抛物线地简单几何性质典型例的题目

1、典型例题一例1过抛物线焦点的一条直线与它交于两点 P、Q,通过点P和抛物线顶点的直线交准线 于点M，如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴？解：思路一：求出M、Q的纵坐标并进行比较，如果相等，则 MQ/X轴，为此，将方程y2 2px, y k(x p联立，解出P(p(Q7 1)2 p(1 Jk2 1)、Q(p(Jk2 1 1)2P(-2，丿，Q(2k 2p(12k2k21)k2(1卫x.k直线OP的方程为y 2k(1人一 x,即y(Jk2 1 1)2令x夕，得 M点纵坐标vm匹1 vq得证由此可见，按这一思路去证，运算较为繁琐.思路二：利用命题“如果过抛物线y2 2px的焦点的一条直线和这条抛物

2、线相交， 两上交点的纵坐标为y1、y，那么yyp2 ”来证.设 Pg yj、Qg y2)、 M(X3, y3)，并从 y2 2px 及 y k(x 舟)中消去 x，得到ky2 2py kp20，则有结论p2，即Y22 py1又直线OP的方程为y I1x，px得py1y3X122x1因为P(X1,y1)在抛物线上，所以22x1 y1p2从而y3 字 (pyj弓 R y2 2x1y1*这一证法运算较小.2 思路三：直线MQ的方程为y y的充要条件是M(卫，y°),Q(匹，y。).22p将直线MO的方程y 空和直线QF的方程y 严 2 (x P)联立，它的解(x ,y)就pyo p 2是点

3、P的坐标，消去yo的充要条件是点P在抛物线上，得证这一证法巧用了充要条件来进行 逆向思维，运算量也较小.说明：本题中过抛物线焦点的直线与 x轴垂直时(即斜率不存在)，容易证明成立.典型例题二例2已知过抛物线y2 2px(p 0)的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R 是含抛物线顶点O的弧AB上一点，求RAB的最大面积.分析：求RAB的最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以AB为三角形的底， 只要确定高的最大值即可.解：设AB所在的直线方程为y x -p .将其代入抛物线方程y2 2px，消去x得y2 2py p2 0AB <2|yi y2 V2 v''

4、(yi y2)2 4y2 4p当过R的直线I平行于AB且与抛物线相切时，RAB的面积有最大值.设直线I方程为y x b .代入抛物线方程得y2 2py 2pb 0由4p2 8pb 0,得b ，这时R(E,p).它到AB的距离为h p2 2 21RAB的最大面积为-|AB h v'2p2.典型例题三例3直线li过点M( 1,0)，与抛物线y 4x交于R、P2两点，P是线段R P2的中点，直线12过P和抛物线的焦点F,设直线li的斜率为k (1) 将直线12的斜率与直线li的斜率之比表示为k的函数f (k)；(2) 求出f(k)的定义域及单调区间.分析：12过点P及F,利用两点的斜率公式，

5、可将12的斜率用k表示出来，从而写出f(k), 由函数f(k)的特点求得其定义域及单调区间.解：(1 )设li的方程为：y k(x 1)，将它代入方程y2 4x，得2 2 2 2k x (2k4)x k 0设卩1(人，力)、P(x, y)，则 xx?4 2k22 k2k2,x2 k2k2代入yk(x 1)得：y即P点坐标为¥由y2 4x，知焦点F(1,0)，二直线l2的斜率k2k2 k2k1 k2k211 k2 .函数 f(k)解得1 k 0或0 k 1k 0 且 (2k2 4)2 4k40函数f (k)的定义域为k 1 k 0或0 k 1当k ( 1,0)时，f(k)为增函数.典型

6、例题四并且与这抛物的一条弦CD,可根据垂直且点到C、D距例4如图所示：直线I过抛物线y2 2px的焦点, 线相交于A、B两点，求证：对于这抛物线的任何给定 直线I不是CD的垂直平分线.分析：本题所要证的命题结论是否定形式，一方面 平分列方程得矛盾结论；别一方面也可以根据 I上任- 离相等来得矛盾结论.证法一：假设直线I是抛物线的弦CD的垂直平方线，因为直线I与抛物线交于A、B两点, 所以直线I的斜率存在，且不为零；直线 CD的斜率存在，且不为0.1设 C、D 的坐标分别为(2pti2,2pti)与(2pt；,2pt2).则 kcDtl t2I 的方程为 y(ti t2)(x p)直线I平分弦C

7、DCD 的中点(p(ti2 t；), p(ti t2)在直线 I 上，即 p(tit2)(tit2)p(ti2t；)y，化简得：p(tit2)(ti2t；*)01由p(ti t2)0知ti2 tf丄0得到矛盾，所以直线I不可能是抛物线的弦CD的垂直平分线.2证法二：假设直线I是弦CD的垂直平分线焦点F在直线I上， CF DF由抛物线定义，C(xi, yi), D(x2, y2)到抛物线的准线x-p的距离相等.ixi X2, yiy2，CD的垂直平分线I: y 0与直线I和抛物线有两上交点矛盾，下略.典型例题五例5设过抛物线y 2 2x y 2 pt 2pty 0 2px(p 0)的顶点0的两弦

8、OA、OB互相垂直，求抛物线顶点 0在 AB上射影N的轨迹方程.分析：求与抛物线有关的轨迹方程，可先把N看成定点(x°,y°);待求得X。、yo的关系后再用动点坐标(x, y)来表示，也可结合几何知识，通过巧妙替换，简化运算.把N点看作定点，则AB所在的直线方程为:yo0(X x°),显然 x°y0y°y (x %)代入y2 2px,化简整理得:x°y2 22py°y 2p(x° y°)xox°0，yi y22p(xg y；)X2 2由、得：4p22p(x0 %)X0，化简得X：2y。2px&#

9、176;0(x°0)解法一：设“心力“化山)，N(x°,yo),2 2则：yi22pxi2,y22px2，xix2yi y24p2OAOB，kOAkOBi 即 xix2yiy202 2yi y20,2yiy24pyiy20，yiy24p2解法二：丿点 N在以OA、OB为直径的两圆的交点(非原点)的轨迹上，设 A(2pt2,2pt)，0)用 x、y 分别表示 X0、y0得：x2 y2 2px 0(x则以OA为直径的圆方程为:2 22242(X pt ) (y pt) p (t t )2 1设 B(2pt! ,2ptJ , OA 丄OB，则址 1 h -在求以OB为直径的圆方程

10、时以 1代ti，可得tt2 (x2 y2) 2px 2pty 0由 + 得：(1 t2)(x2 y2 2px) 02 2x y 2px 0(x0)典型例题六例6如图所示，直线11和12相交于点M , h丄12，点N 11，以A、B为端点的曲线段C上 的任一点到12的距离与到点N的距离相等，若 AMN为锐角三角形，AM| .： 7，AN 3，且 BN| 6，建立适当的坐标系，求曲线段 C的方程.分析：因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点，以12为准线的抛物线的一段，所以本题直角坐标线的一段,关键是建立适当坐标系，确定 C所满足的抛物线方程.解：以11为x轴，MN的中点为坐标原点0，建立系.由题意

11、，曲线段C是N为焦点，以12为准线的抛物 其中A、 B分别为曲线段的两端点.设曲线段C满足的抛物线方程为：y2 2px( p 0)(Xa x XB,y 0),其中Xa、Xb为A、B的横坐标令 MN p,则 M( #,0),N(#,0),二由两点间的距离公式，得方程组:解得PXa41 或 XA 22AM(Xa(Xav/AMN为锐角三角形，二Xa，则 P又B在曲线段C 上, XbBN17, AN自22pXa2pXaXa 117则曲线段C的方程为y28x(1 x 4,y0).典型例题七例7如图所示，设抛物线y2 2px(0 p 1)与圆(x 5)2 y2 9在x轴上方的交点为A、B, 与圆(x 6)

12、2 y2 27在x由上方的交点为C、D ,P为AB中点，Q为CD的中点.(1 )求PQ .(2) 求/ABQ面积的最大值.分析：由于P、Q均为弦AB、CD的中点，故可用韦达定理表示出 P、Q两点坐标，由两点距离公式即可求出PQ解：(1 )设 A(Xa, yA), B(XB,yB),C(Xc, yc), D(Xd, y。), P(xi, yJQg, y?)由(X2y2 25) y2px92得: x 2(5XiXaXb5 P2精彩文档y1 今子(* .xb)- XA XB 2、xaXB2P 詔(5-.9p P2P) 8由(x 6)2 y y2 2px27 得 X22(6 P)X 9X2XcXd2y

13、cyDy2h同yi类似,y29 P P2则XiX21, yiPQ 1S ABQ S APQS BPQ-PQ yAyB. P(1 P)P 1，二当 P1Sabq取最大值2 -典型例题八已知直线I过原点，抛物线C的顶点在原点,焦点在X轴的正半轴上，且点A( 1 , 0)和点B(0,8)关于直线I的对称点都在C上，求直线I和抛物线C的方程.分析：设出直线I和抛物线C的方程，由点A、B关于直线I对称，求出对称点的坐标，分别代入抛物线方程或设 BOX，利用对称的几何性质和三角函数知识求解.解法一：设抛物线C的方程为y2 ， 解得k 1, 2pX (p 0)，直线I的方程为y kx (k 0)，则有点A(

14、 1,0)，点B(0,8)关于直线I的对称点为 Al%,%)、B'(X2 , y2)，y1Xik2则有%x11X11k2 1 厂,2ky1 门 ；k 1心k2kX2X222解得1,X2y216k8( k2 1)k2如图，A、b'在抛物线上iB501*4k264(k2 1)o k2 12P 72，k 12216k(k2 1)22P 严两式相除，消去p，整理，得k2 k4c由 p 0，k 0,得 k 丁 .把 k代入，得p亘25二直线的方程为y，抛物线C的方程为y24. 5x .5解法二：设点A、B关于I的对称点为A'(Xi , yj、B'(X2, y2)，又设BO

15、x ，依题意，有OA' OAOB'OB 8.故 X2 8cos , y 8sin由 BOA90，知 BOA'90 .cos(90 ) sin ， y1sin( 90cosX20，故为第一象限的角. A (sincos )、 B (8 cos , 8sin ).将A、B的坐标代入抛物线方程，得2 cos64 si n22 psin ,16 p cos .331.'.8sincos ，即 tan 从而 sin2.55cos2.55， p詈，得抛物线C的方程为y245x .5又直线l平分 BOB，得l的倾斜角为90245 .k tan(? 45 )sin( 90)1

16、cos( 90)cos1 sin直线I的方程为y说明:(1)本题属于点关于直线的对称问题.解法一是解对称点问题的基本方法，它的思路明确,但运算量大，若不仔细、沉着，难于解得正确结果.解法二是利用对称图形的性质来解，它的 技巧性较强，一时难于想到.(2)本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程.在已知曲线的类型求曲线方程时，这 种方法是最常规方法，需要重点掌握.典型例题九例9 如图，正方形ABCD的边AB在直线丨：y x 4上，C、D两点在抛物线 寸x上,求正方形ABCD的面积.分析：本题考查抛物线的概念及其位置关系，方程和方程组的解法和数形结合的思想方法, 以及分析问题、解决问题的能力.解：

17、直线 AB : y x 4 , AB/CD，二设 CD 的方程为 y x b，且 C(x1 , y1) > D(x2 , y2).2由方程组y X ，消去x，得y2 y b 0，于是y x byi y2 1，yy b，二 cd 屮右|% y?(其中 k 1)CD <2 J(yi y?)2 4y2 J2(1 4b).由已知，ABCD为正方形，|CD AD，CD可视为平行直线AB与CD间的距离，则有4 b| 4 bCD，于是得(2(1 4b).两边平方后，整理得，b2 8b 12 0，Ab 6或b 2 .2当b 6时，正方形ABCD的面积S CD 2(1 24) 50 .当b 2时，正

18、方形ABCD的面积S CD| 2(1 8) 18 .正方形ABCD的面积为18或50 .说明：运用方程(组)的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最基本的、贯穿始终的方法，本题应充分考虑正方形这一条件.典型例题十例10 设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为d 104 km时，经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为30，求这彗星与地球的最短距离.分析：利用抛物线有关性质求解.解：如图，设彗星轨道方程为y2 2px， p 0，焦点为 F（#，0）， 彗星位于点P（x°,y。）处.直线PF的方程为y 3（x -）.322小y 2px,解方程组、3y T（x泪7p得X(74 3)p2故Xo今.PF2、3V|Xo2、3 (7丁14、3) p p2 2I (4 2、3)p .故(4 2、3)p d，得 p -d .2由于顶点为抛物线上到焦点距离最近的点,所以顶点是抛物线上到焦点距离最近的点. 焦点到抛物线顶点的距离为子宁d，所以彗星与地球的最短距离为亍d 104 km或- -d 104 k