数值分析整理版试题及复习资料

1、例1、 已知函数表X-112f(x)-304求f (x)的Lagrang次插值多项式和Newtor二次插值多项式。解：(1)由题可知Xk-112yk-304插值基函数分别为lo(x)X0XiX0X21112XXXX2X1X2XiXX1X21112XX0XXiX1X11X2X0X2X12121312xxixX2xxx61l1(x)x2l2(x)1x故所求二次拉格朗日插值多项式为L2(X)(2) 阶均差、二阶均差分别为32-x2f X0 f Xi f X°,X!X0 X1f x1f x2X1 X2f X0，x!，X2f x°,x1X1，X2321 2均差表为1 / 25Xkf

2、(Xk)一阶二阶-1-3103/22445/6故所求Newton次插值多项式为例2、设 f(X) X2 3x 2 , x 0,1，试求 f(X)在0, 1上关于(x) 1 ,spa n 1,xP2 x f X0fX0,Xi Xc 3,53 -X1X265 237XX623X0f Xo,Xi,X2 x X0 x Xi1 X 1的最佳平方逼近多项式。解:1（x） x，且（x）1，这样，有110, 01dx 1,1,1x2dx00110, 11, 0xdxf , 002129,1x x 3x2dx04span 1,x，贝U o(x)1，1312 X03x 2 dx236所以，法方程为，经过消元得 再

3、回代解该方程，得到 印4， 故，所求最佳平方逼近多项式为1,x的最佳例3、 设 f（x） ex， x 0,1，试求 f （x）在0, 1上关于（x） 1， span 平方逼近多项式。解：若 span 1,x，则 0（x） 1，1（x） x，这样，有1,1dxx2dx0131xdx01.7183exdx01xexdx0所以,法方程为 解法方程，得到a。0.8732 ,印1.6902 ,故，所求最佳平方逼近多项式为S；(x)0.8732 1.6902X例4、 用n 4的复合梯形和复合辛普森公式计算积分：7xdx解：(1)用n 4的复合梯形公式由于h 2， f x<x，x<1 2kk 1

4、,2,3，所以，有:匸dX T4h3-f 12 fXkf 9 2k 1-.1 2357.9217.2277(2)用n 4的复合辛普森公式由于h 2， f xx，x<12k k1,2,3 ，x 1k 22 2k k 0,1,2,3，所以，有1 xdx S4hf 1334f x 12 fXkf96k 0k -2k 1114324682- 357317.3321例5、用列主元消去法求解下列线性方程组的解。解:先消元123315Ab1831151 1 161831151r2123 3151 1 16m21彳,第1行（m21）第2行第2行m31话，第1行（叫）第3行第3行183115017 350

5、7 6 17 18 31 6r2r318311507 6 17 18 31 6017 35m32号,第2行（m32）第3行第3行18311507 6 17 18 31 60022 766 7再回代，得到X3 3，X2 2，X1 1所以，线性方程组的解为X! 1，X2 2，X3例6、用直接三角分解法求下列线性方程组的解。解:设111456100U11U12U13A 111A -I21100u22u233451I31I32100U331122则由A LU的对应元素相等，有LU? ? ?l21u12u22匚u224160，l21u13u23u23丄45I31U12I32U221 I3236， I31

6、U13 I32U23 U33 2U33因此,A LU60452 36 1 01315解 Ly b，即，得 y19 , y4, ys15414解Ux y，即0604513X1X2X394 ，得 x3177.69 , x2476.92 ,227.0815415所以，线性方程组的解为227.08 , x2 476.92 , x3177.691、若A是n n阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L和上三角阵U ,使A LU唯一成立。（）2、当n 8时，Newt on cotes型求积公式会产生数值不稳定性。 （ ）f(x)dx3、形如确度的次数为nA f伪）i 1 的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数

7、精 2n 1 o （）4、矩阵的2 范数A2 =9O （）5、设，则对任意实数a 0 ,方程组Ax b都是病态的。（用 ） （ ）6、 设A Rn n , Q Rn n，且有QtQ I （单位阵），则有 A2 QA2（ ）7、区间a,b上关于权函数W（x）的直交多项式是存在的，且唯一。 （）1、（ X ）2> （ V ）3、（ X ）4> （ V ）5、（ X ）6、（ V ） 7、（ X ） 8、（ X ）一、判断题（10XT）1、若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX= b 一定可以使用高斯消元法求解。（X ）2、 解非线性方程f（x）=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的

8、。（）3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式aHaj（i1,2,n）j ij i则解线性方程组AX= b的高斯塞德尔迭代法一定收敛。（X ）4、样条插值一种分段插值。（）5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。（）6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差。（）7、 解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组 AX= b。（ X ）8迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计，直到最后一步迭代计算的舍入误差。（X ）9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差=

9、舍入误差。（）10、 插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。（X ）1. 用计算机求时，应按照 n从小到大的顺序相加。（）2. 为了减少误差，应将表达式,200i 、1999改写为进行计算。（对）3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。（）4. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵和其演变方式有关，与常数项无关。（）复习试题2、已知f（1）31 f(x)dx,用三点式求得f （1）一、填空题：1、，则A的LU分解为1410A1.4115 41答案：04 15156 15答案：2.367，0.253、f(1)1, f(2)2, f(3)-则过这三点的二次

10、插值多项式中x2的系数为拉格朗日插值多项式为 。1 1答案：-1,L2(x)-(x 2)(x 3)2(x1)( x 3)-(x 1)(x 2)4、近似值x* 0.231关于真值x 0.229有(2 )位有效数字;5、设f(x)可微,求方程x f(x)的牛顿迭代格式是()；答案6 对 f(x) x3 x 差商 f0,1,2,3(1), f0,1,2,3,4(0)；7、计算方法主要研究( 截断)误差和( 舍入 )误差；8、 用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内的根时，二分 n次后的误差限为( )；10、已知 f(1) = 2,f(2) = 3,"4)= 5.9,则二次 N

11、ewton 插值多项式中 x2系数为(0.15 )；1113 1. 3111、两点式高斯型求积公式0f(X)dX(0f(X)dX 2f(2.3) f(2 3),代数精度为(5 )；12、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均不为零)。1013、为了使计算X 1 (X 1)6(X 1)3的乘除法次数尽量地少，应将该表y 10达式改写为_(3(46t)t)t,tX,为了减少舍入误差，应将表达式2001.1999改写为14、用二分法求方程f(x)x3 x 1 0在区间0,1内的根，进行一步后根的所在区间为 0.5, 1，进行两步后根的所在区间为0.5, 0.75。

12、1 v xdx15、计算积分0.5,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为0.4268 、用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309，梯形公式的代数精度为 ,辛卜生公式的代数精度为3 。16、求解方程组的高斯一塞德尔迭代格式为该迭代格式的迭代矩阵的谱半径(M)=1217、设 f(0)0, f(1)16, f(2)46,则 li(x)li(x)x(x 2)_, f(x)的二次牛顿1819、插值多项式为求积公式aN2(x)16x 7x(x 1)bf(x)dxnAkf (xk)k 0的代数精度以(咼斯型)求积公式为最咼，有(2n 1)次代数精度。已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=

13、-3,用辛普生求积公式求51f(x)dx r 12)。设 f (1)=1,f(2)=2, f (3)=0，用三点式求 f 21、如果用二分法求方程x x 40在区间1,2内的根精确到三位小数，需对分(次。10(x),l1(x),ln (x)是以整数点冷公1，, xn为节点的Lagra nge插值基函数，则20、(2.5 )。1023、(1 ),宀)，当n 2时(改变函数f (x)- X 1若用二分法求方程f X26、27、次。42x x' x ( x0在区间)。1)的形式，使计算结果较精确1,2内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分10若用复化梯形公式计算 个求积节点。29、1exd

14、x0，要求误差不超过106，禾u用余项公式估计，至少用47730、 写出求解方程组的 Gauss-Seidel迭代公式 阵为一，此迭代法是否收敛 收敛_。31、设,则A32、设矩阵的33、若 f(x)34、数值积分公式A LU，则 U 。3x4 2x 1，则差商 f2,4,8,16,321 21 f (x)dx 6【f(1)k 1%kx21 1砒 ,2 0.4x1k 1 ,0,1,，迭代矩8f(0)f(1)的代数精度为35、线性方程组的最小二乘解为36、设矩阵分解为 A LU，则U二、单项选择题：1、Jacobi迭代法解方程组Axb的必要条件是(C )。2、3、4、C.5、A.C.A A的各阶

15、顺序主子式不为零C .aii0,i1,2, ,n设，则（A）为（C ）.C.D.(A) 1三点的高斯求积公式的代数精度为（求解线性方程组Ax=b的LU分解法中,A须满足的条件是（B ）对称阵任意阵舍入误差是（只取有限位数观察与测量B.正定矩阵D .各阶顺序主子式均不为零A ）产生的误差。B.模型准确值与用数值方法求得的准确值D .数学模型准确值与实际值6、3.141580是n的有（B ）位有效数字的近似值。A .6B .5C .4D .77、用1+x近似表示e所产生的误差是（ c）误差。A.模型B.观测C .截断D.舍入8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是（A ）A .控制舍入误差

16、B .减小方法误差C .防止计算时溢出D.简化计算x9、 用1+ 3近似表示3 1 x所产生的误差是（D ）误差。A.舍入B.观测C .模型D.截断10、-324. 7500是舍入得到的近似值，它有（C ）位有效数字。A .5B .6C .7D .811、设f （-1）=1,f （0）=3,f （2）=4,则抛物插值多项式中x2的系数为（A ）A.-0 . 5B . 0 . 5 C . 2D . -212、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C )。A .3B .4C .5D .213、( D )的3位有效数字是 0.236X 102。14、用简单迭代法求方程f(x)=O的实根,把方程f(x)=

17、0表示成x= (x),则f(x)=0的根是(B )0(A) y= (x)与x轴交点的横坐标(C) y=x与x轴的交点的横坐标(B) y=x与y= (x)交点的横坐标(D) y=x与y= (x)的交点15、用列主元消去法解线性方程组，第1次消元，选择主元为(A )。(A) 4(B) 3(C) 4(D) - 916、拉格朗日插值多项式的余项是(B)，牛顿插值多项式的余项是(C ) 0(A) f(x,x0,x1,x2,xnx®(x x2)(x xn 1)(x xn),(n 1)Rn(x) f(x)(B)Pn(x)j(n 1)!(C) f(x,x0,x1,x2.Rn(x) f (x)(D)1

18、7、等距二点求导公式,xX0)(x x1)(x x2)(xxn 1)(x xn)， f (n 1()Pn(X)n1(X)(n 1)!f(x1) ( A )0f(X1) f(X0)(A)X1 X0f (X1) f (X0 )(B)X0 X1f(X0) f (X1)(C)X0 X1(D) f(xj f(x。)X1 X018、用牛顿切线法解方程f(x)=0 ,选初始值x0满足(A 一定收敛到方程f(x)=0的根。)，则它的解数列xnn=0,1,2,(A) f (x°)f (x) 0(B)f(x°)f (x) 0(C) f(x°)f (x)19、为求方程x3x2仁0在区间

19、1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。2x(A)1一,迭代公式：Xk 1x 1x(B)12,迭代公式:xk 1X1-2Xk3(C)xX2，迭代公式:Xk 1(12 1/3Xk )3x(D)x2,迭代公式：Xk 12Xk21、解方程组Ax b的简单迭代格式(k 1)(k)x Bx g收敛的充要条件是(1)(A)1,(2) (B)1,(A) 1,(B)1bf(x)dx a22、在牛顿-柯特斯求积公式：稳定性不能保证，所以实际应用中，当(n(b a)C(n)f(Xi)时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。i 0中，当系数Ci是负值时，公式的X00

20、.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25(1) n 8，( 2)n 7，( 3)n 10，(4) n 6，23、有下列数表所确定的插值多项式的次数是()。(1)二次；(2)三次；(3)四次；(4)五次25、取 3 1.732计算x (柘1)4，下列方法中哪种最好？()(A) 28 16、3 ；(B) (4 2、. 3)2；(C) ；(D)。27、由下列数表进行 Newt on插值，所确定的插值多项式的最高次数是()Xi11.522.533.5f (Xi)-10.52.55.08.011.5(A)5 ；(B) 4 ；(C) 3 ；(D) 2。b28、 形如af(x)dxA

21、f(X1)A2f(x2) A3f(x3)的高斯(Gauss)型求积公式的代数精度为( )(A) 9 ；(B)7 ；(C) 5 ；(D) 3。29、计算'、3的Newton迭代格式为()(A) ； (B) ； (C) ； (D)。30、用二分法求方程 x3 4x2100在区间1, 2内的实根，要求误差限为，则对分次数至少为( )(A)10 ；(B)12 ；(C)8 ；(D)9。32、设l i(x)是以兀k(k Q1,，9)为节点的Lagrange插值基函数，则()(A) x ；( B) k ；( C) i ；( D) 1 o33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有()次代数精度(A

22、)5 ；(B)4 ；(C)6 ；(D)3。35、已知方程X3 2x 50在x2附近有根，下列迭代格式中在X。2不收敛的是(A)Xk 13(B) ；(C) Xk 1xkXk5.(D) o36、由下列数据X01234f(x)1243-5确定的唯一插值多项式的次数为()(A) 4；(B)2 ；(C)1 ；(D)3 o37、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为()(A)8 ；(B)9；(C)10 ；(D)11 o三、是非题(认为正确的在后面的括弧中打，否则打)1、已知观察值(Xi，yX °，2，m),用最小二乘法求n次拟合多项式Pn(X)时,Pn(x)的次数n可以任意取。x2、 用

23、1-2近似表示cosx产生舍入误差。()3、表示在节点xi的二次(拉格朗日)插值基函数。 ()4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。( )5、矩阵A=具有严格对角占优四、计算题:(0)1、用高斯-塞德尔方法解方程组，取X(0,0,0)T，迭代四次(要求按五位有效数字计算)。答案：迭代格式x1k 1)：(114x2k 1)-(184x3k 1)丄(2252x2k)x3k)x1k 12x3k)2x1k °x2k )答案：2f(x) 1,x,X是精确成立，即得1求积公式为1 f(x)dxf(1)8 1評(1)1f(1)k(k)X1x2k)(k)X30

24、00012.75003.81252.537520.209383.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.7019当f（x） x3时，公式显然精确成立；当f（x） x4 时，左=5，右 =3。所以代数精度为3。21dxt1 X2x1丄dt 1丄1t 391 3也 0.69286140P3（x），并求 f （2）3、已知Xi1345f (Xi)2654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f（X）的三次插值多项式的近似值（保留四位小数）。L(x)2(x3)(x4)(x 5)6(x1)(x4)(x5)答案:3(13)(14)(1 5)(31)(34)(

25、35)5(x1)(x3)(x5)4(x1)(x3)(x4)(41)(43)(45)(51)(53)(54)差商表为Xiyi一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-1014Pa(x)N3(x) 2 2(x 1) (x 1)(x 3) (x 1)(x 3)( x 4)4f(2) Pa(2)5.56、已知sinx区间0.4，0.8的函数表X0.40.50.60.70.8yi0.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求sinO.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值答案：解：应选三个节点，使误差尽量小，即应使1 3(x)l尽量小

26、，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点°.5O6,°.7最好，实际计算结果sino.63891O.596274，且Sin 0.63891O.596274#0.638910.5)(0.638919 0.6)(0.63891 0.7)0.55032 107、构造求解方程e10x 2 0的根的迭代格式xn 1(xn), n0,1,2,，讨论其收敛性，并将根求出来,|xn 1xn |10 4。答案：解：令f(x)xe 10x 2,f(0)2 0,f (1)10 e 0且 f (x) ex 10 0 对 x (f(x)0变形为)，故f(x) 0在(0,1)内有唯一实根.将方程

27、则当x (0,1)时| (x)|x e10e10故迭代格式收敛。取x0°5，计算结果列表如下:n0123x0.50.035 127 8720.096 424 7850.089 877 325n4567xn0.090 595 993 0.090 517 340 0.090 525 950 0.090 525 008且满足|X7X6 |0.000000 95106所以 x*0.090 5250088、利用矩阵的LU分解法解方程组11 23ALU2 114答案：解:35 124令Lyb得y(14, 10, 72)tUxy 得 x(1,2,3)t .3xi 2x210x31510x 4x2

28、x359、对方程组2x1 10x2 4x3 8（1）试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由；（2） 取初值x（0Q0），利用（1）中建立的迭代公式求解，要求|x（k1） x（k）|10 3解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优581510x1 4x2 x32x110x2 4x33x1 2x210x3故对应的高斯一塞德尔迭代法收敛.迭代格式为1)-0(4x2k)101)-(:2x1k 1)4x3k)101)-(:3x1k 1)2x2k 1)105)8)15)(kx2(kx3x1k取x（0）（0,0,0）T，经7步迭代可得:x* x(7)(0.999991459,0.99995032

29、6,1.000010)T10、已知下列实验数据xi1.361.952.16f(Xi)16.84417.37818.435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据1解：当0<x<1时，f (x) ex,则f(X)e，且oe dX有一位整数.要求近似值有5位有效数字，只须误差.由叫(f)泮f()，只要R(n)(ex)12n2e12n210即可，解得n67.30877111X14543X21211、用列主元素消元法求解方程组211X311。11145431254312r1 r21114解：2111121111154312543122 一150128Dra0 113179r 2r55555

30、5131791285005555551543123 G130131795555§01313回代得x31,X26, X130所以 n 68,因此至少需将0,1 68等份。12、取节点Xo 0，X10.5, x21 ,求函数f(x) e X在区间0,1上的二次插值多项式及(X)，并估计误差P (x) e 0 (x 0.5)(x 1) e 0.5 (x 0)(x 1)解：(0 0.5)(0 1)(0.5 0)(0.5 1)i (x 0)(x 0.5)e(10)(1 0.5)0 512(x 0.5)( x 1) 4e x(x 1) 2e 1x(x 0.5)f(x)e x,f (x)八皿 xm

31、axy(x)| 12）有唯一根 X*（1,2）3)(x) 1 e当 x 1,2时,(x)(2), (1)【1,2】，且x1|R2（x）| |eP2（x）| 了 |x（x 0.5）（ x 1）|故截断误差3!x14、给定方程 f（x）（x 1）e101）分析该方程存在几个根；2）用迭代法求出这些根，精确到 5位有效数字；3）说明所用的迭代格式是收敛的。X解: 1）将方程（x 1）e1 0（ 1）改写为作函数f1（X）x 1，f2（x） e x的图形（略）知2）将方程（2）改写为构造迭代格式（k O,1,2，）计算结果列表如下:k123456789146Xk1.223131.294311.2740

32、9)1.27969 1.27812 1.2785>6 1.27844 1.27847 1.278X(X) e x|(x)| e11所以迭代格式Xk 1(xQ (k0,1,2,）对任意xo 1,2均收敛。15、用牛顿（切线）法求3的近似值取X0=1.7,计算三次，保留五位小数。解：、.3是f（x） x230的正根,f （x） 2x，牛顿迭代公式为x 3Xn 1(n 0,1,2,)即2 2xn取X0=1.7,列表如下:n123Xn1.732351.732051.7320516、已知f (-1)=2, f (1)=3，f (2)=-4,求拉格朗日插值多项式L2(x)和f(1, 5)的近似值,

33、取五位小数。解: L2(x)(X 1)(X 2)(1 1)( 1 2)(x 1)(x 2)(1 1)(1 2)(x 1)(x 1) (2 1)(2 1)2343(x 1)(x 2) 2(x 1)(x 2) 3(x 1)(x 1)1 f(1.5) L2(1.5)0.04167241 xd17、n=3,用复合梯形公式求0°的近似值(取四位小数)，并求误差估计解:1exdx T30 3°e02(e13 e23) e11.73422 3xxf (x) e , f (x) e , 0x 1 时，I f (x)| e|R| |exT31 12 321080.0250.05至少有两位有效

34、数字。X218、用Gauss-Seide迭代法求解线性方程组X3取x(°)=(0,0,0)T，列表计算三次，保留三位小数。解：Gauss-Seide迭代格式为：XI71kXk(36 18XI71XI71系数矩阵严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛.取x(°)=(0,0,0)T,列表计算如下:kx1k)x2k)x3k)11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.52620、（ 8分）用最小二乘法求形如y a bX的经验公式拟合以下数据:19253038yi19.032.349.073.32解:span1,x At

35、1111192252312382yT19.0 32.3 49.0 73.3解方程组 A AC AT yAtA其中解得： 所以33913391 3529603a 0.9255577，b 0.050102521、（ 15 分）用n 8的复化梯形公式1 e（或复化Simpson公式）计算0dx时，试用余项估计其误差。用n 8的复化梯形公式（或复化解:RTfb a 2Phf (Simpson公式）计算出该积分的近似值。110 1e0.00130212 82768T(8)严）72 f(Xk)k 1f (b)丄1 2 (0.8824969 0.7788008 0.60653066160.5352614 0

36、.47236655 0.41686207) 0.367879470.632943422、 （ 15分）方程x3 X 1 0在X 1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式 （1）x 3 x 1 对应迭代格式Xn13-xn1 ；对应迭代格式；（3）xx31对应迭代格式Xn1 xn 1。判断迭代格式在 x 1.5的收敛性，选一种收敛格式计算 X 1.5附近的根，精确到小数点后第三位。解:（ 1）， g 0.181，故收敛；（2） ，（1.5）0.17 1，故收敛；（3）（X） 3x2，I（2 3 "2 1，故发散。选择（1）： x 1.5，x1 1.3572， x2 1.3309， X

37、3 1.3259，x4 1.3249，x51.32476 x61.3247223、（ 8分）已知方程组 AX f ,其中(1) 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。(2) 求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。X1(k解：Jacobi迭代法:(k21)- (24 3x2k)4-(30 3x-k) x3k)4-)-(24 x2k)4k 0-2,3,Gauss-Seidel 迭代法:1Bj D (L U)25、数值积分公式形如x1k 1)1(24 3x2k)4x2k1)丄(30 3x1k1) x3k)4x3k1)1( 24 x2k1)4k 0,1,2,3,034 0340

38、34100340(Bj)58(或二p) 0.790569xf (x)dxS(x)Af (0) BfCf (0) Df试确定参数A, B,C, D使公式代数精度尽量高；(2)设f (x)C4Q1，推导余项公式R(x)xf (x)dxS(x)，并估计误解：将f(x) 1, x, x , x分布代入公式得：H3(xJf(xj构造Hermite插值多项式H3(x)满足出以)f (xj i 灶 4!2b Z B 丄，D20 20则有:10 xHa(x)dx S(x)f(x) H3(x)30200,1其中x00,人(x 1)211x2R(x)10xf (x) S(x)dx:(4)(4! 6027、( 10

39、分)已知数值积分公式为：(4)()4!；X3(X 1)2dx(4)()®x3(x 1)2dx 4!f()1440f(x)dxh2【f(0)f (h)h2f (0)f(h)，试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。解：f(x) 1显然精确成立；hh2h皿h h1f(x)xdx021X时，022h 2 .h3h rc2-22hh3_ .f(x)2x时，x dx03畀h h 0h2h 3 ,h4h3 -1 2_ _ 2f(x)3x时，x dx04畀h h 013hh 4 ,h5h s4-14h3_,h5f(x)4x dx0h h 06 ；x时，0521所以，

40、其代数精确度为3。28、（ 8分）已知求-a（a °）的迭代公式为:丄12 ；1a2仪-)x°° k 0,1,229、( 9分）数值求积公式3°f(x)dxlf(1)f（2）是否为插值型求积公式？为什么？其代数精证明：对一切k 1,2,Xka，且序列Xk是单调递减的，从而迭代过程收敛。1/xk 1(xk旦）12x 一 a k 0,1,2证明：2Xk2Xk故对一切k:1,2,XkaoXk丄 1(192)12(1 1)1又Xk2Xk2所以Xk 1Xk，即序列Xk是单调递减有下界，从而迭代过程收敛。度是多少?解：是。因为f（x）在基点訥1）3° P(

41、x)dx30、（6分）写出求方程4x1、2处的插值多项式为x 2P(x) 2 1X 1 f(2)Xn 1(6分)Xn1 . sin x 4f。其代数精度为1。COSX 1在区间°,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。1 cos xn4, n=0,1,2,对任意的初值X。0,1,迭代公式都收敛。用Newton插值方法：差分表:1001211441011120.04761900.0434783-0.000094113611510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121) =10.7227555R 115 100 115 121

42、 115 1443!1 35100 2 15 6 29 0.001630.5 106832、（10分）用复化Simpson公式计算积分的近似值，要求误差限为S16 f04f - f 120.94614588S2f 0124f 1 2f44f10.94608693S2|S2 S10.3931510-5S20.94608693或利用余项:7 2!33、sin xx2x4x6x83!5!7!9!9 4!a42880n42880 5n40.510 5n 21S2（10分）用Gauss列主元消去法解方程组:3.0000 1.0000 5.0000 34.00000.0000 3.6667 0.3333

43、12.66670.0000 5.3333 -2.3333 4.33333.0000 1.0000 5.0000 34.00000.0000 5.3333 -2.3333 4.33330.0 0000 1.9375 9.68752.0000,3.0000,5.000034、(8分)求方程组 的最小二乘解。AtAx ATb若用Householder变换，则：1.732053.464104.61880A,b00.366031.5207301.366032.520731.732053.464104.6188001.414212.82843000.81650最小二乘解：(-1.33333,T2.00000).36、(6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度:1xf x