直线与圆解法教学文案

1、精品文档高考中数学直线和圆的解法1、直线的倾斜角：(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 X轴相交的直线l ,如果把x轴绕着交点 按逆时针方向转到和直线l重合时所转的最小正角记为，那么 就叫做直线的倾斜角。当直 线l与X轴重合或平行时，规定倾斜角为 0;(2)倾斜角的范围0,。5如(1)直线xcos43y 2 0的倾斜角的范围是(答：0,U， )； (2)66过点P( 73,1),Q(0,m)的直线的倾斜角的范围,2-,那么m值的范围是(答：3 3m2或 m 4)2、直线的斜率：(1)定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率 k,即卜= tan ( *90

2、° );倾斜角为90°的直线没有斜率；(2)斜率公式：经过两点已(不，%)、P2(X2,y2)的直线的斜率为k一y2x1X2; (3)直线的方向向量a (1卜)，直线的方向向量与直线的斜率有何关系?(4)应用：证明三点共线：kAB kBC。提醒：(1)直线的倾斜角a一定存在，但斜率不一定存在。(2)直线的倾斜角与斜率的变化关系：若直线存在斜率 k,而倾斜角为a,则k=tan a .当倾斜角是锐角是，斜率k随着倾斜角a的增大而增大。当a是钝角时， k与a同增 减.(3)斜率的求法：依据倾斜角:牢记图像依据两点白坐标：k 辿y1 xi x2 x2 x1依据直线方程：化为斜截式精

3、品文档精品文档当已知k,求倾斜角a时：k>0 时，=arctank ； k<0 时，=九 +arctank。(4)直线l的方向向量之一：a 1, k(你知道如何由直线的方向向量来求斜率吗？)如(1)两条直线斜率相等是这两条直线平行的 条件(答：既不充分也不必要)；(2)实数x,y满足3x 2y 5 0 (1 x 3),则义的最大值、最小值分别为 (答: x3, 1)3、直线的方程：(1)点斜式：已知直线过点(xo,yo)斜率为k,则直线方程为y y。k(x刈),它不包括垂直于x轴的直线。(2)斜截式：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线方程为y kx b ,它不包括垂直于x轴

4、的直线。(3)两点式：已知直线经过耳函,%)、P2(x2，y2)两点，则直线方程为 y y1：y2 y1x2 x1它不包括垂直于坐标轴的直线。(4)截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a,b,则直线方程为fy 1,它不包括 a b垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。(5) 一般式：任何直线均可写成Ax By C 0(A,B不同时为0)的形式。如(1)经过点(2, 1)且方向向量为v=(1*3)的直线的点斜式方程是 (答：y 173( x 2)； (2)直线(m 2)x (2m 1)y (3m 4) 0，不管m怎样变化恒过点(答：(1, 2)； (3)若曲线y a|x|与y x a(a 0)有两

5、个公共点，则a的取值范围是(答：a 1)提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距 式呢？)；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相精品文档等直线的斜率为1或直线过原点。如过点A(1,4),且纵横截距的绝对值相等的直线共有 _条(答：3)4.设直线方程的一些常用技巧：(1)知直线纵截距b,常设其方程为y kx b；(2)知直线横截距xo,常设其方程为x my x0(它不适用于斜率为0的直线)；(3)知直线过点(x°,y。)

6、，当斜率k存在时，常设其方程为y k(x x°) y。，当斜率k不 存在时，则其方程为x x0;(4)与直线l:AxBy C0平行的直线可表示为 AxByCi0 (CCi);(5)与直线l:AxBy C0垂直的直线可表示为BxAyC10.(6)已知直线 l i：Aix+By+G=0,直线 l 2： Ax+Ry+G=0,贝 U 方程 Ax+By+G+入(A2x+Ry+C)=0 表示过l 1与l 2交点的直线系(不含l2).不仅可以建立直线方程还可解决直线过定点问题.提醒：(1)求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。(2)求解直线方程的最后结果，如无特别强调

7、，都应写成一般式.(3)求一个角的平分线所在的直线方程的方法：法一、利用角的平分线所在的直线的方向向量ur uu由顶点坐标(含线段端点)或直线方程求得角两边的方向向量M、V2；LT LU求出角平分线的方向向量V篇尚V1网由点斜式或点向式得出角平分线方程。直线的点向式方程：过P (x0,y0),其方向向量为V(a,b),其方程为0 30 a b法二、利用角平分线定理：法三、利用点到直线的距离公式：设P(x,y)为角平分线所在直线上的任意一点，通过P(x, y)到两边距离相等而得.5、点到直线的距离及两平行直线间的距离 ：(1)点P(x0,y0)到直线Ax By C 0的距离d 叫尸 C ；A2

8、B2精品文档精品文档(2)两平行线 11: Ax By C1 0,l2：Ax By C2 0 间的距离为 d . C2 .A2 B2提醒：(1)公式要求直线方程为一般式.(2)求平行直线间的距离时，一定要把 x、y项系数化成对应相等的系数.6、直线11：Ax By C1 0与直线12：A2X B2y C2 0的位置关系：(1)平行A1B2 A2B1 0 (斜率)且B1C2 B2C1 0 (在y轴上截距)；(2)相交A1B2 A2B1 0;(3)重合A1B2 A2B1 0 且 B1C2 B2C1 0。提醒：(1) 冬丝Q、名空、A旦Q仅是两直线平行、相交、重合的充A2 B2C2A2B2A2B2C

9、2分不必要条件！为什么？(2)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几 何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；(3)直线 11:A1x B1yC10 与直线 12：A2xB2y C20 垂直AA2B1B20。如(1)设直线 11: x my60 和 12 : (m 2)x3y 2m0 ,当 m =B寸 11/ 12;当 m=时11 12；当m B寸11与I2相交；当m=B寸11与I2重合(答：一1；1一 ；m 3且 m1; 3);2(2)已知直线1的方程为3x 4y 12 0,则与1平行，且过点(一1, 3)的直线方程是 (答:3x 4y 9 0);(3)两

10、条直线ax y 4 0与x y 2 0相交于第一象限，则实数a的取值范围是(答：1 a 2);(4)设a,b,c分别是 ABC中/A、/B、/C所对边的边长，则直线sin Agx ay c 0与bx sin Bgy sinC 0的位置关系是 (答：垂直)；(5)已知点R(x1,y1)是直线1:f(x,y) 0上一点，Pz)是直线1外一点，则方程f (x, y) f(x1, y1) f(x2,y2)= 0所表示的直线与1的关系是(答：平行)；(6)直线l过点(1, 0),且被两平行直线3x y 6 0和3x y 3 0所截得的线段长为9,则直线l的方程是 (答：4x 3y 4 0和x 1)7.对

11、称是平面几何的基本变换，有关对称的一些结论点(a , b )关于x轴、y轴、原点、直线y=x的对称点分别是(a, b), (a, b),(a, l b) , (b, a)如何求点A ( a , b)关于直线 Ax+By+C=0勺对称点A ?点A、A关于直线l对称AA ±lAA中点在l±kAA, ki 1AA ,中点坐标满足l方程点关于直线y x b的对称点是什么? 直线Ax+By+C=0ax轴、y轴、原点、直线y=x的对称的直线方程分别是什么，关于点 (a, b)对称的直线方程又是什么？你能用哪些方法来求一条直线关于另一条直线的对称直线？ 如何处理与光的入射与反射问题？8、

12、圆的方程：圆的标准方程：x a 2 y b 2 r2。圆的一般方程： x2 y2 Dx Ey F 0(D2+ E2-4F 0),特别提醒：只有当D2+E24F 0时，方程x2 y2 Dx Ey F 0才表示圆心为(D, E),半径为, P点对应的 值为，过P点的圆的切线方程是 (答：x2 y2= 4;2； x s/3y 4 0)； 3(4)如果直线l将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l的斜率的取值范围是 一(答：0, 2);(5)方程x2+/x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为(答：k工)； 后E2 4F的圆(二元二次方程 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey

13、F 0表 222示圆的充要条件是什么？(A C 0,且B 0且D2 E2 4AF 0);在圆的标准方程(x a)2 (y b)2 r2(r 0)中有三个参数a,b,r;在圆的一般方程x2 y2 Dx Ey F 0中，也有三个参数D, E, F。所以说三个互相独立的条件确定一个圆。在平面几何中也是熟悉的事实：不共线的三点唯一地确定一个圆。确定一个圆，包括确定圆的位置和大小两个方面。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。又称圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。圆的参数方程：x a rcos (为参数),其中圆心为(a,b),半径为r。 y b r sin在参数方程x a rcos中，当 为参数，

14、t为常量(t 0)时表示一个圆，有几何意义;y b r sin精品文档精品文档而当t为参数，为常量时，表示一条直线，t也有几何意义。圆的参数方程的主要应用是三角换元：x2 y2 r2 x r cos ,y r sin ; x* (6)若 M (x,y)| x 3cos (为参数，0) , N (x, y) | y x b,若 M N , y 3sin y2 tx r cos , y rsin (0 r 拈。ax1,yi,bX2N2为直径端点的圆方程xxxx2y % yy20过两圆交点的圆系方程设圆 C1：x2 y2 D1x E1y F10,圆C2：x2 y2 D2x E2y F2 0有公共点，

15、则经过圆 C1和圆C2的公共点的圆系方程为：& / Dx Ey F) & / Dx E2y F) 0 (其中 为参数， R, 1,方程不包括圆C2。)在有些问题中需检验圆C2是否也为所求；当 1时，该方程是一条直线的方程，此直线就是两圆的公共弦所在直线。3.过直线与圆的交点的圆系方程设直线l:Ax By C 0与圆x2 y2 Dx Ey F 0有公共点，则过其交点的圆系方程为22(x2 y2 Dx Ey F) (Ax By C) 0。如(1)圆C与圆(x 1)2 y2 1关于直线y x对称，则圆C的方程为(答：22、x (y 1)1);(2)圆心在直线2x y 3上，且与两坐标

16、轴均相切的圆的标准方程是 (答：(x 3)2 (y 3)2 9 或(x 1)2 (y 1)2 1);(3)已知P( 1,的 是圆y rsos (为参数，02 )上的点，则圆的普通方程为精品文档精品文档精品文档则b的取值范围是(答：3,3板)8、点与圆的位置关系：已知点M x0,y0及圆C: x-a 2 y b 2 r2 r 0 , (1)点M在圆C外 CM r Xo a 2 y° b 2/；(2)点乂在圆C内_222f,一 .，_CM|rx0ay0br2 ；(3)点 M 在圆 C 上|CM|rx0ayo b 2 r2。如点P(5a+1,12a加圆(x 1 )2+y2=1的内部，则a的

17、取值范围是9、直线与圆的位置关系：直线l:Ax By C0和圆C: xr 0有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：0 相交； 0 相离； 0 相切；(2)几 何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d,则d r 相交;d r 相离；d r 相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。如(1)圆2x2 2y2 1与直线xsin y 1 0( R, k , k z)的位置关系为(答:2相离)；(2)若直线ax by 3 0与圆x2 y2 4x 1 0切于点P( 1,2),则ab的值 (答：2

18、);(3)直线x 2y 0被曲线x2 y2 6x 2y 15 0所截得的弦长等于 (答：4我)；(4) 一束光线从点A(1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是 (答：4);(5)已知M(a,b)(ab 0)是圆O:x2 y2 r2内一点，现有以M为中点的弦所在直线 m和直线l :ax by r2 ,则A. m/l ,且l与圆相交 B. l m ,且l与圆相交C. ml ,且l与圆相离 D. l m,且l与圆相离(答：C); (6)已知圆C: x2 (y 1)2 5,直线L:mx y 1 m 0。求证：对m R ,直线L与圆C总有两个不同的交点；设L与圆C交

19、于A、B两点，若|AB «7,求L的倾斜角；求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时 的直线方程.(答：60o或120°最长：y 1,最短：x 1)10、圆与圆的位置关系(用两圆的圆心距与半径之间的关系判断)：已知两圆的圆心分别为。1,。2,半径分别为22,则(1)当|。1。2A 0时，两圆外离；(2)当|。1。2Ab时,精品文档两圆外切；(3)当ri r2<|OQ2 ri也时，两圆相交；(4)当IOQ2ri也|时，两圆内切；(5)当0 IO1O2r, 2 |时，两圆内含。22如双曲线二 当1的左焦点为Fi,顶点为Ai、A2, P是双曲线右支上任意一点，则分 a b别以线

20、段PFi、AiA2为直径的两圆位置关系为 (答：内切)特别提醒：圆系方程有哪些？(04年上海卷.文理8)圆心在直线2x y 7 0上的圆C与y轴交于两点A(0, 4),B(0, 2),则 圆C的方程为.Ci的方程为：x2+y2+Dx+Eiy+C=0.圆。的方程为:(Di-D2)x+(E i-E2)y+(C i-C2)=0P(x°, y°)圆的切线方程是：xx° yy0R2 ,过圆两圆相交弦所在直线方程的求法：圆 x的直角三角形来解：r2 d2 (:a)2；过两圆Ci : f (x, y) 0、C2: g(x, y) 0交点的圆(公共弦)+y2+D2x+Ey+G=0.把两式相减得相交弦所在直线方程为： 注意：两圆相切要区分内切还是外切.ii、圆的切线与弦长：(i)切线：过圆x2 y2 R2上一点(x a)2 (y b)2 R2 上一点 P(x°, y°)圆的切线方程是：(x a)(/ a) (y a)( y0 a) R2 , 一般 地，如何求圆的切线方程？(抓住圆心到直线的距离等于半径)；从圆外一点引圆的切线一定有两条，可