曲线运动题型总结

1、专题五曲线运动一、运动的合成和分解【题型总结】1.速度的合成：Q）国的合成和分解2）相付运动的规律v甲地=v甲乙+v乙地例：一人骑自行车向东行驶，当车速为4“ s时，他感到风从正南方向吹来，当车速增加到7用/ s时。他感到风从东南方向（东偏南 45。）吹来，则风对地的速度大小为（）A. 7m/sC. 5m/s解析：“他感到风从正南方向（东南方向）吹来” 相对地的速度方向不变，由此可联立求解。解：: 0 =45° V 风对车=7 4=3 m/sD. 4 m/ s,即风相对车的方向是正南方向（东南方向）。而风V风对车 V 车对地 =V 风对地1- V 风对地=42 +32 =5 m/s答

2、案：C2.绳（杆）拉物类问题绳（杆）上各点崔南（杆）方向上的速度相等群速度方向：物体实际运动方向地分速度方向：通绳（杆）伸缩）方向：使I （杆）伸缩）垂直于绳（杆）方向：辗（杆声专动m沿斜面升高.问：当滑轮右侧的绳与竖直方例：如图所示，重物 M沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车向成。角，且重物下滑的速率为 v时，小车的速度为多少?解：方法一：虚拟重物 M在At时间内从A移过Ah到达C的运动，如图（1）所示，这个运动可设 想为两个分运动所合成，即先随绳绕滑轮的中心轴O点做圆周运动到B,位移为a 1,然后将绳拉过 A 2到C.1若 At很小趋近于0，那么 A妒0，则 A 1=0，又OA = OB，/O

3、BA=歹2 （180 A ） 一90亦即 si近似陵，故应有： s2= A h ' cos 0 's因为 At&t cos。，所以 v' = v cos。方法二：重物 M的速度v的方向是合运动的速度方向，这个v产生两个效果：一是使绳的这一端绕滑轮做顺时针方向的圆周运动；二是使绳系着重物的一端沿绳拉力的方向以速率v'运动，如图（2）所示，由图可知， v'= v cos 0.(1)(2)Va, Vb，则D重物B的速度逐渐增大练习1: 一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B,如图所示，设汽车和重物的速度的大小分别为A、Va =VbB Va Vbc"

4、 Va VbVb =Va CQt：解析：（微元法）设经过t,物体前进S1,绳子伸长S2Si =VAt，S2 =VBt = Vb =Va CQS0 =9 J ，VbS2 =Si cose . CQS6 1，VbVa练习2：如图所示，一轻杆两端分别固定质量为RA和RB的两个小球A和B （可视为质点）。将其放在一个直角形光滑槽中，已知当轻杆与槽左壁成“角时，A球沿槽下滑的速度为 VA,求此时B球的速度VB?解：A球以Va的速度沿斜槽滑下时，可分解为：一个使杆压 缩的分运动，设其速度为 Vai； 一个使杆绕B点转动的分运动, 设其速度为VA2o而B球沿斜槽上滑的运动为合运动，设其速 度为Vb,可分解为

5、：一个使杆伸长的分运动，设其速度为VBi, Vbi=Vm； 一个使杆摆动的分运动设其速度为Vb2；由图可知：Vbi = Vb Sin： =Vai = Va CQS：3.渡河问题1）川间为限制条件：时间最短：使船头垂直于河岸航行t短=d为河宽)S = -dv 船Sin«a为合速度与水流速度的 夹角）普通情况：t=-（P为船头与河岸的夹角）v 船 Sin P2）以位移为限制条件:v水处船S短=d d为河宽）t= de为船头与河岸的夹角）v sin1 v水V船 v合=JV2水一V月台船的真实方向指的是船的航行方向;船的划行方向指的是船 头指向。例1：在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江

6、岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为摩托艇在静水中的航速为 V2,战士救人的地点 A离岸边最近处O的距离为d,如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为（D.包摩托艇实际的运动是相对于水的解析：摩托艇要想在最短时间内到达对岸，其划行方向要垂直于江岸,划行运动和随水流的运动的合运动，垂直于江岸方向的运动速度为V2,到达江岸所用时间t= A ；沿江丫20点距离s = v1t =业。v24(D解析：设船速为vi ,水速为v2 ,河宽为d ,则由题意可知dvi当此人用最短位移过河时，即合速度v方向应垂直于河岸，如图所示，则联立式可得:T2vi,进步得vi =v2T2.tT2

7、2 -Ti2岸方向的运动速度是水速 vi在相同的时间内，被水冲下的距离，即为登陆点距离答案：C例2:某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了Ti；若此船用最短的位移过河，则需时间为T2,若船速大于水速，则船速与水速之比为（）孕(A) 二为方2 于2 (C)-答案：A【巩固练习】i、一个劈形物体 M ,各面都光滑，放在固定的斜面上，上表面水平，在上表面放一个光滑小球m,劈形物体由静止开始释放，则小球在碰到斜面前的运动轨迹是（）A、沿斜面向下的直线B、竖直向下的直线C、无规则的曲线D、抛物线解析：由于小球初速度 为零，所以不可能做曲 线运动；又因为小球水平方向不受力，水平方

8、向运 动状态不变, 所以只能向下运动。答案：C同类变式1下列说法中符合实际的是：A.足球沿直线从球门的右上角射入球门B.篮球在空中划出一条规则的圆弧落入篮筐C.台球桌上红色球沿弧线运动D.羽毛球比赛时，打出的羽毛球在对方界内竖直下落。解析：足球在空中向前 飞行时，只受重力作用，一定做曲 线运动；抛出的篮球，所受重力的方向不可能 总与 篮球的速度方向垂直，所以不可能是 规则的圆弧；滚动的台球所受合力是摩擦力，与运 动方向相反，只能做 减速直线运动；打出的羽毛球受到重力及 较大的空气阻力作用，其中空气阻力 总与运动方向相反，随着运 动 速率减小而减小，二力合力的大小及方向都在不断变化，所以打出的球

9、 较高时有可能竖直下落。答案：D同类变式2匀速上升的载人气球中，有人水平向右抛出一物体，取竖直向上为y轴正方向，水平向右为x轴正方向，取抛出点为坐标原点，则地面上的人看到的物体运动轨迹是下图中的：解析：物体具有竖直向上的初速度，在空中只受重力作用，所以做斜上抛运动（水平方向作匀速运 动、竖直方向做竖直上抛运 动。） 答案：B2、如图所示为一空间探测器的示意图，r、F2、自、P4是四个喷气发动机，R、F2的连线与空间一固 定坐标系的x轴平行，P3 、P4的连线与y轴平行.每台发动机开动时，都能向探测器提供推力，但不会使探测器转动.开始时，探测器以恒定的速率vo向正x方向平动.要使探测器改为向正x

10、偏负y 60的方向以原来的速率 Vo平动，则可（）A.先开动Pl适当时间，再开动 P4适当时间B.先开动P3适当时间，再开动 P2适当时间C,开动P4适当时间D.先开动P3适当时间，再开动 P4适当时间解析:火箭、喷气飞机等是由燃料的反作用力提供动力，所以P1 、P2 、P4分别受到向左、上、右、下的作用力。使探测 器改为向正x偏负y 方向以原来的速率Vo平动，所以水平方向上要减速、竖直方向上要加速。答案：A3、如图所示，A、B为两游泳运动员隔着水流湍急的河流站在两岸边，A在较下游的位置，且 A的游泳成绩比B好，现让两人同时下水游泳，要求两人尽快在河中相遇，试问应采用下列哪种方法才能实现？（

11、）A. A、B均向对方游（即沿虚线方向）而不考虑水流作用B. B沿虚线向A游且A沿虚线偏向上游方向游C. A沿虚线向B游且B沿虚线偏向上游方向游D.都应沿虚线偏向下游方向，且 B比A更偏向下游解析:游泳运动员在河里游泳 时同时参与两种运 动，一是被水冲向下游，二是沿自己划行方向的划行运动。游泳的方向是人相 对于水的方向。选 水为参考系，A、B两运动员只有一种运动，由于两点之间直线最短, 所以选Ao答案：A、平抛运动【题型总结】1.斜面问题：分解速度:例：如图所示，以水平初速度 Vo抛出的物体，飞行一段时间后，垂直撞在倾角为1a的斜面上，求物体完成这段飞行的时间和位移。解：tane=vl=vl

12、, . t =VoVy gtg tarn2 一 2 .c c c12vo( 2 tan11)S =Sy Sx tanu = 一 gtVot tan 二 一 22g tan I练习：如图所示，在倾角为 370的斜面底端的正上方 H处，平抛一小球，该小球垂直打在斜面上的一点, 求小球抛出时的初速度。解：小球水平位移为 x=V0t，竖直位移为y= 1 gt22由图可知,tan37012H gt2又 tan370 =也，解之得：Vo =、-153gH .gt17分解位移：例：如图，在倾角为 日的斜面顶端A处以速度Vo水平抛出一小球，落在斜面上的某一点B处，设空气阻力不计，求小球从 A运动到B处所需的时

13、间和位移。解：设小球从 A处运动到B处所需的时间为t ,则水平位移x=V0t，竖直位移y = 1 gt221 gt2- 2.2.1gt2 =（Vot）tane ,=2$ =& 2 2gsinsMgsin练习1：（求平抛物体的落点）如图，斜面上有a、b、c、d四个点，ab=bc=cd。从a点正上方的O点以速度vo水平抛出一个小球，它落在斜面上 b点。若小球从 O点以速度2vo水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的（ ）A. b与c之间某一点B. C点C. c与d之间某一点D. d点解析：当水平速度变为 2vo时，如果作过b点的直线be,小球将落在c的正下方的直线上一点，连接。点和e点的

14、曲线，和斜面相交于 bc间的一点，故 A对。答案：A练习2:证明某一夹角为定值）从倾角为0的足够长的A点，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为V1,球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为21,第二次初速度汽，球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为比较以1和%的大小。13n日_丁_ 5g解析：x 切1 2为 2v0tanfcE + ) = = 2 tan Gvo所以 tz = arctan（2 tan ff） - o即以不同初速度平抛的物体落在斜面上各点的速度是互相平行的。练习3:（求时间或位移之比）如图所示，AB为斜面，BC为水平面，从A点以水平初速度v向右抛

15、出一小球，其落点与A的水平距离为si,从A点以水平初速度2V向右抛出一小球，其落点与 A的水平距离为S2,不计空气阻力， 曳：叼可能为:A. 1 : 2 B. 1: 3 C. 1: 4 D. 1: 5解析：若两物体都落在水平面上，则运动时间相等，有 孰：与2调=1： 2 , a是可能的。若两物体都落在斜面上，由公式tan 日=7-2%得，运动时间分别为2vtan54 岁 tan 日A二 右二S ,水平2/品：- vL ： 2v£5 = - = 1： 4位移1i 2 8va , C是可能。若第一球落在斜面上，第二球落在水平面上（如图所示），甘小 啊不会小于1 ： 4,但一定小于1: 2

16、。故1 : 3是可能的，1: 5不可能。答案：ABC练习4:（斜面上的最值问题）在倾角为0的斜面上以初速度 vo平抛一物体，经多长时间物体离斜面最远，离斜 面的最大距离是多少？解：方法一：如图所示，速度方向平行斜面时，离斜面最远tan 日二=由 % ,则运动时间为v0 tan tangx =干泡=g ,此时横坐标为Evj tan & sin 01-X又此时速度方向反向延长线交横轴于2处:把运动看成是沿x方向初速度为日，加速度为gsing的匀加速运动和沿y方向的初速度为% sin 6,加速度为一geos 6的匀减速运动的合运动。vy = v0 sin日-g cosf尸=0故£

17、- 最远处v0 tan 日1 3y =也 sm &,2所以,v0 sin v0 tan8gy； tan 8 乳口 &2.类平抛运动：例：如图所示，光滑斜面长为 a ,宽为b ,倾角为6, 一物体从斜面右上方P点水平射入，而从斜面左下方顶点Q离开斜面，求入射初速度。解：物体在光滑斜面上只受重力和斜面对物体的支持力，因此物体所受到的合力大小为F= mgsinQ ,方向沿斜面向下；根据牛顿第二定律，则物体沿斜面方向的加速度应为a加=F =gsin ,又由于物体的初速度与a加垂直，所以物体的运动可分解为两个方向的运动，即水平方向是速度为V0的匀速直线运动,沿斜面向下的是初速度为零的匀加

18、速直线运动。在水平方向上有 b= vo t,沿斜面向下的方向上有 a= 1 a加t2。t V 2a练习：如图所示，有一个很深的竖直井，井的横截面为一个圆，半径为 R,且井壁光滑，有一个小球从井口的一侧以水平速度V0抛出与井壁发生碰撞，撞后以原速率被反弹，求小球与井壁发生第 n次碰撞处的深度。解：由于小球与井壁相碰时，小球的速率不变，因此在水平方向上小球一直是匀速率运动，当小球与井 壁相碰n次时，小球在水平方向上通过的路程：Sx =2nR,所以用的时间t =2=2nR ,由于小球在竖直方向上做的是自由落体运动,V0Vo在竖直方向上的位移Sy = 1gt2 = 1 g（2nR）2 _ 2n2R2&

19、#167;22VoV02因此小球即小球与井壁发生第 n次碰撞时的深度为 2n RgV23.相对运动中的平抛运动：例：正沿平直轨道以速度 V匀速行驶的车厢内，前面高 h的支架上放着一个小球，如图所 示，若车厢突然改以加速度 a ,做匀加速运动，小球落下，则小球在车厢底板上的落点到 架子的水平距离为多少？解：方法一：小球水平运动 s uV .,2h，小车水平运动Si =V . 2h 1a S =S2 -S = ah g方法一 ：v相对=0 , a相对（水平）aSa ( 2h)2 .ah 2 g g同类变式若人在车厢上观察小球，则小球运动轨迹为直线（填“直线”或“曲线”）因为V相对=0, a相对 J

20、a2 +g2 ,所以运动轨迹为直线。练习：沿水平直路向右行驶的车内悬一小球，悬线与竖直线之间夹一大小恒定的角0 ,如图所示，已知小球在水平底板上的投影为O点，小球距O点的距离为h.,若烧断悬线，则小球在底板上的落点P应在O点的 侧；P点与O点的距离为O解：烧断悬线前，悬线与竖直方向的夹角0 ,解析小球的受力可知小球所受合力F = mg tarn1,根据牛顿第二定律知，车与球沿水平向右做匀加速运动，其加速度为a = F = g tan1烧断悬线后，小球将做平抛运动，设运动时间为 t ,则有 h =1 gt2对小球：S1 = Vt = V庐h:g（题设隐含条件）对小车：S2 =vt , 1 at2

21、2球对车的水平位移 s=S1_S2=_htane，负号表示落点应在O点的左侧，距离OP为htan 0【巩固练习】1、如图所示，房间里距地面 H高的A点处有一盏白炽灯（可视为点光源），一小球以初速度Vo从A点沿水平方向垂直于墙壁抛出，恰好落在墙角B处,那么，小球抛出后，它的影点在墙上的运动情况是（）A.匀速运动 B.匀加速运动C.变速运动D.无法判断解析：由相似三角形可知：EQ = AEEP AE12由平抛 就律可信：EP= gt ,AE=votAF=vo。小球刚好落在墙角处，则有：s=FQ= AF EP= Vo 匣）,gt2 - 巧tAE g 2 vot 2由此可知：小球影子以速度gH沿墙向下

22、做匀速运动.答案：A同类变式如图所示，从地面上方 d点沿相同方向水平抛出的三个小球分别击中对面-'_TJ;-I墙上的A、B、C三点，图中0点与D点在同一水平线上，知 。A、日C四点在同一竖直线上，且 OA=AB=BC三球的水平速度之比为 Va解析:由h = 1 g/和 s = vt设 OA=AB=BC=h，贝U h = 1 gtA2，2h =1 gtB2，3h =1gtc2 ； tA = -s ； tB = -s ； tc = 222VaVbVc整理得 Va - Vb - Vc =加"：E： 2Z ； t a - tB - tc =1 ： f： 3"答案：J6：73

23、：拒；1 :拒：732、把物体甲从高H处以速度V1平抛，同时把物体乙从距物体甲水平方向距离为s处由地面以速度V2竖直上抛，不计空气阻力，两个物体在空中某处相遇，下列叙述中正确的是（）SA从抛出到相遇所用的时间是V1b如果相遇发生在乙上升的过程中，则 v2）JgHc如果相遇发生在乙下降的过程中，则d若相遇点离地面的高度为H ，则V2 = jgH211,21,2v2t - 2 gt-”t =t JV2解析：对a选项：V1t = S= t = £ ；ViV2对B、C选项：t最高点=,tgHV2H- V2.gHv2gV2在上升过程中相遇:在下降过程中相遇;V2gH对 D 选项：1 gt2 =

24、 H = t = H H = V2 =答案：ABD同类变式2如图所示，P、Q两点在同一竖直平面内，且 P点比Q点高，从 出两个物体，不计空气阻力，则（）A. 一定会在空中某点相遇B.根本不可能在空中相遇C,有可能在空中相遇D.无法确定能否在空中相遇解析：P、Q在竖直方向上都是做自由落体运 动，在相等时间内通过的竖直位移相等。由于P点比Q点高，所以P点总在Q点上方。答案：B同类变式2如图所示，质量均为 m的A B两个弹性小球，用长为 21的不可伸长的轻绳 连接。现把 A B两球置于距地面高 H处（H足够大），间距为1。当A球自由下落的同时， B球以速度V0指向A球水平抛出。求：（1）两球从开始运

25、动到相碰，A球下落的高度。（2） A B两球碰撞（碰撞时无机械能损失）后，各自速度的水平分量。（3）产绳拉直过程中，B球受到绳子拉力的冲量大小。解：（1）设A球下落的高度为 与一h 二v0t gt2L d联立解得h = g11 -2V0-2-2（2）由水平方向动量守恒得22mV0 = mVAxmVBmVAy -由机械能守恒得1 m(v0vBy)122211,、m(VAxVAy)m(VBxVBy)22式中VAy VAy，VBy = VBy（3）由水平方向动量守恒得mv0 = 2mvBx，联立解得Vax = V0，VBx = 0V0=mvBx = m23、如图所示，排球场总长为 18m,设球网高度

26、为2m,运动员站在网前 3m处 正对球网跳起将球水平击出。1018m由此得排球越界的临界速度vi J 二二m/ti1/ .2s = 12, 2m/ s.(1)若击球高度为2.5 m,为使球既不触网又不出界，求水平击球的速度范围；(2)当击球点的高度为何值时，无论水平击球的速度多大，球不是触网就是越界?解：(1)排球被水平击出后，做平抛运动，如图所示 若正好压在底线上，则球在空中的飞行时间:若球恰好触网，则球在网上方运动的时间t2 =2( 252)s= 1 s110.10由此得排球触网的临界击球速度值 V2 = s2 = 3 m/s =3. 10m/s.t21/ .10使排球既不触网又不越界，水

27、平击球速度V 的取值范围为：3 .10m/s < v< 12 2m/s.(2)设击球点的高度为h,当h较小时，击球速度过大会出界，击球速度过小又会触网，临界情况是球刚好擦网而过，落地时又恰好压在底线上，如图所示，则有X1X2团,2(h - H )g . g1-(丝)2X1mY)232=m.15即击球高度不超过此值时，球不是出界就是触网,若所有台阶都是高同类变式一位同学将一足球从楼梯顶部以V0= 2ms的速度踢出(忽略空气阻力)0.2m,宽0.25m,问足球从楼梯顶部踢出后首先撞到哪一级台阶上? 解：方法一：设足球落在第 n级台阶上0.25(n -1) 2 2 0.2n 0.25n=

28、 n =3方法Sx = V0= 0.640.5 0.64 0.75落在第三级台阶上方法三：所有台阶的棱角都在同一斜面上，取小球的轨迹与这个斜面的交点为P,此过程小球的水平位移为x,竖直位移为y,则：x=v0t，y= 1gt22由几何知识可得：x =0y 0.2由以上各式得t= 0.32s, x = 0.64mn=-x-=2.6 .-2<n<3, .小球首先撞到第三级台阶上。 0.25三、圆周运动【规律方法】1、明确研究对象，分析运动状态：若有某个固定点或固定轴，开始运动瞬间初速度与外力垂直，且外力为变力，物体将做圆周运动。若切线方向有加速度，则物体做非匀速圆周运动；若切线方向无加速

29、度，则物体做匀速圆周运动。例：如图所示，将完全相同的两小球A、B用长L=0.8 m的细绳悬于以速度 v = 4 m/s向右匀速运动的小车顶部，两球与小车的前、后壁接触，由于某种原因，小车突然停止，此时悬线的拉力之比Fb： Fa为（g取 10 m/s2）A. 1 ： 1 B. i ： 2C. 1 ： 3D. 1 ：解析：小车突然停止，球 B也随之停止，故 FB= mg球A开始从最低点摆动，则：V2V?Fa mg= m L , Fa= m （g+ L） = 3mg5乂'fl=1. Fa3入答案：C2、确定圆心与轨道半径：质点与转轴的垂点为圆心，垂线为半径例：如图所示，竖直放置的光滑圆环，半

30、径 R=20cm在环上套有一个质量为m的小球，若圆环 以w=10rad/s的角速度转动（取 g=10m/s2）,则角0的大小为（）A 30°B, 45°C. 60°D. 9解析：5向=mgtane = mRsine 二日=60。答案:3、受力分析，确定向心力的来源；将外力沿切线方向和法线方向正交分解，列式求解: 几种常见的匀速圆周运动的实例例：如图所示，半径为r的圆形转筒，绕其竖直中心轴 oo'转动，小物块a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒间的动摩擦因数为科，现要使小物块不下落，圆筒转动的角速度3至少为：（ C解析：弹力提供向心力，而不是摩擦力，则:f =Fn

31、=mg,FN nm/r- . gMr答案：c【题型总结】（一）圆周运动的典型实例：1、传动问题皮带传动：在皮带不打滑的情况下，皮 带及两轮边缘上的点线速度一样大，对于A、B两点，其线速度、 角速度、周期有以下关系：VB- 'ATa =RTbr齿动传动：两齿动边缘上点的线速度大小均相同Va = w ,两齿轮的齿数与半径成正比，设两轮的齿数分别为,及，角速度、周期有以下关系：- - A- -BniTaTbn2同轴传动：两盘均与转轴固定在一起，两盘上各点的角速度、周期均相同，即 0A =0B，Ta =Tb，A、B两点的线速度关系为:"=Rvb r例：如图所示，是生产流水线上的皮带传

32、输装置，传输带上等间距地放着很多半成品产品。A轮处装有光电计数器，它可以记录通过A处的产品数目。已知测得轮 A、B的半径分别为rA=20cm, rB=|0cm,相邻两产品距离为 30cm, lmin内有41个产品通过A处，求：(1)产品随传输带移动的速度大小；(2) A、B轮轮缘上的两点P、Q及A轮半径中点M的线速度和角速度大小，并在图中画出线速度方向；(3)如果A轮是通过摩擦带动 C轮转动，且rc=5 cm，在图中描出C轮的转动方向，求出 C轮的角速度 (假设轮不打滑)。解：产品与传送带保持相对静止的条件下，产品速度的大小就等于传送带上每一点速度的大小，在传送带不打滑的条件下，传送带上各点运

33、动速度的大小都等于A、B轮缘上点的线速度的大小。由传送带相邻产品的间距及单位时间内通过A处的产品的个数可以确定出皮带上点的速度，进而知道A、B轮缘上的两点P、Q线速度的大小，然后由线速度与角速度的关系，求出A、B两轮的角速度及 A轮半径中点M的线速度及C轮的角速度.由题意知，1分钟内有41个产品通过A处，说明1分钟内传输带上的每点运动 的路程为两产品间距的 40倍。设传输带运动速度大小为V,则：s 40 0 .30(1) v= t =60m/s=0.2m/s(2)vP=vQ=0 2m/s° A轮半径上的m点与p点的角速度相等，故 11vm = 2 vp= 2 X0.2m/s=0.1m

34、/svp 0.2op= om= rA = 0.2 rad/s=lrad/s, 5=2 wP=2rad/s(3) C轮的转动方向如图所示，如果两轮间不打滑，则它们的接触处是相对静止的，即它们轮缘的 线速度大小是相等的，所以WCrC=coArA°以 0.2C 轮的角速度 gjc= rC a= 0.05 , 1rad/s=4rad/s点评：解决此类问题的关键:两个隐含条件：若皮带不打滑，两轮上与皮带相接触的轮边缘处各点的线速度大小相等，同一轮 上各点的角速度相等。熟练应用关系v =切r进行解析。练习：某种变速自行车，有六个飞轮和三个链条，如图所示，链轮和飞轮的齿数如下表所示，如图所示，某种

35、变速自行车有六个飞轮和三个链轮，链轮和飞轮的齿数如下表所示，前后轮直径为660mm人骑汽车名称链轮飞轮齿数N/483828151618212428前进速度为4m/s时,（1）脚踩踏板做匀速圆周运动的角速度最小值为：（B ）A 1.9rad/s B 3.8rad/s C 6.5rad/s D 7.1rad/s（2）若人以相同的角速度带动脚踏板，则由于链轮和飞轮不同的组合，自行车能得到的最大速度和最小速度之比为多少？N个齿，故链轮和飞轮间的转速之比为=2兀n82兀/N, 所以链：315飞=N飞：N4=15:38 -4= 一 3飞48解：（1）齿数N与转速n间的关系，即当物体转一圈，正好转过 齿数倒

36、数之比。因此脚踏板的最小角速度即是链轮的最小角速度因: 飞=N飞：N链，从式中可知齿数之比要最小，才能使 3链最小3链：3=3.8rad/s（2）因为V=co r;故V大小取决于 3。0)链：w飞=N飞：N链，故 飞：链=N链：N飞0)因此,链不变，故当N链:Vmax:Vmin= 48 :15N飞最大时，w飞即最大；故当N链: 28=16: 528N飞最小时，w飞即最小2、子弹问题：例：如图所示，为测定气体分子速率的装置图，该装置全部放在高真空容 器中，其中A、B是两圆盘，它们能绕共同轴以相同的角速度转动，两盘 相距20cm,盘上各开一很窄的细缝，两盘细缝间成6°夹角，现有一定速率

37、的分子垂直板面射向 A板细缝，调节圆盘的转速，使转速从零逐渐增大，当 分子首次垂直通过两盘的细缝时，测得圆盘转速为1500r/min, 求（1）此时分子速率多大？（2）若继续增大圆盘转速，分子能否通过两圆盘细缝？若能，求出分子能通过两圆盘时转速满足条件。解：（1）分子通过 A B两盘所用时间t= LV在这段时间内盘转过的角度 U =2二n t_ 2_ n tVe当首次垂直通过两盘的细缝时，0=6° = rad，代入式解得：v = 300m/30s（2）若转速增大，只要满足三 (2k 二二）rad ,分子就能通过B盘上的细缝（其中 30k =1,2,3,)由式得：n=E2 二L300(

38、2k 二30)2 二 0.2=(1500k 25)« =1,2,3,)A.B.C.合适的值，则：（ 有可能使微粒落在 有可能使微粒落在 有可能使微粒落在4点评：解决此类问题的关键：在一定时间内转过的角度（通常为始边与终边的夹角）1（3 %以）. t-2k矛0 t-2k兀由于圆周运动的周期性，这类问题往往有多个解，不能忽略。练习1:如图所示，MN两个共轴圆筒的横截面，外筒半径为R内筒半径比R小得多，可以忽略不计，筒两端封闭且筒间抽成真空。两筒以相同的角速度绕其中心轴线（图中垂直于纸面）做匀速转动。设从M筒内部可以通过窄缝 S （与中心轴线平行）不断地向外射出两种不同速率Vi, V2的微

39、粒，从S处射出时的初速度方向却是沿筒的半径方向，微粒到达N筒后就W着在 N筒上。如果R, V1和立都不变，而切取）N筒上的位置都在 a处一条与S缝平行的窄条上。N筒上的位置都在某一处如 b处一条与S缝平行的窄条上。N筒上的位置分别在两处，如 b、c处与S缝平行的窄条上。D.只要时间足够长，N筒上将到处都落有微粒。解析：由S缝射出的微粒做匀速直线运动；N筒上a、b、c三点随筒做匀速圆周运动.微粒落在N筒上某点，可看成两个做不同运动的质点相遇的问题.由于 S缝与a、b、c三点的相对位置一定，因而微粒从S缝射出的先后与我们要讨论的相遇问题没有影响，只要对速度为V1和V2的两个微粒研究即可.a、b、c

40、三点的运动周期为 T=2兀/ 3 ,两种微粒匀速运动到 N筒的时间分别为：ti=R/Vl,t 2=R/V2.若 V1>V2（反之也可），则 tlt2.微粒若能落在a点，运动时间必须是周期 T的整数倍，即ti= kT, t2=NT. k的取值为1, 2, 3,n; （n为正整数），N的取值为k+1 , k+2, k+3,k+n.显然，只要 «取某一适当的值， 上述相遇的条件可以满足。（例如V1 = 2V2,则t 2 = 2t 1,调整3使T= 11,即k=1 ,则N=2）,因此，选项A是正确的。微粒落在 b点的条件是：t1= kT+ T, A 2= NT+T。丛取1, 2, 3,

41、，n； N>k+1, k+2, k+3,，k+n （n为正整数）。适当调整 «值，上述条件可以满足，故选项B也是正确的。（例如V1=6V2,则t2=6t1,调整3使T=5t1 /6,当k取1, N取7时，两微粒都可打在b处，ab弧T1, t2= NT+ T2, K取 1, 上述条件可以满足，故选项2, 3,，n； NBC也是正确的。长为2tiR/ 5）,因此，选项 B是正确。微粒落在b、c两处的条件是：t1= kT+1, 2, 3,，n. （n为正整数），适当调整 «值,D是错误的。微粒只有两种速率，只选取某一3值，不可能在N筒上到处落有微粒，因此选项练习2： 一个半

42、径为R的纸质圆筒，绕其中心轴逆时针匀速转动，角速度为3, 一颗子弹沿AO方向打进纸筒，从纸筒上的 B点穿出，如图所示。从子弹打入纸筒到穿出纸筒的过程中纸筒未转够一周，若 AB弧所对的圆心角为 ）0 ,则子弹的速度大小 v应是：（A、RC 2 R/。解析：假设纸筒静止不动，子弹从 纸筒在匀速转动，所以实际转过B、co R/ 0D 2 co R/ （兀-。）A点将沿直线转过2k 71 + 71 - 0 。2k % +71 ,所用时间为2R/V,由于t=v = 2R2k二 二-1答案：D练习3:如图所示，竖直圆筒内壁光滑，半径为 云，顶部有一个入口 H ,在从的正下方力处有一个出口 g, 一质量为

43、因 的小球沿切线方向的水平槽射入圆筒内，要使小 球从B处飞出，小球射入入口 月的速度y满足什么条件？在运动过程中球对筒的压力 多大？解：小球从入口处 月射入后的运动可分解为一个在水平面内作匀速圆周运动，线速度即入射速度；另一个在竖直方向上作自由落体运动。设小球在圆筒内绕过 月圈后从3处飞出，则:在水平面内小球做圆周运动通过的路程为.1竖直方向的位移：2亭联立消去工解小球在运动过程中3、雨滴问题：例：雨伞边缘的半径为/v =,水平方向上仅受到 V,充当向心力必r,距水平地面的高度为 h,现将雨伞以角速度 3匀速旋转，使雨滴自伞边缘甩2hg2h，雨滴的水平位移为 x= v0t =rgr2 x2 二

44、12 .2r22h ;1雨滴落在地上形成的大圆的半径为R=:g2h出，落在地面上成一个大圆圈。求： （1）大圆圈的半径是多少？（2）雨滴落到地面时速率是多少?解：（1） :雨滴离开雨伞的速度为 v0=r,雨滴做平抛运动的时间为 t =（2）设雨滴落地时的速率为 v,根据机械能守恒定律:解得，,一：二, 点评：解决此类问题的关键：R2=X 2平抛+r2练习：如图所示，在圆柱形屋顶中心天花板O点，挂一根L=3 m的细绳，绳的下端挂一个质量 m为0.5 kg的小球，已知绳能承受的最大拉力为 10 N.小球在水平面内做圆周运动，当速度逐渐增大到绳断裂后，小球以v=9 m/s的速度落在墙边.求这个圆柱形

45、房屋的高度H和半径R. （g取10 m/s2）解：设绳与竖直方向夹角为0 ,则cos 0 =明T小球在绳断时离地高度为：h=H- Lcos 0小球做匀速圆周运动的半径为：r=Lsin e1,所以 0=60。，2C1J2F向小v-mgan er1 mV=mg H- _L) +1 mv>2联立式求得：件3.3 m,平抛运动时间为:t = 2h =0.6 s,水平距离为：s=v0t =J16.2 m,圆柱半径为：R =., S I2 =4.8 m.4、碰钉问题：例：在光滑的水平面上相距kg的小球，另一端固定在钉子40 cm的两个钉子A和B,如图5-21所示，长1m的细绳一端系着质量为0.4A上

46、，开始时，小球和钉子 A、B在同一直线上，小球始终以 2 m/s的速率17在水平面上做匀速圆周运动.若细绳能承受的最大拉力是4 N,那么，从开始到细绳断开所经历的时间是()A. 0.9n s B. 0.8 Tt sC. 1.2 n s D. 1.6 n s解：当小球绕 A以1 m的半径转半圈的过程中，拉力Fi=mV_=0.4X _ = 1.6 N,绳不断11当小球继续绕 B以（10.4） =0.6 m的半径转半圈的过程中，拉力F2= mv_ =0.4 x22 =2.670.6N,绳不当小球再碰到钉子A,将以半径（0.6 - 0.4） =0.2 m做圆周运动，拉力F3=mL=0.4X _2_ =

47、8 N.绳30.2断所以，在绳断之间小球转过两个半圈，时间分别为2 二2 二 r 2ttz-MU/j0"。？v v2 2vv2 2所以，断开前总时间是 t =t 1+ t 2= （0.5n+ 0.3n）s = 0.8ns 答案：B点评：解决此类问题的关键：抓住线速度、轨 道半径的变化。L练习：如图所示，质量为 m的小球用长为L的悬绳固定于O点，在O点的正下方 ，处有一颗钉子，把悬 绳拉直与竖直方向成一定角度，由静止释放小球，当悬线碰到钉子的时候（）A、小球的速度突然变大./，日小球的向心加速度突然变大C小球的角速度突然增大.D悬线的张力突然增大丁 i ；'.解析：由于惯性，且

48、碰钉瞬间外力与初速度垂直，所以小球的线速度不变，但圆周的半径突然减小，故vva_国二变大,"7变大，故BC正确，A错；在碰钉时，根据牛顿第二定律，有g=mT ,旨 r ,可知r减小，F增大。故D正确。答案：BCD（二）圆周运动的临界问题：1、竖直平面内：1）、如图所示，没有物体支撑的小球，在 竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：临界条件：小球达最高点 时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提供其做 圆周运动的向心力，即mg= mv全界=v临界=jrg v临界是小球通过最高点的最小速度，即 临界速度）. r能过最高点的条件：v>v临界.此时小球对轨道有压力或绳对小球有

49、拉力N = m - mg不能过最高点的条件：v<v临界侯际上小球还没有到最高点就已脱离了 轨道）.砌向2）、如图所示，有物体支持的小球在 竖直平面内做 圆周运动过最高点的情况:临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度v临界=0.图G）所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况是：当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力 N ,其大小等于小球的重力，即N=mg ;2当0<v< jg"时，杆对小球有竖直向上的支持力 N = mg - m v_ ,大小随速度的增大而减小；其 取值范围是mg>N>0.当 v= jrg 时，n=0 ；当v&

50、gt; jrg"时，杆对小球有指向圆心的拉力N = m - - mg ,其大小随速度的增大而增大.r图b）所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况是：当v=0时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即 N=mg.2当0<v< jrg"时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力 N = mg - m ,大小随速度的增大 1r而减小，其取值范围是mg>N>0.当 v= jgr 时，n=0.当v> jgr时，管的上侧内壁对小球有竖直向下指向圆心的压力N = m - mg ,其大小随速度 r的增大而增大.图的球沿球面运动，轨

51、道对小球只能支撑，而不能产生拉力。在最高点的v临界=jgr.当v> 何 时，小球将脱离轨道做平抛运动。例1：如图所示，轻杆长为 2L,水平转轴装在中点 0,两端分别固定着小球 A和B。A球质量为m, B球质 量为2ml在竖直平面内做圆周运动。当杆绕0转动到某一速度时，A球在最高点，如图所示，此时杆 A点恰不受力，求此时 0轴的受力大小 和方向；保持问中的速度，当 B球运动到最高点时，求 O轴的受力大小和方向；在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现O轴不受力的情况？请计算说明。解析：对A球：恰好不受力，mg = mL v2=gLL对 B球：T 2mg=2m¥_,T =4mg令 2m

52、g = 2mL. 020 =.B球恰好不受力由牛顿第三定律，B球对O轴的拉力T，= 4mg,竖直向下。对 A 球：Tmg=mv-,TL由牛顿第三定律，A球对O轴的拉力T，= 2mg,竖直向下。若B球在上端A球在下端：对B球:T 2mg = 2mg L联系得v = J3gL。2对 A球：Tmg=mJ,L若A球在上端，B球在下端，对 A球:对B球：T -2mg =2m v,联系得3mg = -m,显然不成立LL所以，能出现o轴不受力的情况，此时va = vb = j3gL。例2：如图所示，在电机距轴 O为r处固定一质量为 m的铁块.电机启动后，铁块以角速度3绕轴O匀解：铁块在竖直面内做匀速圆周运动，其向心力是重力mgW轮对它的力F的合力.由圆周运动的规律可知： 当m转到最低点时F最大，当m转到最高点时F最小.设铁块在最高点和最低点时，电机对其做用 力分别为Fi和F2,且都指向轴心，根据牛顿第二定律有：在最高点：m时Fi = mw 2r在最低点：F2 mg= mw 2r设电动机的质量为 M对电动机有：在最高点：Ni+F