最新大一高数复习资料

1、设:n ： mn= mn mg X0limX )X0cd0【题型示例】求值lim3x-3x2 -9高等数学（本科少学时类型）第一章函数与极限第一节函数O函数基础（高中函数部分相关知识）（）O邻域（去心邻域）（）U（a,6）=x| xa <6U （a, 6 ） = x | 0 c|x a| < 6 第二节数列的极限O数列极限的证明（） 【题型示例】已知数列 Cxn I证明lim g =a【证明示例】；- N语言1 .由xn a c乞化简得n > g（g ,- N - |g ；2 即对- ； 0 , N g ；。当n N时，始终有不等式 xn -a| < 8成立， lim

2、:xn f = ax .第三节函数的极限O x > X。时函数极限的证明（）【题型示例】已知函数 f X，证明lim f x；=A【证明示例】；语言1. 由 f （x）A £ 化简得 Oclxxcg（名）， 、： = g :2. 即对 呂 >0 , = g2 ），当 0 c|x Xo| <6 时， 始终有不等式 f （x ）-A £ E成立， lim f x = AX %O Xr，时函数极限的证明（）【题型示例】已知函数 f X，证明lim f x = Axjic【证明示例】；-X语言1由 f（x）A< E化简得 xAg（E ）, X =g ；2.即

3、对一 ；-0, X = g ；，当x X时，始终有 不等式f（x）Ac名成立，lim f x 二 AX J：.第四节无穷小与无穷大O无穷小与无穷大的本质（）函数f x无穷小：=lim f x = 0函数f x无穷大二lim f x门"，O无穷小与无穷大的相关定理与推论（）（定理三）假设f x为有界函数，g x为无穷小，则 li| f x g x =0（定理四）在自变量的某个变化过程中，若f x 为无穷大，则f-1 X为无穷小；反之，若f X为无 穷小，且f x - 0，则f J X为无穷大【题型示例】计算：lim f x g x （或x：:）X '01 . f （x）w M

4、函数 f（xj 在X = x0的任一去心邻域U怡宀内是有界的；（ f （x ） w M，函数 f （x ）在 D 上有界；） 2. lim g x =0即函数g x是x“ x°时的无穷小；（lim g x =0即函数g x是x. -时的无穷小；） X_.3 .由定理可知lim | f x g x =0（lim f x g x =0）第五节极限运算法则O极限的四则运算法则（）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式p x、q x商式的极限运算p(x )= a0xm + 玄必“丄 + +am 、q(x )=b0xn +豪2 + + bnoO则有lim业二色 x ：q xb0【0g

5、X0-0g X0 =0,f X0 -0g X0 = f X0 = 0（特别地，当lim f X =-（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极 限值，也可以用罗比达法则求解）【求解示例】解：因为 Xr 3，从而可得x=3，所以原式x 3x 311式=lim 2 limlimx 3x -9 x3x 3x-3 xQx 3其中x=3为函数f x的可去间断点x -9倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）0 .x_3 0（x-3）"11解：lim 2 limlimxTx -9 l'xt2 c J T 2x 6（x -9 ）O连续函数穿越定理 （复合函数的极限求

6、解）（）（定理五）若函数 f x是定义域上的连续函数，那么，lim f f逍 X 二 f x1叮 Xx -3【题型示例】求值：lim 2X-3 丫 X2 -9【求解示例】独后X -3=.lim 2.x)3 x2 -9第六节极限存在准则及两个重要极限O夹迫准则（P53） （）第一个重要极限:mI K -x0,-,.2sin x x tanx.lim sinxT x解:lim 2x 3x 2x 1.lim 2x12x ;： 2x 1r2x+1 丿lim 艺2= e*W=e1 =eX . li2x“22x 1227lim 11 2-( lim 11 2x12x 1. 2J11丄2x 1丄2x 1第七

7、节 无穷小量的阶（无穷小的比较）O等价无穷小（）U sinU tanU arcsinU arctanU ln（1 U ）1 .Ue 一11 22. U 1-cosU2（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：lim ln 1 X2 xln 1 xT x +3x【求解示例】mo0H X-X1xs mT H X-XX rnsmolimlx解：因为x 0, 即 xHO,所以原式=lim+xrxln+x)7 X +3x(1+x 卜In(1+x)i.(1+x 卜xi.x+11=limlimlimx 0 XX 3x 9XX 3x 0x 33第八节函数的连续性O函数连续的定义()lim f x = lim f

8、 x = f x0x JX0 -O间断点的分类(P67) ()(特别地，lim sin(x -X0) =1)0x _x0O单调有界收敛准则（P57） （）（1 f第二个重要极限：lim 1ex 丿（一般地，lim | f x = lim f x 計 '，其中lim f x 0)【题型示例】求值:【求解示例】lim 心； xf 2x+1 丿lim第一类间断点（左右极限存在）跳越间断点（不等） 可去间断点（相等）第二类间断点无穷间断点（极限为：）（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）2x. 0e , X ： 0应该怎样选a x x _ 0择数a，使得f x成为在R上的连续函数？【求

9、解示例】f 0_ 二 e20 二 e1 二 e （f （°+） = a+°+=af 0 =a【题型示例】设函数 f（x）=1 .2 .由连续函数定义lim f x = lim f x = f 0 = e xT010 十第九节 闭区间上连续函数的性质O零点定理（）【题型示例】证明：方程f X x C至少有一个根 介于a与b之间【证明示例】1.（建立辅助函数）函数x f x ;-g x ;- C在闭区间la,b 1上连续；2. Ta b : 0 （端点异号）3. a由零点定理，在开区间a,b内至少有一点,使得厂=0,即 fg-C =0 （ 0 < ' : 1）4.

10、这等式说明方程内至少有一个根'第二章导数与微分第一节导数概念O高等数学中导数的定义及几何意义（ex +1f x = g xC在开区间a,bP83) ()【题型示例】已知函数f (x )= «ax +bx 0在 x = 0x 0处可导，求a , b【求解示例】1. f_0 二e0f*0 )=a=12由函数可导定义f 0- -e° 1 二e°1 =2f 0=bf 0 =e 1 =2jf_0 =f_j. 0 =a=1f 0- 二 f 0=f 0 =b =2a a = 1,b = 2【题型示例】求函数【求解示例】由题可得上单调、可导，且f J x的导数f x为直接

11、函数，其在定于域DfxO; a f'x 二二O复合函数的求导法则（）【题型示例】设y = in严“厂 厂2，求y【求解示例】解:, 1y =i2Tn arcs in x 1-22e -. x a(earcsin fx2 丄1arcsi n x2 122e亠.x亠a1arcs in x2 1厂22e 一 . x aarcs in，: earcs in x21 e _arcsin J 1 -e - arcs in. -x2 122e亠x a第四节高阶导数iin xH22v -+Vx +a2x2 .x2 -122x2. xa"x2 _12 _x2)()n(或 ddx【题型示例】求函

12、数 y =1 n 1 x的n阶导数【求解示例】y二1 xJ,3函数商的求导法则（定理三）O反函数的求导法则（）【题型示例】求 y = fx在x=a处的切线与法线方程 （或：过y二f x图像上点 a, f a 处的切线与法线 方程）【求解示例】1. y 二 f x , y hr f a2. 切线方程：y-f a = f a x -a法线方程：y_f a 占x-a第二节 函数的和（差）、积与商的求导法则O函数和（差）、积与商的求导法则（）1.线性组合（定理一）：（U 二 L；v） =U ' ： V特别地，当1时，有（u 士v）'u 士 V2函数积的求导法则（定理二）：（uv）

13、9;uv uv第三节反函数和复合函数的求导法则厂飞T Tx ' = -1-21 xy n =（-1）n（n -1）!（1 x）第五节隐函数及参数方程型函数的导数O隐函数的求导（等式两边对 x求导）（）【题型示例】试求：方程y = x ey所给定的曲线 C :y二y x在点1 -e,1的切线方程与法线方程【求解示例】由y = x ey两边对x求导F即y = x亠ey化简得/ = 1 ' ey y. 1 1- y 1 ：1 -e 1-e1 .a切线方程：y -1X -1 e1 e法线方程：y 11 e x -1 eO参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程/=tp（t 求d_y=

14、Y（t）dx2“2亦【求解示例】i.-2.d_ydx ®'（t） dx®'（t）第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求） 第七节函数的微分O基本初等函数微分公式与微分运算法则（）dy = f x dx第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理O引理（费马引理）（）O罗尔定理（）【题型示例】现假设函数f x在0,二1上连续，在0,二上可导，试证明：二匚三0,二,使得fco< C sin = 0成立【证明示例】1. （建立辅助函数）令 x = f x sinx显然函数x在闭区间 0,二I上连续，在开区间0,二上可导；2. 又 0 计 f 0 sin0 =

15、0: - f jsin 二-0即0 二 :=03. .由罗尔定理知一 I 三 i0,二，使得 f - cos fisin = 0成立O拉格朗日中值定理（）【题型示例】证明不等式：当x 1时，ex e x【证明示例】x1.（建立辅助函数）令函数 f x二e ,则对_x 1 , 显然函数 f x在闭区间1,x 1上连续，在开区间1,x上可导，并且f x =ex ；2 .由拉格朗日中值定理可得，1,x 1使得等式X1e-e = x -1 e成立，又t e e1 , ex-e1xT e1 二e x-e,化简得ex e x，即证得：当x 1时，ex e x【题型示例】证明不等式：当x 0时，In r x

16、 ： x【证明示例】1.（建立辅助函数）令函数 f x = In 1 x，则对-x .0,函数f x在闭区间1.0,x 1上连续，在开区1间0,二上可导，并且f x ;1 + x2 .由拉格朗日中值定理可得，:：=0,x使得等式In 1 x - In 10 二x - 0 成立,1化简得Inx .厂x，又,<1,In 1 x ： 1 x = x,即证得：当x 1时，ex e x第二节罗比达法则O运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（）1. 等价无穷小的替换（以简化运算）2判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比 达法则的三个前提条件A .属于两大基本不定型（0 :-,）且满足条件,0 :

17、则进行运算： Iim - = Iim _ 一ag(x)ag，(x)（再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B . 不属于两大基本不定型（转化为基本不定型）【题型示例】求值:【求解示例】Iim x In xx >00 :型（转乘为除，构造分式）x：T nxp叫In x -Iim1 L x ：0lnx1一X2：=一一1四 = 0（一般地，IimI nxj=0，其中， R）型（通分构造分式，观察分母）1 1【题型示例】求值:Iim xt sin x x【求解示例】” (1 1 解: Iim 一一 xT (sin x xfx-si nx 1fx-si nx)=処=虬_L Ix )0 . x sin

18、 xxTx0_0% x-si nxr 1-cosx%1-cosx r si nx门IimIimIimIim0L x_o2x02xLxQx J022xx200型（对数求极限法）【题型示例】求值：lim xxx_0【求解示例】 解：设y =xx,两边取对数得：In y = Inxx =xlx对对数取Xr 0时的极限：lim In y =lim=lim " x .xIn y= lim x lim x =0,从而有 lim y Time1x_0 1x_0x_0x 02xI'型(对数求极限法)lim In y=ex=e0 =1【题型示例】求值:1lim cosx sin x xx0【求

19、解示例】op0（1）0 c （3） 心qQ oO彳 100 0QOO通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式）取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节泰勒中值定理（不作要求） 第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性O连续函数单调性（单调区间）（）【题型示例】试确定函数f x =2x3-9x2 12x-3的单调区间【求解示例】1 .V函数f X在其定义域R上连续，且可导解：令 y = cosx sinx x,两边取对数得 ln y =_S"xx对 ln y求x . 0时的极限，limln y =lim ln cosx_sin x x_0 X2

20、 .令 f x i=6< -1x -2=0，解得：X1 =1,X2 =23.(三行表)00|ln cosx sinxLxm0xlim In ylim y= lim el y =ex 0 e1 =ex 0 x 0.lim cosxsinx=1,从而可得xQ cosx sin x 1 0X(严1)1(1,2)2（2严）f'(x)+00+f(x)极大值极小值4 .函数f X的单调递增区间为-：，1，2：；：:0型（对数求极限法）（1 -【题型示例】求值：lim -7乜）【求解示例】（1半 解：令y =丄x:an x,两边取对数得ln y =tanx ln对In y求x >- li

21、mX_0In x丄L tan x0时的极限,lim lny=lim tan1x2sec x们x，X I n 11x于*°ofin xlim n tan x-limx ；0tan20 2 0sin x 0 = limlimx_0x L x_0sin'x2sin x cosxli mx x 01lim ln y从而可得 lim y= lim eln y =ex 0e0 =1xTo运用罗比达法则进行极限运算的基本思路",单调递减区间为 1,2【题型示例】证明：当 X 0时，ex X 1 【证明示例】1. （构建辅助函数）设 x =eX-x-1 , （ x 0）2. x =

22、ex -1 0 , （ x 0） x20 =03 .既证：当x 0时，ex x 1【题型示例】证明：当 x 0时，In 1 x : x 【证明示例】1. （构建辅助函数）设 x In 1 x - x , （ x 0）12. : X1 ： 0 , （ x 0）1 +x x ：0 = 03 .既证：当x 0时，In 1 x xO连续函数凹凸性（）【题型示例】试讨论函数y=1 3x2 - X3的单调性、极值、 凹凸性及拐点【证明示例】 f x =6x2 -18x 12r2y =-3x +6x = 3x(x2)y » = -6x +6 = -6 (x _1 )|y" = -3x(x

23、 2 )=02.令彳'解得：丿X = 0, x? = 2y" = -6(X 一1 ) = 0X=1-3.（四行表）X(皿,0)0(0,1)1(1,2)2（2,址）y0+0y+/+/y1M(1,3)r544函数y =1 3x? x3单调递增区间为（o,i）,（i,2）单调递增区间为（-：,0） ,（2, ：）;函数y=13x2-x3的极小值在x=0时取到， 为 f 0 =1,极大值在x=2时取到，为f 2 =5；函数y =1 3x2 -x3在区间（-“,0）,（0,1）上凹， 在区间（1,2）,（2,上凸；函数y =1，3x2X3的拐点坐标为1,3第五节函数的极值和最大、最小值

24、O函数的极值与最值的关系（）设函数f x的定义域为 D，如果 xM的某个邻C域U xM i二D，使得对U Xm ，都适合不 等式 f x : f Xm ,我们则称函数 f （x ）在点"xM, f （xl处有极大值 f Xm ；令 xM "'xM 1, xM 2 , xM 3,., xMn 匚贝U函数f x在闭区间a,b 1上的最大值M满足:M =maxtf a ,XmXm2,Xm3,，, f b ?；设函数f x的定义域为D ,如果 xm的某个邻域U x i = D，使得对U xm，都适合不等式 f X f Xm ,我们则称函数f （x ）在点_xm, f （xm

25、 ）1处有极小值f Xm ；令 Xm1,Xm2,Xm3,.,Xmn；贝U函数f x在闭区间l.a,b 1上的最小值 m满足：m=mi n'f a , Xm1, Xm2,Xm3,，Xmn, f b ?； 【题型示例】求函数 f X =3x-x3在1-1,3 1上的最值【求解示例】1 v函数f X在其定义域1-1,3上连续，且可导2f x 二 _3x 32 .令 f x - -3 x -1 x 1 = 0,解得：X<| = -1, X? = 13.(三行表)X-1(-1,1)1(1,3】(X)0+0f(x)极小值极大值4.又v f ：i-1 = -2,f 1 = 2, f 3 = -

26、18 f X max = f 1 =2, f X min = f 3产-18第六节函数图形的描绘（不作要求）第七节 曲率（不作要求）第八节方程的近似解（不作要求）第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质O原函数与不定积分的概念（）原函数的概念：假设在定义区间I上，可导函数F x的导函数 为F x ,即当自变量x I时，有F'x=f x或 dF xj=f x dx成立，则称F x为f x的一 个原函数原函数存在定理：（）如果函数f x在定义区间I上连续，则在I上 必存在可导函数 F x使得F x = f x，也就是 说：连续函数一定存在原函数（可导必连续）不定积分的概念（）在定义区间I上

27、，函数f x的带有任意常数项C的原函数称为f x在定义区间I上的不定积分， 即表示为：.f x dx = F xi'C（称为积分号，f x称为被积函数，f x dx称为积分表达式，x则称为积分变量）O基本积分表（）O不定积分的线性性质（分项积分公式）（）'|_k1 f x k?g x dx * f x dx k2 g x dx第二节换元积分法O第一类换元法（凑微分）（）（dy f x dx的逆向应用）.flx "xdxf 伫x dF'lx【题型示例】求 2dxL a +x【求解示例】1x 1 丄 x arcta n C a ad a【求解示例】解：2x1二 2

28、x 1 CO第二类换元法(去根式)()(dy f x dx的正向应用)对于一次根式(a = 0,b R ):1d 2x 12*2x 1,arr:令tar正，于是xb,a则原式可化为t对于根号下平方和的形式(a 0): 2 2、a x :令 x =atant （ t ）, 2 2x于是t二arctan，则原式可化为 asect ；a对于根号下平方差的形式(a 0):i: 22"a., a -x :令 x =asint ( t ),22x是t =arcsin，则原式可化为 a cost ； ab - xG2：令 xFsed （ Ot 石）,【题型示例】求a是t二arccos-，则原式可化

29、为 ata nt ； x1dx (一次根式).2x 1【求解示例】解為x【题型示例】求t 曹11 tdt 二 i dt =t C =2x1 Cx孑寿 tdx dtdt一 a2 _x2 dx （三角换元）【求解示例】x :asint （ . . t： ）：a 222 r a2 ! cos2 tdt1 cos2t dt解： a2 -x2dxxLt zarcsin dx "acosta2 ''1g2tsi n 2t C t sin t cost C2 22第三节分部积分法O分部积分法()设函数u二fx , v二gx具有连续导数，则其分部积分公式可表示为：udv = uv -

30、 vdu分部积分法函数排序次序：“反、对、幕、三、指”O运用分部积分法计算不定积分的基本步骤：遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序；就近凑微分：(vdx = dv)使用分部积分公式：udv = uv- "vdu展开尾项 vdu = v u dx，判断a. 若 v-udx是容易求解的不定积分，则直接计算出答案(容易表示使用基本积分表、换元法 与有理函数积分可以轻易求解出结果)；b. 若 v u dx依旧是相当复杂，无法通过a中方 法求解的不定积分，则重复、，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环， 则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C【题型示例】求 ex x2dx【求

31、解示例】解: ex x2dx = x2exdx = x2dex =x2ex - exd x2= x2ex-2 xexdx=x2ex-2 x d ex= x2ex -2xex 2 exdx =x2ex - 2xex 2ex C【题型示例】求 ex sinxdx【求解示例】解: ex sin xdx = -Jexd (cosx )= -ex cosx + Jcosxd(ex )=-ex cosx 亠 iex cosxdx = -ex cosx 亠 i exd sin x=-ex cosx ex sin x - :sin xd exxfl xx-e cosx e sinx - e sinxdx即：e

32、x sin xdx - -ex cosx exsin x - sin xd exx 1 xex sin xdxex si nx-cosxi亠 C2第四节 有理函数的不定积分O有理函数()设.P x _ p x 二 a°xm qxm， amQ(x)q(x)=b0Xn+bXnd+ + bnP (X )对于有理函数，当P x的次数小于 Q x的Q(x)P f X 次数时，有理函数是真分式；当P x的次数Q(x)P（X 大于Q x的次数时，有理函数是假分式Q（x）O有理函数（真分式）不定积分的求解思路（）P（x 将有理函数的分母Q x分拆成两个没有Q（x）“公因式的多项式的乘积：其中一个多项

33、式可以表示k为一次因式 x-a ；而另一个多项式可以表示为二次质因式 x2 px q ，（ p2 -4q ： 0）；2x , dx =x 1=xdx -X 1 X - X 11dx 二 x 1bX + 1I1 1 2dxdx x - x l n x 1 i 亠 CxL1dx第五节积分表的使用（不作要求） 第五章定积分极其应用第节第二节定积分的概念与性质O定积分的定义（）即：Q x =Q x Q2 xbna f x dx = lim ' f i ：_Xi = Ia'0 i J般地：mx n = m I x n，则参数 a =I m丿m22 b cax bx c 二 a I x x

34、I a a丿则参数p = b, q = Ca a（f x称为被积函数，f x dx称为被积表达式，x 则称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限， l.a,b 1称为积分区间）O定积分的性质()bb a f X d a f u duP2 x21x px qbk a f xdx（线性性质）x k2g xbx dx k2 a g x dxP(x )则设有理函数的分拆和式为：Q(x)P x P xP2 xQ x x _ a 1 x2 px q其中P (x) _ A + A + + A2.kx -a xa xa xaM1x N1M2x N22:22x px q x px q（积分区间的可加性）bcba f xdxa f Xdx c f Xdx若函数f x在积分区间a, b 1上满足f x 、0 ,b则 f x dx 0 ; a2（推论一）若函数f x、函数g x在积分区间a, bl上满M2N2bbJ f (x)dx 兰 f f (x)dxaL a+M1X+N121x px qM参数A，A，Ak，LN数法（比较法）求出得到分拆式后分项积分即可求解2【题型示例】求 dx （构造法），x+1【求解示例】bb足 f x _ g x ，贝Vf x dx g x dx;b aba(推论二)O积分中值定理（不作要求）第三节微积分基本公