判定平行四边形的五种方法精编版

1、判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明 .一、运用 “两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别例 1 如图 1,在平行四边形ABCD 中 ,E、F 在对角线 AC 上 ,AD且 AE =CF ,试说明四边形 DEBF 是平行四边形 .E分析 : 由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角OF C线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别 .为此 ,需连接 BD.B解：连接 BD 交 AC 于点 O.图 1因为四边形 ABCD 是平行四边形 ,所以 AO =CO,BO=DO. 又 AE=CF,所以 AO -AE=CO-CF ,即 EO=FO.所以四边形

2、DEBF 是平行四边形 .二、运用 “两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别例 2 如图 2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请AFE你指出图中所有的平行四边形，并说明理由.分析 :设每根木棒的长为 1个单位长度， 则图中各四边形的BCD边长便可求得， 故应考虑运用 “两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ”进行判别 .图 2解：设每根木棒的长为 1个单位长度，则AF=BC=1,AB=FC=1,所以四边形 ABCF 是平行四边形 .同样可知四边形 FCDE 、四边形 ACDF 都是平行四四边形 .因为 AE=DB=2,AB=DE=1, 所以四边形 ABDE 也是平行四边形 .DC三、运

3、用 “一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判F别E例 3 如图 3，E、 F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两AB点， AE=CF,DF =BE,DF BE ，试说明四边形 ABCD 是平行四边图 3形 .分析 : 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD 是平行四边形，但仔细观察可知， 由已知条件可得ADF CBE，由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等”的条件 .解：因为 DF BE，所以 AFD = CEB .因为 AE =CF,所以 AE+EF=CF+EF ，即 AF=CE.又 DF =BE, 所以 ADF CBE，所以 AD=BC， DAF = BCE，

4、所以 AD BC .所以四边形 ABCD 是平行四边形 .1四、运用 “两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别例 4 如图 4，在平行四边形ABCD 中， DAB 、 BCD的平分线分别交 BC、AD 边于点 E、F，则四边形 AECF 是平行四边形吗？为什么？AFDAFEC ，又题目中给出13分析：由平行四边形的性质易得2的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考B”进行判别 .EC虑运用 “两组对边分别平行的四边形是平行四边形图 4解：四边形 AECF 是平行四边形 .理由：因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以AD BC， DAB = BCD，11所以 AF EC.又因

5、为 1= DAB ， 2=BCD，22所以 1= 2.因为 AD BC，所以 2= 3，所以 1= 3，所以 AE CF.所以四边形AECF 是平行四边形.判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有： （1）证两组对边分别平行； （ 2）证两组对边分别相等； （ 3）证一组对边平行且相等； （ 4）证对角线互相平分； （ 5）证两组对角分别相等。下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。一、两组对边分别平行AF如图 1，已知 ABC 是等边三角形， D、E 分别在边 BC、AC 上，且 CD =CE，连结 DE 并延长至点 F ，使 EF=AE，连结 AF、BE 和 CF2E

6、图 1BDC(1) 请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；(2) 判断四边形 ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。解：（1）选证 BDE FEC证明： ABC 是等边三角形， BC=AC， ACD =60 ° CD=CE ， BD =AE， EDC 是等边三角形 DE =EC， CDE =DEC =60 ° BDE = FEC =120 °又 EF =AE， BD =FE ， BDE FEC（ 2）四边形ABDF 是平行四边形理由：由（ 1）知， ABC、 EDC 、 AEF 都是等边三角形 CDE = ABC= EFA=60 ° AB DF ， B

7、D AF四边形ABDF 是平行四边形。点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等， 内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。二、一组对边平行且相等例 2 已知：如图 2，在正方形 ABCD 中， G 是 CD 上一点，延长 BC 到 E，使 CE=CG，连结 BG 并延长交DE于F(1)求证： BCG DCE ；(2) 将 DCE 绕点 D 顺时针旋转 90°得到 DAE ，判断四边形 EBGD 是什么特殊四边形？并说明理由。分析：（ 2）由于 ABCD 是正方形，所以有 AB DC，又通过旋转 CE=AE已知 CE=CG，

8、所以 EA=CG，这样就有 BE=GD ，可证 EBGD 是平行四边形。解：（1） ABCD 是正方形， BCD = DCE =90 °又 CG=CE， BCG DCE（ 2） DCE 绕 D 顺时针旋转 90 °得到 DAE， CE=AE， CE=CG， CG=AE，四边形 ABCD 是正方形 BE DG ， AB=CD AB-AE=CD -CG，即 BE =DG四边形DEBG 是平行四边形3点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形三、两组对边分别相等例 3 如图 3 所示，在 ABC 中，分别以 AB 、AC、BC为边在 BC 的同侧

9、作等边 ABD ，等边 ACE，等边 BCF。求证：四边形DAEF 是平行四边形；分析：利用证三角形全等可得四边形DAEF 的两组对边分别相等，从而四边形DAEF 是平行四边形。解： ABD 和 FBC 都是等边三角形 DBF + FBA = ABC+ FBA=60 ° DBF = ABC又 BD =BA，BF =BC ABC DBF AC=DF =AE 同理 ABC EFC AB=EF=AD四边形ADFE 是平行四边形点评：题设中存在较多线段相等关系时，可证四边形的两组对边分别相等，从而可证四边形是平行四边形。四、对角线互相平分例 4 已知：如图 4，平行四边形 ABCD 的对角线

10、 AC 和 BD 相交于 O，AE BD 于 E，BFAC 于 F，CG BD 于G， DH AC 于 H，求证：四边形 EFGH 是平行四边形。图 4分析：因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形 EFGH 的对角线有关， 若能证出 OE=OG， OF=OH ，则问题可获得解决。4证明： AE BD ， CG BD ， AEO= CGO， AOE= COG， OA=OC AOE COG， OE=OG同理 BOF DOH OF=OH四边形EFGH 是平行四边形点评：当已知条件与四边形两对角线有关时，可证两对角线互相平分，从而证四边形是平行四边形。五、两组对角相等例 5将两块全等

11、的含30 °角的三角尺如图1 摆放在一起四边形 ABCD 是平行四边形吗？理由。(1) 如图 2，将 Rt BCD 沿射线 BD 方向平移到Rt B1C1D 1 的位置，四边形ABC1D1 是平行四边形吗？说出你的结论和理由：。分析：因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形的两组内角相等解决问题。解：（1）四边形ABCD 是平行四边形，理由如下： ABC= ABD +DBC =30 °+90 °=120 °， ADC= ADB + CDB =90 °+30 °=120 ° 又 A=60 °， C=60 °，

12、 ABC = ADC ， A= C（ 2）四边形ABC1D1 是平行四边形，理由如下：将 RtBCD 沿射线方向平移到Rt B1 C1D 1 的位置时，有 Rt C1BB1 Rt ADD 1C1 111 11BB=AD D ， BC B =DAD有 C1BA = ABD + C1BB1= C1D 1B1+ AD 1B= AD 1C1， BC1D1= BC1B1+ B1C1D 1= D1AD + DAB= D1AB5所以四边形ABC1D1 是平行四边形点评：（2）也可这样证明：由（ 1）知 ABCD 是平行四边形， AB CD ，将Rt BCD 沿射线 BD 方向平移到 Rt B1C1D 1 的

13、位置时，始终有 AB C1D 1，故 ABC1D 1 是平行四边形。=判断平行四边形的策略在学习了 “平行四边形 ”这部分内容后，对于平行四边形的判定问题，可从以下几个方面去考虑：一、考虑 “对边 ”关系思路 1：证明两组对边分别相等例 1 如图 1 所示，在 ABC 中， ACB 90 °， BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D，交 AB 于 E，F 在 DE 上，并且AF CE.求证：四边形ACEF 是平行四边形 .证明： DE 是 BC 的垂直平分线， DF BC，DB = DC.FDB =ACB=90 .°B1AB.DF AC .CE = AE =F21=2.

14、又 EFAC，AF = CE = AE ，E3D 2 =1 = 3 =F.A ACE EFA.AC=EF.四边形ACEF 是平行四边形 .思路 2：证明两组对边分别平行12C（图 1）6例 2 已知：如图 2，在 ABC 中， AB AC，E 是 AB 的中点， D 在 BC 上，延长 ED 到 F，使 ED = DF = EB. 连结 FC.求证：四边形AEFC 是平行四边形.证明： AB AC， B = ACB.A ED = EB， B =EDB .E ACB =EDB . EF AC.E 是 AB 的中点， BD = CD.BC EDB = FDC ，ED = DF ，DF EDB FD

15、C . DEB = F. AB CF.四边形AEFC 是平行四边形 .思路 3：证明一组对边平行且相等例 3 如图 3，已知平行四边形 ABCD 中， E、 F 分别是AB、 CD 上的点， AE = CF ，M 、N 分别是 DE、 BF 的中点 .求证：四边形ENFM 是平行四边形 .证明：四边形ABCD 是平行四边形，AD = BC， A =C .又 AE = CF， ADE CBF .F1=2，DE = BF .DC2 M、 N 分别是 DE 、BF 的中点，MNEM=FN.13 DC AB， 3 = 2.AEB 1 =3. EM FN .四边形 ENFM 是平行四边形 .二、考虑 “

16、对角 ”关系思路：证明两组对角分别相等例 4如图 4，在正方形ABCD 中，点 E、F 分别是 AD、BC 的中点 .求证：（ 1） ABE CDF ；（ 2）四边形BFDE 是平行四边形.证明：（ 1）在正方形 ABCD 中，AB = CD ，AD = BC， A = C=1190°， AE = AD ， CF =BC，22 AE = CF. ABE CDF .（ 2）由（ 1） ABE CDF 知， 1 =2， 3 = 4. BED = DFB .E143AD2F（图 4）BC7在正方形ABCD 中， ABC = ADC， EBF =EDF .四边形BFDE 是平行四边形 .三、

17、考虑 “对角线 ”的关系思路：证明两条对角线相互平分例 5 如图 5，在平行四边形 ABCD 中， P1、P2 是对角线 BD 的三等分点 .求证：四边形 AP1CP2 是平行四边形证明：连结 AC 交 BD 于 O. 四边形 ABCD 是平行四边形， OA = OC，OB = OD. BP1 = DP2 ，OP1 = OP2 .四边形AP1CP2 是平行四边形.ADOP1P2BC（图 5）平行四边形的识别浅析平行四边形是初中数学中的基本图形，正确识别平行四边形，是进一步学习矩形、菱形和正方形的基础。识别平行四边形是利用边、角和对角线的特点，而且只需要两个条件，为了更加清楚哪些条件能或不能识别

18、平行四边形，我们把这些条件总结如下。1 利用定义或定理直接识别平行四边形1.1两组对边分别平行，如图 1,AB CD ,AD BC。1.2两组对边分别相等，如图1,AB=CD ,AC=BC。1.3两组对角分别相等，如图 1, ABC= ADC, BAD= BCD 。1.4一组对边平行且相等，如图1,ABCD ,AB=CD 。1.5两条对角线互相平分，如图1,OA=OC,OB=OD。2 利用定义和定理间接识别平行四边形2.1一组对边平行且一组对角相等，如图1,AB CD , ABC=ADC 。AD证 明 ： AB CD ABC+BCD =180 ° 又O ABC= ADC ADC BC

19、D 180 ° AD BCBC四边形 ABCD 是平行四边形 (两组对边分别平行 )图12.2 一组对边平行且两条对角线交点平分一条对角线，如图1, ABCD ， OA=OC。证明： AB CD BAC=DCA在 AOB 和 COD8中， BAC= DCA，OA=OC， AOB =COD AOB COD (ASA) AB=CD四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等）2.3 两组邻角互补，而且两组邻角要有一个公共角，如图 1, DAB + ABC=180 °,ABC+ BCD =180 °。证明： DAB +ABC=180 ° AD BC又 AB

20、C+ BCD=180 ° AB CD四边形ABCD 是平行四边形（两组对边平行）3 不能识别为平行四边形3.1 两组不同的邻角互补，如图 2, A+B=180 °,C+ D=180 °,可以画出梯形。3.2 识别平行四边形的条件涉及的边、角相等关系都是对边对角，涉及邻边邻角相等的都不能做为平行四边形识别的条件。两组邻边相等，如图3, AB=AD ,CB=CD ,不一定是平行四边形。两对邻角相等，如图4, A= D, B=C,可以画出等腰梯形。3.3 一组对边平行且另一组对边相等，如图 4,AD BC,AB=CD,也可以画出等腰梯形。3.4 一组对边相等，一组对角相

21、等，不一定是平行四边形。反例作图方法,如图5：作 ABC,在边BA 上确定点A,在边 BC 上确定点 C,过点 A、B、C 作 O1,以点 C 为圆心，以线段 AB 长为半径作 C,以 AC 为弦作 O1 的等圆 O2,交 C 于 D、 E 两点，则四边形ABCD 为平行四边形，而四边形ABCE 即为符合条件的非平行四边形，即AB=CE, ABC= AEC。3.5 一组对边相等，对角线交点平分一条对角线，不一定是平行四边形。反例作图方法,如图 6：作线段 AB ,过线段 AB 的中点 O 作直线 CD ,过点 B 作 BECD ,垂足为 E,以点 E 为圆心，小CFE G于线段 OE 的长为半

22、径作 E,交 CD 于 F、G 两点，以点 A 为圆心， BF 长为半径作 A,交直线 CDB于 H 、 I 两点，则四边形 AGBH 和四边形 AFBI 为平行四边形，而四边形 AGBI 和四边形 AHBF 即为符合条件的非平行四边形，如在四边形AGBI 中， AI=BG,OA=OB。ADBC图2DA ADCBBC图3图 4O1BADCO2E图 5AOHID图69说明一个四边形是平行四边形的思路山东于秀坤平行四边形是最基本、最重要的一类特殊四边形如何说明一个四边形是平行四边形呢？要说明一个四边形是平行四边形，一般可以根据题目中所给的条件，分别通过下列的思路进行说明一、当已知条件出现在四边形的

23、一组对边上时，考虑采用“两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形”或 “一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”例 1 如图 1，在 ABC 中， AD 是角的平分线， DE/AC 交 AB 于点 E， EF/BC 交 AC 于点 F，试说明 AE=CF图 1分析：由 AD 是角的平分线，可知 1= 2，由 DE/AC，可知 2=3，所以 1= 3，即可得 AE =ED ，要说明 AE=CF ，可转化为说明 ED=EC，因此，只需说明四边形 EDCF 是平行四边形就可以了10解：因为 1= 2， 2=3，所以 1= 3，所以 AE=ED，又因为 DE /AC，EF/BC，所以四边形 EDCF

24、 是平行四边形 （两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 所以 ED =CF ，所以 AE=CF 二、当已知条件出现在四边形是对角上时，考虑 “采用两组对角分别相等的四边形是平行四边形”例 2 如图 2，AE、 CF 分别是ABCD 的内角 DAB 、 BCD 的平分线，试说明四边形AECF 是平行四边形图 2解：在ABCD 中，因为 DAB = BCD ，又因为11 1= DAB ， 2=BCD ，22所以， 1= 2，因为 AB/CD ，所以 3= 1， 4=2，所以 3=4，所以 5= 6，所以四边形AECF 是平行四边形三、当已知条件出现在四边形的对角线上时，考虑采用 “两条对角线互相

25、平分的四边形是平行四边形”例 3 如图 3，在 ABCD 中， AC 、BD 相交于 O， EF 过 O分别交 AD 、BC 于 E、F，GH 过 O 分别 AB、CD 交于 G、H试说明四边形 EGFH 是平行四边形图 3解：在 ABCD 中，因为AB/CD，所以 1=2，因为 OA=OC， 3=4，所以 AOG COH ，所以 OG=OH ，同理 OE=OF ，11所以四边形EGFH 是平行四边形构造平行四边形解题山东邹殿敏平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分许多几何问题可以通过添加辅助线，构造平行四边形加以解决一、求线段的长例如图1，在正 ABC 中

26、， P 为边 AB 上一点， Q 为边AC 上一点，且AP =CQ今量得 A 点与线段PQ 的中点 M 之间的距离是19cm，则 P 点到 C 点的距离等于cm分析：作 QD/AB，交 BC 于点 D ，连接 PD ，MD 由 ABC为正三角形，易知BP =BD ， AP=DQ ，所以四边形APDQ 为平行四边形所以AMD是平行四边形APDQ的对角线所以AD =2AM =2×19=38（ cm）由 ABD CBP 可得 PC=AD 所A以 PC=38cm QMADPBDC二、证明线段相等问题图 1EBC图 2例 2 如图 2，在梯形ABCD 中， AD/BC， AB=CD，延长CB 到 E，使 EB =AD ，连接 AE求证： AE=AC分析：连接 BD 由 AD 与 BE 平行且相等，易知四边形 AEBD 是平行四边形，所以 BD =AE因为 AC=BD，所以 AE=AC12三、证明线段和差问题例 3 如图 3， ABC 中，D，F 是 AB 边上两点， 且 AD =BF，作 DE /BC，FG /BC，分别交 AC 于点 E，G求证：DE +FG=BC分析：作 GH /AB 交 BC 于点 H则四边形 BHGF 是平行四边形所以 GH=BF=A