数理统计课件2013.7.28(完整)

1、 在数理统计中在数理统计中，把研究对象的全体称为，把研究对象的全体称为总体或总体或母体母体，而组成总体的每个元素称为，而组成总体的每个元素称为个体个体。 在应用上在应用上，总体总体指研究对象的某个指研究对象的某个(或几个或几个)数量数量指标指标 X的所有可能取值的全体，指标的所有可能取值的全体，指标X的每一个取值的每一个取值称为称为个体个体。 例如：研究一批灯泡的使用寿命时，该批灯泡的例如：研究一批灯泡的使用寿命时，该批灯泡的全体称为总体，每一个灯泡为一个个体。全体称为总体，每一个灯泡为一个个体。样本样本12,nXXX 若随机变量若随机变量 相互独立，且每相互独立，且每个个 与总体与总体X有相

2、同的分布，有相同的分布，则称则称 为总体为总体X的一个的一个样本样本，n称称为为样本容量样本容量， 所有可能不同取所有可能不同取值的集合称为值的集合称为样本空间样本空间。 (1,2,)iXin12,nXXX12(,)nXXX12(,)nxxx12(,)nXXX一次具体的抽样中所得到的数值一次具体的抽样中所得到的数值 称为样本称为样本 的一个观察值，简称的一个观察值，简称样本观察值样本观察值（样本点样本点）（两重性）（两重性）121(,)()nniiF xxxF x121(,)()nniif xxxf x已知总体X的分布函数为F(x),密度函数为f(x)。12,nXXX则样本的联合分布函数和联合

3、分布密度分别为： 设（设（ ）为总体）为总体X的一个样本，的一个样本， 为为不含任何未知参数不含任何未知参数的的函数函数，则，则称称 为样本（为样本（ ）的一个统）的一个统计量。计量。12,nXXX12(,)ng XXX12(,)ng XXX12,nXXX则则 例如例如： 设设 是从正态总体是从正态总体 中抽取中抽取的一个样本，其中的一个样本，其中 为已知参数为已知参数, 为未知参数，为未知参数，123(,)XXX2( ,)N 1233XXX21233XX X123X X X2123XXX是统计量是统计量 不是统计量不是统计量 设设 是总体是总体 的一个样本，的一个样本，12(,)nXXXX1

4、1niiXXn22111niiSXXnniiXXnS121111nkkiiAXn11nkkiiBXXn 数理统计中常用的分布除正态分布外，还有数理统计中常用的分布除正态分布外，还有三个非常有用的连续型分布，即三个非常有用的连续型分布，即 2分布分布t 分布分布F分布分布 数理统计的三大分布数理统计的三大分布( (都是连续型都是连续型) ). .它们都与正态分布有密切的联系它们都与正态分布有密切的联系. .统计量的分布称为统计量的分布称为抽样分布抽样分布。 由于正态总体是最常见的总体，因此这里由于正态总体是最常见的总体，因此这里主要讨论主要讨论正态总体下的抽样分布正态总体下的抽样分布. .0,1

5、XNX2 定义定义 设总体设总体 ， 是是 的一个样本的一个样本, , 则称统计量则称统计量 服从自服从自由度为由度为n n的的 分布，记作分布，记作12,.,nXXX222212nXXX22( )n自由度是指独立随机变量的个数自由度是指独立随机变量的个数 设设22221122( ),(),nn 且且2212, 相互独立相互独立，则则2221212()nn 设设(X1，X2，Xn)为取自正态总体为取自正态总体XN( ， 2)的样本，则的样本，则2212()( )niiXn 定义定义5.4 设随机变量设随机变量XN(0，1)，Y 2(n) ，且且X与与Y相互独立，则称随机变量相互独立，则称随机变

6、量 /XTY n 服从自由度为服从自由度为n的的t分布分布或或学生氏学生氏分布，分布， 记作记作T t(n).其图形其图形关于关于y轴对称轴对称，形状类似标准正态分布形状类似标准正态分布的的概率密度的图形概率密度的图形.当当n较大时，较大时， t分布近似于标准正态分布分布近似于标准正态分布.服从第一自由度为服从第一自由度为n1，第二自由度为第二自由度为n2的的F分布，分布，定义定义5.5 设随机变量设随机变量 X1 2(n1)、 X2 2(n2)，且且X1 与与X2相互独立，则称随机变量相互独立，则称随机变量 1122XnFXn 记作记作FF(n1，n2).概率密度函数概率密度函数1X性质性质

7、：若：若XF(n1，n2)，则则F(n2，n1).110,1niiXXnZNnn2,XN 设总体设总体 ， 是是 的一的一个样本个样本, , 则则X12,.,nXXX1. 2.2. 设设(X1，X2，Xn)为来自正态总体为来自正态总体 XN( ， 2)的样本，则的样本，则(1) 样本均值样本均值 与样本方差与样本方差S 2相互独立；相互独立； X222122()(1)(1)niiXXnSn (2)3.3. 设设(X1，X2，Xn)为来自正态总体为来自正态总体 XN( ， 2)的样本，则统计量的样本，则统计量 (1)XTt nSn 4.4. 设设(X1，X2，Xn1)和和(Y1，Y2，Yn2)

8、分别分别是来自正态总体是来自正态总体N( 1 ， 2)和和N( 2 ， 2)的样本，且它的样本，且它们相互独立，则统计量们相互独立，则统计量121212() (2)11wXYTt nnSnn 其中其中22112212(1)(1),2wnSnSSnn 、21S22S分别为两总体的样本方差分别为两总体的样本方差. 为正态总体为正态总体 的样本容的样本容量和样本方差；量和样本方差；222,nS222(,)N 121,nS211(,)N 5. 设设 为正态总体为正态总体的样本容的样本容量和样本方差；量和样本方差；且两个样本相互独立，则统计量且两个样本相互独立，则统计量2211122222(1,1)SF

9、 nnS 使使PXx = ，定义定义对总体对总体X和给定的和给定的 (0 x = ( )xf x dx 2 2 oyx2x 12x 2212P XxP Xx则称则称 、 为为X分布的分布的双侧双侧 分位点。分位点。12x 2x 若存在数若存在数 、 ，使，使2x 12x 当当X的分布的分布关于关于y y轴对称轴对称时，时，则称则称 为为X分布的分布的双侧双侧 分位点分位点.2x 如图如图.2,x 若存在若存在 使使yxO2x 2x 2 2 2|Pxx例如，例如， =0.05，而而即：PZ1.645 =0.05(0,1)P ZzzN若，则称 为分布的上侧 分位点。 (x)xO z11()P Zz

10、P Zzz ()1z ()10.95z反查表反查表z反查表得反查表得1.645z即：P|z|1.96=0.05例如，求z0.05/2， (x)O /2 /2x2| |(0,1)P zzzN若，则称 为分布的双侧 分位点。2()12z 2z2z反查表反查表2z2()10.9752z 反查表得21 .9 6z满足满足 的数的数 为为 2分布的分布的 上上 分位点分位点， 2( )n 其几何意义见右图所示其几何意义见右图所示.其中其中f(x)是是 2-分布的概率密度分布的概率密度.f(x)xO 2( )n 显然，在自由度显然，在自由度n取定以后，取定以后， 的值只与的值只与 有关有关. 2( )n

11、222( )( )( )(01)nPnf x dx例如，当例如，当n=21， =0.05时，可查表得时，可查表得20.05(21) 32.67即即2(21)32.67 0.05P 当当 时，直接查时，直接查 2分布表分布表45n 当当 时，利用公式时，利用公式45n 221( )(21)2nzn(0,1)zN其 中为分 布 的 上分 位 点 把满足把满足 2222122( )( )2PnPn 的数的数22122( ),( )nn 称为称为 2分布的分布的双侧双侧 分位点分位点f(x)xO22( )n 212( )n 2 2 显然，显然，22( )n 为为 2分布的上分布的上 分位点分位点.2

12、212( )n 为为 2分布的上分布的上 分位点分位点.12 如当如当n=8, =0.05时，时，220.97512( )(8)n 220.0252( )(8)n 2.1817.53对于给定的对于给定的 (0 1)，称满足条件，称满足条件 ( )( )( )t nP Tt nf x dx 的数的数t (n)为为t分布的分布的上上 分位点分位点，其几何意义见右图。其几何意义见右图。 f(x)xOt (n) 当当 时，直接查时，直接查t分布表分布表45n 当当 时，时，45n ( )tnz由于由于t分布的对称性，称满足条件分布的对称性，称满足条件 2( )P Ttn 的数的数t /2(n)为为t分

13、布的分布的双侧双侧 分位点分位点，其几何意义如右图所示其几何意义如右图所示.f(x)xOt /2(n) /2 /2- - t /2(n)其求法与上其求法与上 分位点的分位点的求法类似。求法类似。对于给定的对于给定的 (0 =0.1,求求 .解解因为因为n=10，n- -1=9， 2=42，所以所以2294S 2(9).又又PS2 =2229944SP =0.1，所以所以220.19(9)4 查表查表14.684.故故 14.684x16926.105 设总体设总体X的分布依赖于参数的分布依赖于参数 1, 2, , k，而而X1，X2，Xn是总体是总体X的一个样本，的一个样本，12,nx xx为

14、样本观察值为样本观察值已知：已知：方法：方法：以统计量的观察值以统计量的观察值12(,)ingxxx作为作为i的估计值的估计值常用的方法：矩估计法、最常用的方法：矩估计法、最( (极极) )大似然法大似然法 i12(,)ingXXX构造统计量构造统计量作为作为的估计量的估计量),2, 1(kii 基本思想基本思想：用样本矩作为总体矩的估计量：用样本矩作为总体矩的估计量总体总体m阶原点矩：阶原点矩：()mE X样本样本m阶原点矩：阶原点矩：11nmmiiAXn设总体设总体X的分布中含有的分布中含有k个待估参数个待估参数 1, 2, , k12(,)nXXX为总体 的样本X令令11()nmmmii

15、AXE Xn(m=1,2, ,k)11()nmmmiiAXE Xn(m=1,2, ,k)如果如果 是是 的矩估计量，而的矩估计量，而 是是 的连续的连续函数，则函数，则 是是 的矩估计量。的矩估计量。( )g( )g( )g假定有唯一的一组解假定有唯一的一组解12,k 则将则将作为作为矩估计量矩估计量矩估计量的观察值为未知参数的矩估计量的观察值为未知参数的矩估计值矩估计值k,21k,21例例112(,)nXXX为总体为总体 的样本的样本，X设设已知已知 的概率分布为的概率分布为X101( , )10 xxf x （）其他试用矩估计法估计总体参试用矩估计法估计总体参数数解：解：令令()E XX1

16、X即：即：解得解得1XX10()( , )1E Xxf xdxx dx因为因为1XX故故为参数为参数的矩估计量。的矩估计量。求解方法（以母体为连续性随机变量为例）：求解方法（以母体为连续性随机变量为例）：121ln ( , )ln( , )nniiL x xxf x（2）取自然对数）取自然对数 其解其解 即为参数即为参数 的极大似然估计值。的极大似然估计值。 （3）令）令 ln ( )0dLd121( )( , )( , )nniiLL x xxf x（1）构造似然函数）构造似然函数 若总体的密度函数中有多个参数若总体的密度函数中有多个参数 1， 2， n，则将则将第（第（3）步改为）步改为l

17、n ( )0,(1,2, )iLin解方程组即可。解方程组即可。 最最( (极极) )大似然估计法大似然估计法 解解似然函数为似然函数为11( )niiinxxniLee故故1ln( )ln(ln)niiLnxnx1()0nx得得故最大似然估计值故最大似然估计值1x例例1 设总体设总体即即X的概率密度为的概率密度为0( ,)00 xexfxx0求求 的最大似然估计值。的最大似然估计值。)(EX令令0d)(lndL练习：练习：12(,)nXXX为总体为总体 的样本的样本，X设设已知已知 的概率分布为的概率分布为X101( , )10 xxf x （）其他试用最大似然法估计总体参数试用最大似然法估

18、计总体参数解：解：似然函数为似然函数为11( )nniiLx故故1ln ( )ln(1)lnniiLnx1ln0niinx得得故最大似然估计值故最大似然估计值1lnniinx 令令0d)(lndL练习：练习：设设(X1，X2，Xn)为为总体总体X的的样本样本已知已知X的分布律为：的分布律为：(1)kkm kmP XkC ppk=0,1,m 0 p1求参数求参数p的最大似然估计量。的最大似然估计量。解：解：似然函数为似然函数为11()1()()(1)nniiiiinxmxxmiLpCpp故故111ln ( )lnlnln(1)()innnxmiiiiiL pCpxpmx10niixmnp得得mX

19、p 故最大似然估计量令令0d)(lndppL无偏性、有效性、一致性无偏性、有效性、一致性无偏估计量无偏估计量：设设 是未知参数是未知参数 的估计量，如果的估计量，如果 则称则称 是是 的的无偏估计量。无偏估计量。( ),E 例例1： 设样本设样本 是取自数学期望为是取自数学期望为12,(,)nXXX的总体的总体 的样本，则的样本，则 是是 的无偏的无偏X11niiXXn估计量。估计量。X 例例2： 设样本设样本 是取自总体是取自总体 的样本的样本12,(,)nXXX的均值的均值 未知未知，则统计量则统计量 是是 的无偏的无偏1niiia XX估计量，其中估计量，其中 为常数，且为常数，且 。1

20、2,na aa11niiakA例例3：设总体的设总体的k阶矩存在，则样本的阶矩存在，则样本的k阶矩阶矩 是总体是总体k阶矩的无偏估计量。阶矩的无偏估计量。212,(,)nXXX2211()1niiSXXn例例4：设设 是来自总体的一个样本，是来自总体的一个样本，是是 的无偏估计量，而样本二阶中心矩的无偏估计量，而样本二阶中心矩22(),(),E XD X 且且 未知，未知， 则样本方差则样本方差不是不是 的无偏估计量的无偏估计量22211niiBXXn设设 、 为未知参数为未知参数 的两个无偏估计量，若的两个无偏估计量，若12则称则称 比比 有效。有效。 12)()(21DD12(,)0lim

21、 | 1nnX XXP设为参数 的估计量。若对任意， 有 则称 为 的一致估计量。例：例：12,nX XX设设 取自总体取自总体 。试证明样本均值。试证明样本均值X11niiXXn是是E(X)的一致估计量的一致估计量(其中其中D(X)已知已知)。 置信下限置信下限 置信上限置信上限12 设总体的分布中含有一个未知参数设总体的分布中含有一个未知参数 ，对给定的，对给定的 ， (0 1) 如果由样本如果由样本 确定两个确定两个 统计量统计量 , 使得使得 ，则称随机区间，则称随机区间 为为 参数参数 的置信度（或置信水平）为的置信度（或置信水平）为1- 的置信区间。的置信区间。12(,)nXXX1

22、21P),(211nXXX),(212nXXX),(21 (2)给定置信度给定置信度 ，由，由U分布的双分布的双 侧侧 分位点分位点 ，使得，使得1(01)12, 121PU (3)利用利用 ，求出，求出 的置信区间。的置信区间。12U(1)构造含待估参数构造含待估参数 的样本函数的样本函数 12(,; )nU X XX的分布已知。U若母体 X 的分布未知, 但子样容量很大, ),(2nNX若若 2 2已知已知, 则 的置信度为1 - 的置信区间可取为nuX2若若 2 2未知未知, 则 的置信度为1 - 的置信区间可取为nStX2非正态母体均值的区间估计非正态母体均值的区间估计( (大子样大子

23、样) )由中心极限定理, 可近似地视总体服从正态分布的均值或方差的区间估计总体服从正态分布的均值或方差的区间估计 （1）方差已知，对均值的区间估计）方差已知，对均值的区间估计 假设置信水平为假设置信水平为1- 选取样本函数选取样本函数Z，反查标准正态分布表，反查标准正态分布表，确定确定Z的的双侧分位点双侧分位点 22,XzXznn2z得得E(X)的的区间估计区间估计为为 总体服从正态分布的均值或方差的区间估计总体服从正态分布的均值或方差的区间估计 （2）方差未知，对均值的区间估计）方差未知，对均值的区间估计 假设置信水平为假设置信水平为1- 构造样本函数构造样本函数T，查，查t-分布表，分布表

24、，确定确定T的的双侧分位点双侧分位点 22(1),(1)SSXtnXtnnn得得E(X)的区间估计为的区间估计为 2(1)tn总体服从正态分布的均值或方差的区间估计总体服从正态分布的均值或方差的区间估计 （3）均值已知，对方差的区间估计）均值已知，对方差的区间估计 假设置信水平为假设置信水平为1- 构造样本函数构造样本函数 2 ，查，查 2-分布表，分布表，确定确定 2的的双侧分位点双侧分位点 得得 2的区间估计为的区间估计为 12222( ),( )nn212221122,( )( )nniiiiXXnn总体服从正态分布的均值或方差的区间估计总体服从正态分布的均值或方差的区间估计 （4）均值

25、未知，对方差的区间估计）均值未知，对方差的区间估计 假设置信水平为假设置信水平为1- 选取样本函数选取样本函数 2 ，查，查 2-分布表，分布表，确定确定 2的的双侧分位点双侧分位点 得得 2的区间估计为的区间估计为 12222(1),(1)nn2122222(1)(1),(1)(1)nSnSnn 1.两正态总体方差已知，即两正态总体方差已知，即.,2221已知. 22212122221212），（nnzYXnnzYX2.两正态总体方差未知，但两正态总体方差未知，但.22221. 11)2(11)2(2121221212），（nnSnntYXnnSnntYXWW ),1, 1(/2122222

26、121nnFSS. )1, 1(/)1, 1(/212122212122221），（nnFSSnnFSS选择样本函数选择样本函数假设检验 假设检验是指施加于一个或多个母体的假设检验是指施加于一个或多个母体的概率分布或参数的假设概率分布或参数的假设. . 所作假设可以所作假设可以是正确的是正确的, ,也可以是错误的也可以是错误的. . 为判断所作的假设是否正确为判断所作的假设是否正确, , 从母体中从母体中抽取子样抽取子样, ,根据子样的取值根据子样的取值, ,按一定原则按一定原则进行检验进行检验, , 然后作出接受或拒绝所作假然后作出接受或拒绝所作假设的决定设的决定. .假设检验的理论依据假设

27、检验的理论依据 假设检验所以可行假设检验所以可行, ,其理论背景为实际其理论背景为实际 推断原理推断原理, ,即即“小概率原理小概率原理”。假设检验的两类错误 第一类错误：弃真错误 第二类错误：存伪错误00IIPPHH犯第 类错误的概率第 类错误拒绝|=是真的00IIIIPHHP犯第类错误的概率第类错误接受|=是假的假设检验的步骤 根据实际问题所关心的内容根据实际问题所关心的内容, ,建立建立H H0 0与与H H1 1。 在在H H0 0为真时为真时, ,选择合适的统计量选择合适的统计量V V, ,由由H H1 1确定拒绝确定拒绝域形式域形式。 给定显著性水平给定显著性水平 , ,其对应的拒

28、绝域其对应的拒绝域 根据子样值计算根据子样值计算, ,并作出相应的判断并作出相应的判断。3.2 正态总体均值的假设检验单个正态总体均值的假设检验给定显著性水平与子样值(x1,x2,xn )，设 X N( 2)，2 已知，需检验： H0: 0 ； H1: 0 0 0 0 0 0uUuU u u 检验法检验法 ( 0 02 2 已知已知) )原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其H0为真时的分布拒绝域2/uU 000,1/XUNn 0 0 0 02/tT 0tT tT0/XTSnt t检验法检验法 ( 2 2 未知未知) )原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其H0为真时的分布拒绝域(1)t

29、n例例1 1 在正常情况下每台织布机一小时内经纱平均断头数为0.975根. 20台织布机经工艺改革后每台一小时内经纱平均断头数为0.915根,标准差为0.16根.检验工艺改革后经纱平均断头数与改革前有无显著差异？假设断头数 X N ( , 2), 显著性水平取 0.05. 解解 选用统计量:拒绝域 W : 故接受原假设, 即改革后经纱平均断头数与改革前无显著差异.现)19(20/tSXT093. 2)19(025. 0tTWT6771. 120/16. 0975. 0915. 0假设 H0 : = 0.975; H1: = 0.975.(一) 方差未知但相等方差未知但相等两个正态母体两个正态母

30、体(X1, X2 , Xn)与(Y1, Y2 , Ym) 独立, 在两母体上作假设012112:;:.HH当H0成立时,由抽样分布的重要结论有 (2)t nm2212(1)(1)112X YnSmSnmn m设母体 X N(1 2), Y N(2 2 ) 1 = 2 (2)t nm2Tt 两两均值均值的的t t检验检验Tt1 2 1 2 1 2 1 2 11XYTSnmT t原假设 H0备择假设 H1统计量在H0为真时的分布拒绝域2212(1)(1)2nSmSSn m 3.3 3.3 方差的假设检验方差的假设检验作假设H0: 2=02.常用于方差检验的统计量为如下两个： 设母体X N( 2),

31、一个正态母体一个正态母体)()(220122nXnii) 1() 1(22022nSn 2 02 2 02)(22n 2 02) 1(22n 2 22 12 22 12 22 12 22 12 22F F 检验法检验法1, 2 均已知原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域122121( ,)niiniiXXFF n mYY21( ,)FFn ma-2( , )FF nma或1( , )F F nma-(,)FFnma例例 假设机器 A 和 B 都生产钢管, 要检验 A 和 B 生产的钢管内径的稳定程度. 设它们生产的钢管内径分别为 X 和 Y , 且都服从正态分布 X

32、 N (1, 12) , Y N (2, 22) 现从机器 A和 B生产的钢管中各抽出18 根和13 根, 测得,29. 021s.34. 022s 设两子样相互独立. 问是否能认为两台机器生产的钢管内径的稳定程度相同? ( 取 = 0.1 )解：解：作假设 H0: 12=22 ；H1: 1222 查表得 F0.05( 17, 12 ) = 2.59,F0.95(17, 12)= 取统计量42. 038. 21)17,12(105. 0F)12,17(/2221FSSF拒绝域W :或现算得:故接受原假设, 即认为两机器生产的钢管内径的稳定程度相同.WssF85. 034. 029. 02221

33、59. 2F42. 0F接受域置信区间1假设检验区间估计统计量 枢轴量对偶关系同一函数假设检验与区间估计的联系假设检验与区间估计的联系3.5 分布假设检验前几节介绍的检验法都是在母体分布为已知的前提下进行讨论的. 而实际问题中有时并不能预知母体服从什么分布, 这时就需要检验母体分布的各种假设.分布假设检验对母体分布作某假设用母体的一个子样来检验该假设是否成立分布假设检验亦称拟合优度检验检验观察到的一批数据是否与某种理论分布符合.称000( )( ):( )( )F xXF xHF xF xxR 记为总体 的未知的分布函数，设是形式已知但可能含有若干个未知参数的分布函数，需检验假设 0000,1

34、,2,.( )iiXHHXP Xtp iXHHXf x：若总体 为离散型，则相当于:总体 的分布律为。若总体 为连续型，则相当于:总体 的概率密度为注。拟合优度检验问题2earson(一)P检验基本原理和步骤：011.,.kHXkAA在下，总体 取值的全体分成 个两两不相交的子集12.(1,., ),.inin ikxxA以记样本观察值中落在 的数（实际频数个）00003.(),1,.;.,iiFiiiiiHF xApPAikF xrrppnpnp当为真且 ( )完全已知时，计算事件 发生的概率当 ( )含有 个未知参数时，先利用极大似然法估计 个未知参数，然后求得 的估计 .此时称或)为理论

35、频数(22211222110224.()()().kkiiiiiiikkiiiiiiinnpnnnpnpnnpnnnpnpHc统计量或反映了实际频数与理论频数的综合偏差，当成立时，的取值偏小，因此检验的拒绝域形式为：001)nHkrkrF x 22 若 充分大，则当为真时，统计量近似服从(分布定理，其中 为分类数，为 ( 中含有的未知：参数个数.22212221(1),(1),kiiikiiinnknpnnkrrnp 即在显著性水平 下拒绝域为（没有参数需要估计）（有 个参数需要估计）2()iinnpnp：拟合检验使用时必须注意 要足够大，或不能太小。根据实践，要求，否则应适当合并相邻的类，

36、以足要求。注满iinpnpn50n505 5（）或方差分析和回归分析方差分析和回归分析 单因素方差分析 一元线性回归 方差分析方差分析(Analysis of variance, 简简称称:ANOVA),是由英国统计学家费歇尔是由英国统计学家费歇尔(Fisher)在在20世纪世纪20年代提出的年代提出的,可用于推可用于推断两个或两个以上总体均值是否有差异断两个或两个以上总体均值是否有差异的显著性检验的显著性检验.1单因素方差分析例：为了比较三种不同类型日光灯管的寿命(小时), 现将从每种类型日光灯管中抽取 8个, 总共 24 个日光灯管进行老化试验,根据下面经老化试验后测算得出的各个日光灯管的

37、寿命(小时)，试判断三种不同类型日光灯管的寿命是不是有存在差异.日光灯管的寿命(小时)类型寿命(小时)类型I5290 6210 5740 5000 5930 6120 6080 5310类型II5840 5500 5980 6250 6470 5990 5470 5840类型.III7130 6660 6340 6470 7580 6560 7290 6730引起日光灯管寿命不同的原因有二个方面引起日光灯管寿命不同的原因有二个方面: 其一其一, 由于日光灯类型不同由于日光灯类型不同,而引起寿命不同而引起寿命不同. 其二其二,同一种类型日光灯管同一种类型日光灯管,由于其它随机因由于其它随机因素的

38、影响素的影响, 也使其寿命不同也使其寿命不同. 在方差分析中在方差分析中, 通常把研究对象的特征值通常把研究对象的特征值, 即所考察的试验结果即所考察的试验结果( 例如日光灯管的寿命例如日光灯管的寿命)称为称为 试验指标试验指标. 对试验指标产生影响的原因称为对试验指标产生影响的原因称为 因素因素, “日日光灯管类型光灯管类型” 即为即为因素因素. 因素中各个不同状态称为因素中各个不同状态称为 水平水平, 如日光灯管如日光灯管三个不同的类型三个不同的类型, 即为三个即为三个水平水平. 单因素方差分析单因素方差分析 仅考虑有一个因素仅考虑有一个因素A对试对试验指标的影响验指标的影响. 假如因素假

39、如因素 A有有r 个水平个水平, 分别分别在第在第 i 水平下进行了水平下进行了 多次独立观测多次独立观测, 所得到所得到的试验指标的数据的试验指标的数据 122221122111212122212:,:,:,rrrrrnnrnANANANXXXXXXXXX每个总体相互独立. 因此, 可写成如下的 数学模型:2(0,),1, 2,1, 2,ijiijijijiXNirjn各独 立，012112:.:,.,rrHH 不全相等。检验假设组内平均11,iniijjiXXn将每个子样看成一个组1,2, .irEQ总平均111inrijijXXn1.riinn11,riiinXn总离差平方和TQ 21(

40、)riiin XXAQ记成记成211()inrijiijXX组内离差组内离差平平 方方 和和组间离差组间离差平平 方方 和和推导211()inrTijijQXX211() ()inrijiiijXXXX112()()inrijiiijXX X X211()inrijiijXX12 ()riiX X211()inrijiijXX211()inriijX X21()riiin X X1()inijijXX0EQAQ记成记成反映各组内ijX由 引起的抽样误差2反映组间各母体均值不同引起的误差加上抽样误差,ijiijX通过比较,ii0.HTEAQQQ离差分解式和EQAQ的数值来检验假设先计算先计算EE

41、QAEQ和和令1,2,ijn1,2, .ir其中令11,riiinn1.riinn记则,ii 1,2, .ir2(0,).ijN. .iid10.riiin于是进而令于是，,ijiijX 1,2,ijn1,2, .ir11,iniijjin111.inrijijn和EQAQ可表示成21()rAiiiiQn 211()inrEiijiiijQ 211()inrijiij21()riiiin21riiin21()riiinriiiin1)(2rinjiijEiEEQ112)(riiijnjiE121)(riiijnjiD11)(rinjiiinn1211riin12) 1(.)(2rnriiiAnEQ12riiiEn12)(riiiiriiDnn121)(riiiiriinnnn122111.) 1(221rnirii显然故,2rnQEE22111iiAnrrQE.22EAESES rnQSEE2记称 组内均方离差12rQSAA称 组间均方离差),(2NXj i. .ii