2011届高考数学第一轮总复习经典实用 3-4数列的求和学案课件

1、基础知识基础知识1等差数列前等差数列前n项和项和Sn na1d，推导方法：，推导方法： ；等比数列前；等比数列前n项和项和Sn 推导方法：推导方法： 倒序相加法倒序相加法乘公比，错位相减乘公比，错位相减2常见数列的前常见数列的前n项和：项和：123n 2462n ；135(2n1) ；122232n2 132333n3 无穷等比无穷等比(|q|1)数列各项和数列各项和S .n2nn23数列求和的常见方法有：数列求和的常见方法有：(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列数列(2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项拆项相消：有时把一个数

2、列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和对应项相乘构成的数列求和(4)倒序相加：例如：等差数列前倒序相加：例如：等差数列前n项和公式的推导方项和公式的推导方法法4常见的拆项公式有：常见的拆项公式有： (7)nn！ n！；！； (8)anSnSn1(n2)(n1)！易错知识易错知识一、利用公式求和不注意项数易出错一、利用公式求和不注意项数易出错1S1222232n_答案：答案：2n11二、不注意分类易出错二、不注

3、意分类易出错2Sa2a23a3nan(aR)_.答案：答案：A答案：答案：B3(教材改编题教材改编题)数列数列9,99,999，的前的前n项和为项和为()解析：解析：9101,991021,9991031，所求数列的和为所求数列的和为Sn(101)(1021)(1031)(10n1)(1010210310n)n答案：答案：D4(2011原创题原创题)已知数列已知数列an的前的前n项和项和Snn2.则则 【例【例1】已知已知an是等比数列，是等比数列，a12，a454；bn是等差数列，是等差数列，b12，b1b2b3b4a1a2a3.(1)求数列求数列an的通项公式及前的通项公式及前n项和项和S

4、n的公式；的公式；(2)求数列求数列bn的通项公式；的通项公式；(3)设设Unb1b4b7b3n2，其中，其中n1,2，求求U10的值的值解析解析(1)设数列设数列an的公比为的公比为q，由由a4a1q3得得q3 27，q3，所以数列所以数列an的通项公式为的通项公式为an23n1，数列数列an的前的前n项和公式项和公式Sn 3n1， (2)设数列设数列bn的公差为的公差为d，b1b2b3b44b1 d86d.由由b1b2b3b4a1a2a322323226.得得86d26，d3，所以所以bnb1(n1)d3n1.(3)b1，b4，b7，b3n2组成以组成以3d为公差的等差数为公差的等差数列，

5、所以列，所以U1010b1 3d425.(2009四川四川)求数列求数列1,35,7911,13151719，的前的前n项和项和分析：分析：依其结构特征知，只须求出和式中的最后一依其结构特征知，只须求出和式中的最后一个奇数，便知其和为前个奇数，便知其和为前n个奇数之和，又由于数列中各项个奇数之和，又由于数列中各项的奇数的个数与项数一致，从而知各项的奇数个数构成的的奇数的个数与项数一致，从而知各项的奇数个数构成的数列数列1,2,3，n，可以由此入手解答，可以由此入手解答解析：解析：解法一：由于该数列的前解法一：由于该数列的前n项共有项共有123n 个奇数，个奇数，最末一个数字应为最末一个数字应为

6、2 1n2n1，Sn 解法二：依该数列的排列特征可知，第解法二：依该数列的排列特征可知，第n项项an中的第中的第一个奇数是第一个奇数是第123(n1)1 1个个奇数，这个奇数是奇数，这个奇数是 1n2n1，从而推知第从而推知第n项项an中的第中的第n个个(末位末位)数字是数字是n2n12(n1)n2n1，故故Sna1a2a3an132333n3 总结评述：总结评述：根据所给的结构特征，寻找项数之间的根据所给的结构特征，寻找项数之间的规律，是实现问题转化的主要途径而转化求和又是研究规律，是实现问题转化的主要途径而转化求和又是研究和探求数列求和问题的重要手段和探求数列求和问题的重要手段.【例【例2

7、】(2009北京朝阳北京朝阳4月月)已知数列已知数列an的前的前n项项和为和为Sn，点，点(n， 在直线在直线y 上数列上数列bn满足满足bn22bn1bn0(nN*)，且，且b311，前，前9项和为项和为153.(1)求数列求数列an、bn的通项公式；的通项公式； (2)设设cn 数列数列cn的前的前n项和为项和为Tn，求使不等式，求使不等式Tn 对一切对一切nN*都成立的最大正都成立的最大正整数整数k的值；的值；所以所以bn为等差数列，于是为等差数列，于是 153.而而b311，故，故b723，d 3，因此因此bnb33(n3)3n2，即即bn3n2(nN*)因此因此Tn单调递增，故单调递

8、增，故(Tn)min 令令 得得k19，所以，所以kmax18.在数列在数列an中，中， 又又bn 求数列求数列bn的前的前n项的和项的和 数列数列bn的前的前n项的和项的和总结评述：总结评述：对于裂项后有明显相消项的一类数列，对于裂项后有明显相消项的一类数列，在求和时常采用在求和时常采用“裂项求和法裂项求和法”，分式的求和多利用此，分式的求和多利用此法，可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意法，可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去了哪些项，保留哪些项消去项的规律，即消去了哪些项，保留哪些项.错位相减法就是推导等比数列前错位相减法就是推导等比数列前n项和公

9、式的方项和公式的方法一般地，若法一般地，若an是等差数列，是等差数列，bn是等比数列，则求是等比数列，则求anbn的前的前n项和一般采用此法此法有特定的操作程项和一般采用此法此法有特定的操作程序，要注意熟练掌握基本技能序，要注意熟练掌握基本技能【例【例3】(2007山东，山东，17)设数列设数列an满足满足a13a232a33n1an ，nN*. 1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)设设bn ，求数列，求数列bn的前的前n项和项和Sn.解析解析(1)a13a232a33n1an ， 当当n 2时，时，a13a232a33n2an1 ，得，得3n1an ，an 在在中，令中，令n1

10、，得，得a1 .an (2)bn ，bnn3n.Sn3232333n3n.3Sn32233334n3n1.，得，得2Snn3n1(332333n)，即即2Snn3n1 设设an是等差数列，是等差数列，bn是各项都为正数的等比数是各项都为正数的等比数列，且列，且a1b11，a3b521，a5b313.(1)求求an，bn的通项公式；的通项公式；(2)求数列求数列 的前的前n项和项和Sn.解析：解析：(1)设设an的公差为的公差为d，bn的公比为的公比为q，则依题，则依题意有意有q0且且 解得解得d2，q2.所以，所以，an1(n1)d2n1，bnqn12n1.【例【例4】已知数列】已知数列an的

11、前的前n项和项和Sn(n1)2n1 ， 是 否 存 在 等 差 数 列， 是 否 存 在 等 差 数 列 bn ， 使， 使 an 对一切自然数对一切自然数n均成立？均成立？解析解析由公式由公式an 依条件先求出依条件先求出an的通项，再由倒序相加法得出结论的通项，再由倒序相加法得出结论当当n1时，时，a1S11；当当n2时，时，anSnSn1(n1)2n1(n2)2n112n1(2n2n2)n2n1.因因a11满足满足n2时时an的式子，的式子，ann2n1(nN*)假设存在等差数列假设存在等差数列bn满足条件，设满足条件，设b00，且，且bn(nN*)仍成等差数列，则仍成等差数列，则令令b

12、nn，显然，显然n0时，时，b00，故存在等差数列，故存在等差数列bn满足已知等式满足已知等式设设f(x) 利用课本中推导等差数列前利用课本中推导等差数列前n项和公项和公式的方法，可求得式的方法，可求得f(12)f(11)f(10)f(0)f(11)f(12)f(13)的值为的值为()令令S26f(12)f(11)f(10)f(0)f(11)f(12)f(13)又又S26f(13)f(12)f(11)f(11)f(12)则则2S26f(12)f(13)f(11)f(12)f(13)f(12) 故选故选D. 答案：答案：D1在直接用公式求和时，要注意公式的应用范围和在直接用公式求和时，要注意公式的应用范围和公式推导过程中蕴含的数学思想公式推导过程中蕴含的数学思想2注意观察数列的特点和规律，将一般数列求和转注意观察数列的特点和规律，将一般数列求和转化为基本数列求和化为基本数列求和