线性方程组PPT课件

1、线性方程组线性方程组对于对于n个变元个变元m个方程的线性方程组个方程的线性方程组记记111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa 12nxxxx 12mbbbb Axb 11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xbaxaxaxb 则上述方程组可写成矩阵方程则上述方程组可写成矩阵方程方程的解方程的解x也称作也称作解向量解向量方程可完全用矩阵方程可完全用矩阵A,b来表示，称作方程的来表示，称作方程的增广矩阵增广矩阵。线性方程组线性方程组矩阵方程矩阵方程Axb 当当A为方阵，且为方阵，且|A|0时，可用克拉姆法则求解。时，可用克拉姆

2、法则求解。此时，此时，A可逆，也可直接解矩阵方程得：可逆，也可直接解矩阵方程得：1xA b PXQB 事实上，对于更一般的矩阵方程：事实上，对于更一般的矩阵方程：当当P和和Q均可逆时，有解均可逆时，有解11XP BQ 引例引例)1(求解线性方程组求解线性方程组 , 97963, 42264, 42, 224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx1342分析：用消元法解下列方程组的过程分析：用消元法解下列方程组的过程2 解解)(1B)1()(2B2 132 , 97963, 232, 22, 424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx13422

3、132 33 14 , 3433, 6355, 0222, 424324324324321xxxxxxxxxxxxx1342)(3B)(4B , 3, 62, 0, 42444324321xxxxxxxxx13425 221 33 422 , 00, 3, 0, 4244324321xxxxxxxx134232 443用用“回代回代”的方法求解。的方法求解。于是解得于是解得 33443231xxxxx.3为任意取值为任意取值其中其中x方程组的解可记作方程组的解可记作或令或令,3cx ,3344321 cccxxxxx.为任意常数为任意常数其中其中c 30340111cx即即(2)小结：小结：1

4、上述解方程组的方法称为消元法上述解方程组的方法称为消元法 2始终把方程组看作一个整体变形，用到如始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换下三种变换（1）交换方程次序；）交换方程次序；（2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的k倍倍ij（与相互替换）（与相互替换）（以替换）（以替换）ik ij（以替换）（以替换）ik i3上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解

5、变换变换是同解变换ji)(A若若),(B)(B则则);(Ajik )(A若若),(Bji)(A若若),(Bik )(B则则);(Aik )(B则则).(Ak ji因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算算若记若记 97963422644121121112)(bAB则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方方程组（程组（1）的）的增广矩阵增广矩阵）的变换）的变换定义定义1下面三种变换称为矩阵的下面三种变换称为矩阵的初等行变换初等行变换: ）；）；记作记

6、作两行两行对调两行（对调对调两行（对调jirrji,1 ;02乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以数数 k）记作记作行乘行乘（第（第krkii , .3 ）记记作作行行上上倍倍加加到到第第行行的的对对应应的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到另另一一行行把把某某一一行行所所有有元元素素的的jikrrikjk 定义定义2 矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换统称统称为为初等变换初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类且变换类型相同型相同 同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是所用记号是把把“r”换成换成“

7、c”)jirr kri 逆变换逆变换;jirr 逆变换逆变换;)1(krkrii 或或jikrr 逆变换逆变换.)(jijikrrrkr 或或等价关系的性质：等价关系的性质：；反身性反身性）（A A 1A;B , B A 2则则若若对称性对称性）（C. AC,BB, A 3则则若若）传递性）传递性（等价，记作等价，记作与与就称矩阵就称矩阵，矩阵矩阵经有限次初等变换变成经有限次初等变换变成如果矩阵如果矩阵BABABA具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价例如，两个线性方程组同解，例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价就称这两个线性方程组等价用矩阵的初等行变换用矩

8、阵的初等行变换 解方程组（解方程组（1）：）：123412341234123422,24,46224,36979,xxxxxxxxxxxxxxxx 2111211214=4622436979B 111214211122311236979B 123412341234123424,22,232,36979,xxxxxxxxxxxxxxxx 21rr 23 r123423423423424,2220,5536,3343,xxxxxxxxxxxxx 211214022200553603343B 311214011100002600013B 12342344424,0,26,3,xxxxxxxxx 13

9、322rrrr 143rr 23252rrr 243rr 1234234424,0,3,00,xxxxxxxx 411214011100001300000B 510104011030001300000B 13234433xxxxx 43rr 342rr 21rr 32rr 对对应应的的方方程程组组为为5B 33443231xxxxx方程组的解可记作方程组的解可记作或令或令,3cx 3344321cccxxxxx 30340111c.为为任任意意常常数数其其中中c特点：特点：1)1)可划出一条阶梯线，线的下方全为零；可划出一条阶梯线，线的下方全为零；5 00000310003011040101B

10、 2)2)每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元个非零元4 00000310000111041211B 矩阵矩阵B4和和B5都称为都称为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵。5 00000310003011040101B .1 5的的其其他他元元素素都都为为零零列列，且且这这些些非非零零元元所所在在的的零零行行的的第第一一个个非非零零元元为为即即非非还还称称为为行行最最简简形形矩矩阵阵，行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵B.,A nm和和行行最最简简形形变变换

11、换把把他他变变为为行行阶阶梯梯形形总总可可经经过过有有限限次次初初等等行行对对于于任任何何矩矩阵阵 行最简形矩阵行最简形矩阵 000003100030110401015 B214ccc 3215334cccc F 00000001000001000001 0000030100310104100143 cc 00000301003001040001矩阵矩阵F称为矩阵称为矩阵B的的标准型标准型。行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形。行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形。特点：特点：左上角是单位阵，左上角是单位阵， 其余元素都为其余元素都为0。标标准准形形总总可可经经过过初初等等变变换换

12、化化为为矩矩阵阵 Anm nmrOOOEF .,的行数的行数行阶梯形矩阵中非零行行阶梯形矩阵中非零行就是就是三个数唯一确定，其中三个数唯一确定，其中此标准形由此标准形由rrnm 所有与矩阵所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，等价的矩阵组成的一个集合，称为一个称为一个等价类等价类，标准形，标准形 是这个等价类中最简是这个等价类中最简单的矩阵单的矩阵.AF对矩阵进行一系列初等对矩阵进行一系列初等列变换列变换相当于相当于右乘右乘一个可逆矩阵一个可逆矩阵Q；推论：方阵推论：方阵A可逆的充要条件是可逆的充要条件是AE。1) AB的充要条件是存在的充要条件是存在m阶可逆矩阵阶可逆矩阵P，使得，使得PA=

13、B；2) AB的充要条件是存在的充要条件是存在n阶可逆矩阵阶可逆矩阵Q，使得，使得AQ=B；3) AB的充要条件是存在的充要条件是存在m阶可逆矩阵阶可逆矩阵P 和和n阶可逆阶可逆矩阵矩阵Q，使得，使得PAQ=B。定理定理1：设：设A和和B为为mn矩阵，那么矩阵，那么对矩阵进行一系列初等对矩阵进行一系列初等行变换行变换相当于相当于左乘左乘一个可逆矩阵一个可逆矩阵Prc对矩阵进行一系列初等对矩阵进行一系列初等变换变换相当于左乘和相当于左乘和右乘右乘可逆矩阵可逆矩阵P和和Q；初等行变换初等行变换 |A E |E XP |A E |E P |PA PE 1PA 1|E A . ,343122321 1

14、 AA求求设设 解解例例 103620012520001321 100343010122001321EA122rr 133rr 11110001252001120121rr 23rr 111100563020231001312rr 325rr .111253232311 A 11110025323010231001）（22 r）（13 r初等行变换初等行变换 |A E 1|E A 初等行变换初等行变换 |A B | E1A B 例例.341352,343122321 , BABAXX，其中，其中使使求矩阵求矩阵解解.1BAXA 可逆，则可逆，则若若 343431312252321)(BA 1226209152052321 311009152041201 311006402023001122rr 133rr 21rr 23rr 312rr 325rr ， 311003201023001.313223 X）（22 r）（13 r 311006402023001312rr 325rr 初等行变换初等行变换 |A E初等行变换初等行变换 |A B | EACE1A B 初等列变换初等列变换1CA | E1A 1.1.初等行初等行( (列列) )变换变换初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, , 且变换类型相同且变换类型相同初等行变换初等行变换矩阵矩阵行阶