1 =a1 bn =- f (bn)(n w N +,n之2),求证

4、：，工为等差数列J,求 bn.2,bnj11 .已知数 列an中,a1 =1，前n项和为Sn,对于任意的n >2(n= N *),33Sn -4,an,2- Sn,总成等差数列.2(1)求 a2, a3, a4 的值；(2)求通项an ;12 .已知数列an满足2an41 =an+an七(n =1,2,3,)，它的前n项和为Sn ,且 a3 = 5 , S6 =36 .(I)求 an；(II)已知等比数列bn满足 bi +b2=1 + a ,b4+ b5=a3+a4 (a =-1),设数列an h的前n项和为Tn,求13 .已知等差数列口中，a2=8，前10项和Sio=185.(1)求数

5、列An的通项；(2)若从数列Qn中依次取第2项、第4项、第8项第2n项按原 来的顺序组成一个新的数列bn求数列&n的前n项和Tn.14 .已知数列an是等差数列，且a1 =2,a1 +az+a3=12.(I )求数列an的通项公式；(H)令bn =anXn(x w R).求数列bn 前n项和的公式.115 .设正数数列an的前n项和Sn潴足Sn =1(an+1)2.求：4(I)求数列an的通项公式；、-1(II )设bn =，记数列bn的前n项和为Tn,求Tna n an 116 .设数列an的前n项和为Sn,若In是首项为S1各项均为正数且公比为q 的等比数列.(I )求数列an的通

6、项公式an (用S1和q表小)；(H)试比较an +an七与2an书的大小，并证明你的结论.10 ,10,10q. q新课标必修五第二章数列强化训练题1.因成等比数列的三个数的积为1000,故设成等比数列的三个数为555当成等差的三个正数为5,10,10q7时，有：+（10q 7） = 20 ,解得q 或qq21q=一（舍去）。此时2, 10, 18成等差数列，公差为 8。 21010，一 r .当成等差的三个正数为 7,10,5q时，有（ 7）+5q = 20,类似可求得公差为 qq-8。2.（1）证明：因a1, a2, a4成等比数列，故a2 =a1a4,而Qn 是等差数列，a2 = a1

7、 + d , a4 =a1 +3d，于是（a1+d）2 =a1（a1 +3d）,即 a： + 2ad + d2 = a2 + 3a1d ,化 简得a1 =d10 9 一（2）解：由条件 S10 =110 和 S10 =10a1 +d ,得到 10a1 +45d =110 ,由（1）,2a1=d,代入上式得55d =110,故d=2,所以 an=a1 (n-1)d=2n, n=1,2,3,3. (1)由已知 S3 =Sn ,得 a4 +a5 +a6 + +a10 +an = 0 ,又 a4 +a11 a5 +a10 =a7 + a8.所以 a7 + a8 = 0因数列首项为正，故公差d<0

8、,且a7 A0, a8<0,所求n的值为7.(2)设Q ,首项为ai,公差为d , S3 =sii,即 3al + 3(3 T)d = 11al +11(11 -1)d , 2al + 13d = 0 .22故 s14 =14al + I'd4_d =7(2al +13d) = 0 .2n(n -5)s ,7ai 21d =7 -曰 a 7二4 .设数列 an的公差为d ,则，解之得：1，所以Sn =15a1 105d =75d =1nS, n - 5 n 9n设bn =，则6是等差数列，设S'n = bi +b2 +bn =。令n 24,n -5bn =2 0,解得：n

9、 至5 ,所以 b1，b2,b3, b4 小于 0, b=0, n26时，bn > 0 ；所2以9n - n2当 nW5时，Tn=|bi|+|b2|+一+|bn|=；4当 n 至6 时，Tn =|bi | + |b21 + | % | +也 | + | bn |一山b20) b6bn= -S'5 (S'n-S'5)n2 -9n 404n <5所以Tn =n2 -9n 404n -6一6a i1, 一5 .由已知，a一，信 a3,且 Sn an(an 3)。ai 3611'an =Sn -Sn, =6an(an 3)-6al (a» 3),整

10、理得：an an an -an/ -3=0,- 3n(n 1)- an>0= an+an4 A 0，所以 an an=3 ,Sn =。2一一 1116. (I) a1 = 一、 a2 = 一、 a3 = 一；248(II )由1 +an =Sn +anK得1+2口< =Sn<+2口，这两式相减，得an 111an anl=an +anan_2,化简得， =一，所以数列 an的通项 an =.an.222n227. (l)an = Sn - Sn=2n n -2(n -1) -(n -1) = 4n -1(1 < n < k)(2)设抽取的是第i (1 <i

11、<k)项，且ai =4i 1。k2 -39k 40 1.k2 39k 40解得 i二依题意，79(k -1) +ai =Sk ,即 79(k -1) +4i -1 =2k2 +k<k ,得22k - 39k 40 ,2 k8.解得38 :二k(1)当 n=1 时,<40,又k w N * ,所以a1=2a1-1,a1=1,k = 39 ,此时 i = 20 . an=2an-1.当 n>2 时)an=Sn-Sn-1 =2an-1-2a n-1+1 ,于是数列an是首项为1,公比为2的等比数列.an=2n-1(2) bn+1=an+bn5-bn+1-bn=2 .从而 bn

12、-bn-1=2n：bn-1 -bn-2=2 , b2-b1=1,以上等式相加，得 bn-b1=1+2+2 2+ +2n-2=2n-1-1,又 b1=2,bn=2n-1+1T n=b1+b2+ +bn=(20+21+ +2n-1)+n.=2 n-1+n.9. (1)由题意得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2(d>0).解得 d=2, . an=2n-1,可得 bn=3n-1.一， 一 ,Cn/口 n-1 3n=1),当 n=1 时，ci=3;当 n>2时，由 一=an+1 -an,得 Cn=2 3 ，故 Cn= J n .bn23n (n 之 2).故 C1+C2+C3+

13、C2007=3+2 X3+2 X3?+2 x 件6=32007.10. (1)由(3 -m)Sn + 2man = m + 3彳#(3-m)Sn书 + 2man+ = m + 3,两式相减得(3 + m)an41 = 2man, m = -3,二 亘' = 2m <an)是等比数列。anm 32m(2) b1 = a1 = 1,q = f (m), n N n - 2m 32bnjbn =7 f (bn) 22 bn J 3111=bn bn J 3bn = 3 bn=；一一；二二bn3.工、是1为首项1为公比的等差数列1 n 1二1 一11. (1)由题意知32an =3Sn

14、4+ 2 Sn_1,，an =3Sn 4(n 22)21由a1 = 1可得a2 =一2,a3 = 一一 ,a4 = 一(2)当 n 之 2日, 1 an 3Sn 4,. an由= 3Sn书 +4,两式相减得 an书an = 3an由an 1an二一1为常数二2a2,a3,a4，成等比数列其中a21wq(n =1)一(一；广(n-2)12. (I )由 2an 1 =an*an 七得 an 七-an+1 =an 由-an，则数列an是等差数列.a1 +2d = 5,： 二6al +15d =36.a1d =2.1,因此,an = 2n 1 .(n)设等比数列bn的公比为q,叫力士：得q = af

15、 =1 pq (1 +q) =a (1 +a)则 bn =b1qn4 =an" , anbn = (2n1)an"Tn -1 3a 5a2 7a3(2n -1)an"当 a01 时，aTn =a + 3a2 +5a3+7a4+(2n1)an 由-彳# (1 -a)Tn =1 + 2a +2a2 +2a3 +十 2an)一(2n -1)an所以，Tn2(1 -an)1 -a-1 -(2n -1)an,2(1 -an) 1 (2n -1)an(1 - a)21 -a当 a =1 时，Tn =n2.13. (1)设an公差为d,有a1d =810M910a1 +d =1

16、85-2解得 a1=5,d=3,an=a1+(n 1)d=3n+2(2)依题意 bn =a2n =3 2n +2Tn=b1+b2+ + bn=(3 >21+2)+(3 22+2)+(3 xn+2)=3(2 1+22+ +2n)+2n=6 >2n+2n-6.(I )解：设数列an公差为d ,则a1 + a2 + a3 = 3al +3d =12,又a1 2,所以 d =2.所以 an = 2n.(n)解：令 Sn =灯 +b2 +bn,则由 bn = anXn = 2nxn,得Sn =2x+4x2 +12n 2)xn°+2nxn,xSn =2x2 +4x3 +一+(2n -

17、2)xn +2nxn书，当x #1时，式减去式，得(1 - x)Sn = 2(x x2xn) - 2nxn 1 = xx-) - 2nxn 1,1 -x所以 S -2x(1 -xn) 2nxn 1 Sn2.(1 -x) 1 -x当 x=1 时，Sn =2+4+2n =n(n+1)综上可得当 x = 1 时,Sn =n(n+1);当 x#1 时，S 2x(1 -xn) _2nxn41Sn -2(1 x)1 x1215. (I) - Sn = 一(an +1) 412公Sn _1 (an_1 +1)4小1212得 an =Sn Sn/=一何口 +1) -一何口+1),44整理得(an an)(an

18、 -an-2) =07an0an an0an -anJ _2 = 0即 an -an JL = 1111111、 nTn (1 -) ()()(1 户 33 4 2n -1 2n 12 2n 1 2n 116. (I)(Sn 是各项均为正数的等比数列.，Sn=S1q j(q>0).当 n=1 时，a1=S1,当 n _2日,an =Sn -Sn=S1(qT)qn4.S1(n =1) an =3n2»§(q-1)q (n 之2)(n)当 n=1 时，(n - 2),an是等差数列.1 ,.、2又 a1= S1(a11)4a1= 1, an =2n - 1an an 1(2n -1)(2n 1)2n 1因为Si A0,qn_2>0.所以当 q=1 时，(q-1)3 =0,，an +a0卡=2an +