选修4坐标系与参数方程知识点总结及同步练习附答案

1、坐标系与参数方程知识点1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P（x,y）是平面直角坐标系中的任意一点,在变才奂甲：（x =九率（>0）的作用 yy（0）下，点P（x,y）对应到点P '（x ； y'）,称中为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2 .极坐标系的概念（1）极坐标系MAh)如图所示v,在平面内取一个定点O,叫做极点，自极点。引一条射线Ox,叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆 时针方向）,这样就建立了一个极坐标系注：极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标

2、系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.（2）极坐标设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为P；以极轴Ox为始 边，射线OM为终边的角/xOM叫做点M的极角，记为日.有序数对（P,e）叫做点M的极坐标，记作M （P,9）.一般地，不作特殊说明时，我们认为P之0,日可取任意实数.特别地，当点m在极点时，它的极坐标为（0,8）（8e r）.和直角坐标不同，平面内一个 点的极坐标有无数种表示.如果规定P >0,0 W8 <2兀，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（P,8）表示;同时，极坐标（巳日）表示的

3、点也是唯一确定的3 .极坐标和直角坐标的互化（1）互化背景：把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示：（2）互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是（x,y）,极坐标是（P,e）（ P至0）,于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：点M直角坐标（x, y）极坐标（p,e）互化公式jx = P cosH 'y = PsinQ口222P =x + ytanB = (x 手 0) x在一般，f#况下，由tan8确定角时，可根据点M所在的象限最小正角4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆P = r(0 W8

4、<2几)圆心为（r,0）,半径为r的圆cc冗冗P = 2r cos9(W 8 < )22工圆心为（r, 三）,半2径为r的圆P2rsin6(0<n)oV过极点，倾斜角为3的直线(1) e =ct(pw R)或日=n 十a(Pw R)(2)日=口(至0)和曰=n +a(P ±0)过点(a,0)，与极轴垂直的直线O*冗冗PcosQ = a(<0 <一)22JT过点(a,一),与极2轴平行的直线i().寺)Psin 日=a(0 < 9 < n )注：由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(P 9),( P,2n +6),( -Pn +9),( -

5、P -n +8),都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足JT JT极坐标方程即可.例如对于极坐标方程p = e，点 m (二，,)可以表示为4 4STFSTF f- STF5(一,+ 2n)或(一,2冗)或(,)等多种形式，其中，只有(一,一)的极坐标满足方4 44 44 44 4程：= .二、参数方程1 .参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x, y都是某个变数t的函数x = f (t)，并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M (x,y)都在这条曲线上y =g(t)那么方程就

6、叫做这条曲线的参数方程，联系变数x, y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2 .参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数 x, y中的一个与参数t的关系，例如x = f (t),把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y = g（t）,那么/x = f（t）就是曲线的参数方程,在参数方程与y =g（t）普通方程的互化中，必须使x, y的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键

7、在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3 .圆的参数如图所示，设圆 O的半径为r,点M从初始位置M0出发，按逆时针方向在圆 。上作x = r cos1匀速圆周运动，设 M （x, y）,则W（g为参数）。y = r sin n这就是圆心在原点 O,半径为r的圆的参数方程，其中 日的几何意义是 OM0转过的角度。圆心为（a,b）,半径为r的圆的普通方程是（x a）2+（yb）2 = r2 ,x = a r cos 二它的参数万程为：（日为参数）。y = b rsin 二4 .椭圆的参数方程22以坐标原点。为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为、2 + y2

8、 =1但>b > 0）,其参a b'x = a cos 数方程为x（邛为参数），其中参数中称为离心角；焦点在y轴上的椭圆的标准方y 二bsin :y2 x2x = b cos程是 =+2=1（a >b >0）,其参数方程为（门（中为参数），其中参数中仍为离心a by = a sin角，通常规定参数 中的范围为中C 0 , 2 n ）。注：椭圆的参数方程中，参数 邛的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角a区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2n71的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当 0Wa W时，相

9、应地也有2小 冗0 W邛W一,在其他象限内类似。25 .双曲线的参数方程22以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的双曲线的标准议程为 二4=i（a A0,b0）, a bx = a sec3 -其参数方程为x即为参数），其中邛可0,2 n）且中四.y =btan :2222焦点在y轴上的双曲线的标准方程是4-y=1（a >0,b>0）,其参数方程为 a bx =bcot（中为参数，其中 中w（0,2n）eM中#n.y = a csc ;以上参数中都是双曲线上任意一点的离心角。6 .抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线y2=2px（p>0）的参数方程为C .2x=2pt （t为参数）.y =2pt7 .直线的参数方程 n .经过点M0（x0,y0），倾斜角为«（« =£）的直线l的普通万程是y - y0 = tan«（x-x0）,x = x0 tcos：而过M0（x0, y0）,倾斜角为a的直线l的参数万程为0（t为参数）。y = y0 t sin ;注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点M0（x0,yO）,倾斜角为久的直线l的参数、， x = x0 t cos .：>万程为i（t为参数），其中t表示直线l上以定点 M0为起点，任一点y =