第四讲辐射阻尼PPT课件

1、回顾回顾m第一讲：储存环的能量m第二讲和第三讲：单粒子线性动力学m横向：由洛伦兹力推导，线性近似，Hill方程m周期性的矩阵m纵向：能量振荡辐射阻尼辐射阻尼m能量振荡的哈密顿形式m同步辐射的能量损失m能量振荡的阻尼m横向振荡的阻尼m辐射阻尼的时间常数和衰减分配数能量能量振荡方程的哈密顿振荡方程的哈密顿形式形式000( )eV zUddtTdzcdtE dHdtzdzHdt m重写相运动方程m将其写成哈密顿形式哈密顿函数H为系统总能量0( )sin()rfzzV zVc00021sin1cos1rfrfzUcqeVzcqm假定高频为正弦波m哈密顿函数同步粒子m对同步粒子有h：谐波数00222rf

2、fhhhcccTLRrfzhzcRl将前面的结果结合，就可以得到能量振荡的哈密顿函数，就可以得到z相空间的相轨迹lHH* 不稳定lH=H* 稳定边界lHH* 稳定22011( , )11 cossin22cceVzhzhzhHzEhqRqRRm稳定边界与z轴交点为*0sin()sin()rfrfzzzcc*0()rfrfzzzcc*02rfczz101sinrfcqz*112121coscosrfcRzqhq*11121122221111111 cos 2cossin 2cos2cos211111111212sin cos2cos21112 112 12ceVHhqqqqqceVhqqqqqq

3、ceVhqqq 12121 112cos1111cosqqqceVhqqq *121111cosceVHhqqq1 2102111( )11 cossin2coseVEyhyhyhyhqRqRRq 210max00211cosUEqhEq m为了方便，常采用高频电场的相位代替时间位移。1 2102111( )11 cossin2cosssseVEhqqq 210max0021()1cossUEqhEq ,sshzR 同步相位同步相位表示的相图同步相位表示的相图同步辐射的能量损失同步辐射的能量损失p一个电子做加速运动时，产生电磁辐射p电磁辐射的功率正比于加速力的平方p电磁辐射与加速力和电子速度之

4、间的夹角相关，两者垂直的情况下的辐射功率是平行情况下的2倍p圆周运动的电子瞬时辐射总功率为244223rve cP vvc20Em c 曲率半径光速电子电荷相对速度相对能量总能量电子静止质量p对于高能电子p定义 其中电子经典半径1v2244224202233 ()re ce cEPm c220eerm c4422( )22rrrcCcCEPE Gs u磁刚度u瞬时辐射的总功率正比于能量与局部磁场的平方EBecEecB3 2222rrcePCE B一圈的辐射总能量一圈的辐射总能量l一个能量为E0的电子在曲率为G(s)的储存环中回旋一圈的辐射总能量为：l如果导向磁场为等磁场0420001( )2T

5、rrrC EUPdtPdsGs dsc001( )G sG44200000( )2rrC EC EUGs ds45000()()8.85 10( )EGeVU GeVmlU0正比于电子能量E0的四次方，反比于曲率半径l增加电子能量是增加辐射功率的最有效方式l还有插入元件等非二极铁辐射元件000:0.8,2.222116.31HLS EGeVmUkeV0001.0,2.222139.8EGeVmUkeV能量能量的非的非同步粒子同步粒子m具有与同步粒子相同能量但不在理想轨道上的非同步粒子，由于横向振荡，所经历的轨道与理想轨道有微小区别，看到的磁场也有微小区别,所以它的辐射也与同步粒子之间有微小的区

6、别。m但是它由于横向振荡导致的径向的偏移,在平衡轨道两侧是以同等概率出现的,而且由于横向偏移很小，我们可以认为其所看到的场是线性变化的。m这样，在一阶近似时，振荡下电子回旋一圈的辐射功率与同步粒子是一样的能量振荡的阻尼回忆能量振荡方程22200dD ddtT dt22220dddtdt200eVT E 000122raddUDTTdE0EEdEdradU是任意电子回旋一圈的辐射能量其中辐射能量的变化原因u任一偏能电子每圈的辐射能量的变化由三种因素造成1.电子能量的不同2.电子在不同磁场中运动3.电子的轨道长度不同u振荡不改变平均的辐射能量电子回旋一圈的辐射能量00tsTradrrdtUPdtP

7、dsds0011(1)(1)dtdlxG xdscdscc0 xE001(1)radrUPdscE只需考虑能量偏差对闭轨的影响其中0 0,radwhenUU001(1)1 radrrrrdUdPPdsdEcE dEEdPPdscdEE22rPE B被积函数所有的量都在设计轨道上取值能量偏差将导致轨道变化电子看到的磁场发生变化电子瞬时辐射功率变化能量偏差的变化0000 dBdB dxdBdEdx dEEdx0122radrrrdUPPPdBdsdEcEE B dxE3232220000000002222 22rrrrrdPc ec edBC E BC E BdEdEPPdBEBdEraddUdE

8、的推导m第一项为粒子能量的贡献m第二项为磁场的径向梯度的贡献m第三项为轨道长度的贡献00001122()radrdUUdBPdsdEEcUB dx0122radrrrdUPPPdBdsdEcEE B dxE能量振荡阻尼系数能量振荡阻尼系数00112()rdBPdscUB dxD000(2)2UT ED不同不同弯铁中能量振荡的阻尼弯铁中能量振荡的阻尼m对于有梯度的扇形弯铁，考虑弯铁的磁场降落指数dBnB dx 0000112()1 (2)rrnPdscUP GnGdscUD4422( )22rrrcCcCEPE Gs 4200( )2rC EUGs ds302( )(1 2 )( )GsndsG

9、s dsD已知又称为磁场对数梯度，来源：回旋加速器中l如果导向场是等磁场，并且采用分离聚焦设计，即 在B铁中 在B铁外0GGconst02 2dsG22001(1 2 )(1 2 )22bendbendGGn dsn dsD0G 阻尼时间常数阻尼时间常数lD描述了导向磁场的性质，它只与导向磁场的曲率G、磁场降落指数n以及色散函数有关。l在D很小的情况下能量平均损失率阻尼时间常数粗略地说就是一个电子将其本身能量完全辐射掉所需的时间n n0 0 扇形扇形弯铁弯铁l如果分离聚焦结构下，导向场n0，并且是等磁场，则有lB铁处色散函数的平均值为20( )2bendGs dsD( )( )2bendben

10、dbendbends dss dsds000bendRGGRD0.05;3R0.15D典型参数02rPE（2 ）DBreakBreak矩形弯铁（矩形弯铁（1）u分离作用储存环中的弯铁一般都是平头铁，n0，且绝大多数都是矩形u弯铁长度bu同步粒子（s0、E0、0）u非同步粒子（s、E、）矩形矩形弯铁（弯铁（2）1200001 cos2sin222b22220000022cos2(1 cos)b22202(1 cos )2() (1 cos )bx22000(1 cos)() (1 cos )x222000002200(1 cos)2coscos1()()xxxx 由OAB有由OCD有矩形弯铁（矩

11、形弯铁（3）0 xE0E222000202coscos() 20000020002cos2coscos22 10002coscos2定义相对能量偏差相对能量偏差是远小于1的小量，可以忽略2次项01ddEE121cos1dxdxx 20000020000000200000002 (2)2 (2cos)(2)cos2cos122 (1 cos)(4) 2cos122 (1 cos)(4) 1 cosEEE 2000002 (1 cos) (4)sinE 0ddE矩形弯铁边缘的处理矩形弯铁边缘的处理000000002 (1 cos)2sin2dtgdEEE 00()()2rradPUc因为 很小，

12、，一般可以忽略 项1 4 能量不同的电子在铁中的轨迹长度与在扇形磁铁中是不一样的，在每个边缘处电子轨迹差别为电子轨迹差别相应的辐射能量也不同，为000011()()()()22sx 0001TrrUPdtPdsc00tsTradrrdtUPdtPdsds0011(1)(1)dtdlxG xdscdscc0 xE200101(1)()()2mrradriiPUPdscc20001000011()2mradrirrrridUPdPPdPddsPdEcdEEcdEEdE 2001()()2mrradiiPUc整个环有m块矩形弯铁，有2m个边缘，则总的辐射能量差别为回忆： 0;0dBndE200100

13、000200100011221 22mradrrimriridUUPddsPdEEcUcdEUPdsPtgEcU2010012mririPdsPtgcUD2320122miiG dsG tgG dsD4422( )22rrrcCcCEPE Gs 4200( )2rC EUGs ds等磁场下求解等磁场下求解201022miiGdstgD2 GG00()cossinss等磁场上式分子中的第一项环积分实际上只对弯铁起作用，所以可以一块一块对弯铁分别积分回忆色散函数性质，在等磁场情况下有其解为00, 为s0处的初始值一块弯铁的积分一块弯铁的积分0000000000001()cossin ()cossi

14、n ()sincos ()sincosllssGdsdssssdlll0lG ds等磁场情况下，一块弯铁的积分为l0i00()cossinf其中入口出口全环结果全环结果00010000010000000000000()221 ()sincos2 ()cossin22 2222 12mlfimiGdstgtgtgtg D能量振荡的辐射阻尼能量振荡的辐射阻尼采用等磁场矩形磁铁 分离聚焦结构 的储存环:能量振荡的衰减系数 只与每块铁弯转的角度有关00212tg D000(2)2UT ED0HLS 12B300.0234905：块 铁，每块-DdBnB dx 22001(1 2 )(1 2 )22be

15、ndbendGGn dsn dsD小结000bendRGGRD00212tg D有梯度的扇形弯铁如果导向场是一种等磁场对n=0的扇形铁此处R=L/2为平衡轨道的平均半径矩形弯铁横向横向振荡的辐射阻尼振荡的辐射阻尼m仅为近似处理m辐射阻尼不是出现在辐射光子的过程，而是发生在高频加速过程m横向振荡的轨迹可以写成m首先考虑垂直方向00( )( )cos()sdsu sas垂直垂直振荡的辐射阻尼振荡的辐射阻尼m暂时忽略函数随s的变化，即常数m横向振荡轨迹 ，其中 ，A为横向振荡振幅m横向振荡角度m横向振荡振幅为cosyAsinAy s222()Ayy辐射损失：l在任一方位元s上，电子辐射能量E，其动量

16、改变P。l电子轨道的位移和斜率不会改变，A也不变考察能量为考察能量为E E0 0的电子的电子围绕平衡轨道的垂直振荡围绕平衡轨道的垂直振荡pEc222()AyyRFRF加速作用加速作用mRF加速力平均来说是平行于平衡轨道的m因而在任一方位元s上，电子动量改变P不再平行于动量P垂直分量平行分量pyp RF对方向角的作用mRF加速作用不改变y，改变y，因此动量的平行分量有一个增量my的变化为1ppyppppppppppypEyE yEyE 振幅变化振幅变化m相应的振幅变化为m由于电子在s处的相振荡相位是任意的，在0到2之间都有可能，则A的平均变化为（考虑 ）222()()yEA AyyyyyE 22

17、22Ay 2222EAEAAyEE 12AEAE sinAy m假定电子在一圈内振荡幅度由于RF加速改变为Am电子在一圈内能量变化一定为U0Em可见m因此振荡振幅是指数衰减的一圈的振幅变化一圈的振幅变化002UAAE 000012UdAAA dtATE T AA 垂直方向的阻尼系数垂直方向的阻尼系数m垂直方向的阻尼系数是能量振荡阻尼系数的一半。m辐射阻尼不是出现在辐射光子的过程中，而是发生在高频加速的过程中，由于电子从高频腔中得到能量而引起振荡振幅的衰减。0002UdAdtAE T 000ln2UAtCE T 00 020UtE TAA e000022ryPUE TE0ytAA em电子的总径

18、向位移X由两部分组成m水平与垂直区别在于存在一个偏能导致的闭合轨道位移，这样m当电子能量有一个E的变化时，有径向径向运动的辐射阻尼运动的辐射阻尼xxx横向振荡引起的闭合轨道偏移具有能量偏差的闭合轨道偏移0ExE径向位移的变化径向位移的变化0 xxx0ExxE 能量变化对径向振荡的影响能量变化对径向振荡的影响m对振荡的方向角x 有m一个有限的冲量可以导致运动方向的立即改变径向方向角的变化径向方向角的变化xxxxxx0ExxEddsxxm上式可见，相同的s间距中，横向振荡正方向（x）摆动时所走过的距离较之负方向摆动时所走过的距离要大。m它们能量损失不同m振荡振幅也不同00(1)(1)xdldsG

19、x ds为了简化计算，假定0 x不变cosxAsinxAx s222( )Axx2A Axxxx 0, 0,0 xx0EA AxE 记其中y方向计算中假设电子在径向没有位移，所以辐射损失总等于理想粒子的损失。对x方向则有所不同（如果有场梯度），为了简化计算，只考虑分离作用的等磁场情况。这时在一次近似下，辐射损失不随x变化，只依赖于s。0(1)rrxPPElscc 002000(1) rrrxPA AxscExPPxsscEcE在一个路径元l中的能量变化为0 x222Ax2002rPAA AscE002rPAsAcE0002UAAE仅对A的期望值有兴趣，即对所有的相角取平均一圈引起的振幅变化为正数将引起振幅的增长导致不稳定这只是问题一部分，考虑RF加速作用00000000(1)222UUUAAEEE 0000(1)2xUE T000(1)2xUE TD一般RF位于直线段，曲率为0，所以加速效果与x无关径向与垂直