浙江省嘉兴市高考数学一模试卷(理科)

1、奋斗没有终点任何时候都是一个起点2016年浙江省嘉兴市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）1 .函数f1的最正周期为（）A.7TB.C.兀 D. 2兀信达2.设函数fW =则ff （1）的值为（2x x=C 012x 340A. - 6 B. 0C. 4D. 53 .设变量x, y满足约束条件：,则目标函数z=2x+3y+4的最小值为()2K y 340A. 10B. 11C. 12D. 274 .右a是第二象限角，t.丁U二三,贝+值)=()_ 334, 3；A. B. C.言D. 土餐5|5|55

2、：5 .已知 f (x) =ax3+b3M+4 (a, b C R), flg (log 32) =1 ,则 flg (log 23)的值为()A. - 1 B. 3C. 7D. 8其中 AB=Vt+i|，AD=Vi+2，贝感丽=(6.如图，B、D是以AC为直径的圆上的两点,D. 2t(a>0, b>0),若焦点F (c, 0)关于渐近线x的对称点在另一条渐近线y=x上，则双曲线的离心率为(A. B. 2C. . : D. 38 .已知三棱锥 ABC邛,AB±CD且AB与平面BCD成60°角.当的值取到最大值S&BCDSAACDA. 30° B

3、, 45° C.60° D. 90°时，二面角A- CD- B的大小为(二、填空题(本大题共 7小题，共36分)9 .设全集 U=R 集合 A=x|1 <xW3, B=x|x >2,则 AA B=, AU B=, AA (? rB) =.10 .已知命题p：“若a2=b2,则a=b",则命题p的否命题为 ,该否命题是一个 命题.(填“真"，"假”)11 .如图是一个几何体的三视图，正视图是边长为2的正三角形，俯视图是等腰直角三角形，该几何体的表面积为,体积为.12 .若函数f (x)是哥函数，则f (1) =,若满足f (

4、4) =8f (2),则£得)=.13 .空间四点 A、B C D满足|AB|=1 , |CD|=2 , E、F分别是AD. BC的中点，若 AB与CD 所在直线的所成角为 60。，则|EF|= .14 .已知F1, F2分别是椭圆C: 二9+3=1 (a>b>0)的左右焦点，A是其上顶点，且AF1F2是等腰直角三角形，延长AF2与椭圆C交于另一点B,若AFiB的面积为6,则椭圆C的方程为.15 .已知等差数列an?两足 a9V0,且 a8> |a 9 ,数列bn满足 bn=anan+1an+2 (nC N), b n的 前n项和为Sn,当S取得最大值时，n的值为.

5、三、解答题(本大题共 5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.在 ABC中，角 A B、C分别是边a、b、c的对角，且 3a=2b,(I )若 B=60° ,求 sinC 的值；(n)若 b - C=g,求 cosC 的值.17 .如图，平行四边形 ABCDL平面 CDE AD=DC=DE=4 / ADC=60 , AD± DE(I )求证：DE1平面 ABCD(n)求二面角 C- AE- D的余弦值的大小.18 .已知函数 f (x) =x2+ax+1,(I )设g (x) = (2x - 3) f (x),若y=g (x)与x轴恰有两个不同的交

6、点，试求a的取值集合；(n)求函数y=|f (x) |在0, 1上的最大值.19.过离心率为坐的椭圆222C：的右焦点/b2F (1, 0)作直线l与椭圆C交于不同的两点 A B,设|FA|二入|FB| , T (2, 0).(I)求椭圆C的方程；(n)若1W入w 2,求 ABT中AB边上中线长的取值范围.20.数列an各项均为正数，a1=7,且对任意的n N*,者B有an+1=an+can2 (c>0). zc c 1(1)求不式+!它的值；(2)若c=-,是否存在nCN,使得an> 1,若存在，试求出n的最小值，若不存在,2016请说明理由.2016年浙江省嘉兴市高考数学一模试

7、卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的)1.函数f (工)=sin2K+J3cci52箕的最正周期为()r 兀八r cB. C.兀 D. 2 Tl2三角函数的周期性及其求法. X由已知利用两角和的正弦函数公式化简函数解析式可得f (x) =2sin (2xr),JA.【考点】【分析】利用三角函数的周期公式即可求值得解.【解答】B： f Cx)=sin2x+/3cos2x=2sin (2x+-), J口 ,2兀I二取小正周期 T=;r-=兀.故选：C.2.设函数 式工)二<，则ff (1)的值为(

8、)2x 工< 0A. - 6 B. 0C. 4D. 5【考点】分段函数的应用；函数的值.【分析】直接利用分段函数化简求解即可.工 2 - 4 j 0【解答】 解：函数-，贝U ff (1) =f (1 4) =f ( 3) =- 6.2 x<o故选：A.3.设变量x, y满足约束条件:* K-y+1)。,则目标函数z=2x+3y+4的最小值为()- v - 340A. 10 B. 11 C. 12 D. 27【考点】简单线性规划.【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解, 联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.k+l 3Ao【解答】

9、解：由约束条件J x-y+l>0 作出可行域如图，2s- y - 340(x4-y -* 3=0联立,解得A (2, 1),2k - y - 3=0，一一一一 .、，2 仝 M化目标函数 z=2x+3y+4为尸 - w用,9 H 4由图可知，当直线 尸-巨肝 过A时，直线在y轴上的截距最小,z有最小值为11.33故选：B.7)=()4 .若“是第二象限角,C.A.【考点】两角和与差的正切函数；两角和与差的余弦函数.【分析】由条件利用同角三角的基本关系，三角函数在各个象限中的符号，求得cos(4卜n)的值.7T714 miM/十“)冗【解答】解：a是第二象限角， 3七十。)1=，口r+a为

10、第三项象U1限角.- sin Jr+Q )+ms (十篁)=1, sin -十篁)<0, cos -十Q) <0, JU'J ,丸3求得GOM (+篁) = - -,故选：A.5 .已知 f (x) =ax3+bMi+4 (a, b C R), flg (log 32)=1 ,则 flg (log。)的值为()A. - 1 B. 3C. 7D. 8【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的值.【分析】易判lg (log 23)与lg (log互为相反数，构造函数f (x) =g (x) +4,即g (x)=ax3+b30，利用g (x)的奇偶性可求结果.【解答】 解：,lg (l

11、og 23) +lg (log 32)=lg (log 23?10g 32)=lg1=0 ,1 lg (log 23)与 lg (log 32)互为相反数，令 f(x)=g (x) +4,即 g(x) =ax3+b3|,易知 g (x)为奇函数，则 g(lg(log 23) +g (lg(log 32) =0, f (lg (log 23) +f (lg (log 32) =g (lg (log I) +4+g (lg (log 32) +4=8,又 f (lg (log 23) =1, f (lg (log 32) =7,故选：C6 .如图，B、D是以AC为直径的圆上的两点， 其中ABWIT

12、il，贝感而二（）A. 1 B. 2C. tD. 2t【考点】向量在几何中的应用.【分析】 可连接CD CB,从而得到CDL AD, BC1AB,这便可得到|AC|cogZDAC=|AI) |，|AC|cogZBAC=AB b从而得出 至森工唯“也,不二|75- I屈|工 带入AD=V t+2, A&=、便可求出 匠*标的值.【解答】解：如图，连接 CD CB;,AC为直径；.-.CD± AD, BC± AB;=- -r r.=I ,二：. t|1 .:i门：=t+2 - ( t+1 ) =1.故选A.7 .已知双曲线J=1 (a>0, b>0),若焦点

13、F (c, 0)关于渐近线y上x的对称点在U礴a另一条渐近线y=-kx上，则双曲线的离心率为()aA.-： B. 2C.- D. 3【考点】双曲线的简单性质.【分析】首先求出Fi到渐近线的距离，利用焦点 F (c, 0)关于渐近线y上x的对称点在另一条渐近线y=-x±,可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率.a【解答】解：由题意，Fi (- c, 0), F2 (c, 0), k be 设一条渐近线方程为 y=x,则Fi到渐近线的距离为=;=b.aV 整+/设Fi关于渐近线的对称点为 M FiM与渐近线交于 A, |MFi|=2b , A为FiM的中点,又焦点F (c, 0)关于渐近

14、线y上a的对称点在另一条渐近线y=-二x上，aa.OA/ F2M 1 / FiMF为直角,MFF2为直角三角形，由勾股定理得4c2=c2+4b23c2=4 (c2- a2),c2=4a2,1. c=2a , 1. e=2.故选：B.iabcd8.已知三棱锥 ABC邛，AB±CD且AB与平面BCD成60°角.当的值取到最大值SAACD时，二面角A- CD- B的大小为()A. 30° B, 45° C. 60° D, 90°【考点】 二面角的平面角及求法.s【分析】根据直线和平面所成的角，求出 产旦的值取到最大值时的条件，进行求解即可.

15、【解答】 解：过A作AOL平面BCD连接BO并延长交CD于E,连接AE,贝U BE是AB在底面BCD141射影，则/ABE=60 ,-. AB± CD AOL CD,.-.A0±¥面 ABE,即 AE± CD则/ AEB是二面角 A- CD- B的平面角，则红星空里，S*CD抑曲蛆要使注里的值取到最大值，则 叫取得最大，IAACD时由正弦定理得巴=吃“彳暨，AE smbO当sin / BAE取得最大值，即当/ BAE=90时取最大值.此时/ AEB=30 ,故选：A二、填空题(本大题共 7小题，共36分)9.设全集 U=R 集合 A=x|1 <x&

16、lt;3, B=x|x >2,则 AA B= x|2 <x< 3 , AU B= x|x >1, AA ( ?rB) = x|1 vx<2.【考点】交集及其运算；交、并、补集的混合运算.【分析】由A与B,求出两集合的交集，并集，找出 A与B补集的交集即可.【解答】 解：.全集 U=R 集合 A=x|1 <x<3 , B=x|x >2,即？RB=x|x v 2,.An B=x|2 <x< 3, AU B=x|x >1, AA ( ?RB) =x|1 <x<2, 故答案为：x|2 <x< 3, x|x >

17、;1, x|1 <x<2 10.已知命题p：“若a2=b2,则a=b",则命题p的否命题为 若a2w b2则aw b ,该否命题 是一个 真 命题.(填“真”，"假”)【考点】四种命题间的逆否关系；四种命题的真假关系.【分析】根据命题：“若p,则q”的否命题为“若p,则q"，写出它的否命题，再判定真假性.【解答】 解：命题p： “若a2=b2,则a=b”，则命题p的否命题为“若 a2w b2,则awb”，该否命题是一个真命题.故答案为：“若a2w b2,则awb”，真.11 .如图是一个几何体的三视图， 正视图是边长为2的正三角形，俯视图是等腰直角三角

18、形,该几何体的表面积为144V5 +5 ,体积为.3【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由三视图可知：该几何体为一个三棱锥 P-ABC底面 ABC是等腰直角三角形，PBC是边长为2的正三角形，且平面 PBCL底面ABC利用三角形面积计算公式、三棱锥的 体积计算公式即可得出.【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个三棱锥 P- ABC底面 ABC是等腰直角三角形, PBC是边长为2的正三角形，且平面 PBCL底面ABC，该几何体的表面积为=X 224卜唔=4+6+小，11?-体积V='=3/33故答案分别为：4+Vs+Vt；2坐12.若函数f (x)是哥函数，则f (1) = 1 ,若

19、?足f (4) =8f (2),则f(4) 【考点】函数的值.【分析】设f (x) =x"，由哥函数的性质能求出结果.【解答】 解：:函数f (x)是募函数，设 f (x) =x",.f (1) =1,满足 f (4) =8f (2),.4'=8X2"，解得 a =3,吟=佳故答案为:1,2713 .空间四点 A、B C D满足|AB|=1 , |CD|=2 , E、F分别是AD BC的中点，若 AB与CD所在直线的所成角为 60。，则|EF|= 区或也.rrrrri【考点】点、线、面间的距离计算.FO/ AB,且 |FO|= , /【分析】 取BD中点O

20、,连结EO FO,推导出EO/ CD且|EO|=1 ,EOF （或其补角）是异面直线 AB与CD所成的角，由此能求出EF.【解答】解：取BD中点0,连结EO FQ四面体ABC邛，|AB|=1 , |CD|=2 , E、F分别为BG AD的中点，且异面直线 AB与CD所成的角为60° ,EO/ CD 且 |EO|=1 , FO/ AB,且 |FO|二 / EOF（或其补角）是异面直线 AB与CD所成的角, ./ EOF=60 或 120° ,/ EOF=60 ,/EOF=120 ,EF=.I -14 .已知Fi, F2分别是椭圆 C: +-=1 （a>b>0）的左

21、右焦点，A是其上顶点，且AFF2是等腰直角三角形，延长 AF2与椭圆C交于另一点B,若ARB的面积为6,则椭圆C的方22程为 J 4马二二1 .99【考点】椭圆的简单性质.22【分析】由AF1F2是等腰直角三角形，可得 b=c,可设椭圆的标准方程为：/一十 J=1 (b2b?>0).在 RtABFi 中，由勾股定理可得：| 2+|AB| 2二|F?B | 2, |AFz|=|AF 产退' 设|BF2|=m,贝U |BFi|=2a m=2/b m, 2b2+(&b+m) ?=(2脏匕-m) ,又京|AF1 | |阳信 X百bx (&b+m)=6,联立解出即可得出.【

22、解答】解：. AF1F2是等腰直角三角形，b=c,22可设椭圆的标准方程为：=+tt=1 (b>0).在 RtABF 中，由勾股定理可得：lAFi I 2+|AB| 2=|F2B I 2,|AF2|=|AF i|4/2b,设 |BF2|=m,则 |BFi|=2a - m=2b - m代入可得：2b2+(&b+ni)1电屏-m)2,又白|A1| |AB|4x百bx【企卜+加=6,联立解得b2号，22椭圆的标准方程为：工斗_4L=i .9故答案为:15.已知等差数列an满足 a9<0,且 a8> |a 9| ,数列bn满足 bn=anan+1an+2 (nC N*), b

23、 n的 前n项和为当S取得最大值时，n的值为 8 .【考点】等差数列的前n项和.【分析】设等差数列an的公差为d,由满足a9< 0,且a8>|ag| ,可得d< 0, a&> - ag> 0, 因此当 nw8 时，an>0;当 n>9 时，anv 0. Sn=a1a2a3+a2a3a4+a6a7a8+a7a8a9+a8a9al0+a9a10ali+ +anan+an+2,当 nW 6 时，Sn 的每一'项都大于 0,当 n>9 时，anan+en+2V 0,只要计算 a7a8a9+a8a9a10 与0的关系即可得出.【解答】 解：

24、,设等差数列an的公差为d, 满足a9V 0,且a8>|a9|, dv 0, ag+a9>0,a&> a9>0).二当 nw 8时，an>0;当 n>9 时，an<0.S=a1a2a3+a2a3a4+a6a7a8+a7a8a9+a8a£10+29a 10311+2口2口+何口+2)当nW6时，&的每一项都大于 0,当n>9时，anan+初n+2V。，而 a7a8a9V 0, a8a9a10°,并且因此当Sn取得最大值时，n=8.故答案为：8.a7+a1o)=a8a9 (a&+a9)> 0,三、解答

25、题(本大题共 5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16 .在 ABC中，角 A B、C分别是边a、b、c的对角，且 3a=2b,(I )若 B=60° ,求 sinC 的值；(n)若 b - g,求 cosC 的值. J【考点】正弦定理.【分析】(I )利用正弦定理化简已知可得3sinA=2sinB ,由已知可求sinA ,利用大边对大角可得A为锐角，可求cosA,利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可求sinC的值.cosC的值.(n)设a=2t, b=3t,由已知可求g=b一1利用余弦定理即可得解【解答】(本题满分为14分) 解：(I)在 ABC中,

26、 3a=2b, . 3sinA=2sinB. a：b=2： 3,，解得 sinA=y-又丁 B=60° ,代入得 3sinA=2sin60sinC=gin(A+B)=sinAcosB+cosAsi*, 6(n )设 a=2t, b=3t,贝U g=b 一 二户?, «J JcosC_ 2ab =2X-(2t)3<(3t)2717 .如图，平行四边形 ABCDL平面 CDE AD=DC=DE=4 / ADC=60 , AD± DE(I )求证：DE1平面 ABCD(n)求二面角 C- AE- D的余弦值的大小.【考点】直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法

27、.【分析】（I）过 A作AH，DC交DC于H证明AHL DE, AD± DE然后证明D已平面ABCD（n ）过 C作CML AD交AD于M,过 C作CNL AE交AE于N,连接 MN说明/ CNM是所求 二面角的一个平面角.然后求解即可.【解答】（本题满分15分）证明：（I ）过 A作AHI DC交DC于H.平行四边形ABCDL平面CDE .AH,平面 CDE又丁 DE?平面CDE-.AHI± DE 由已知 AD± DE ,AHA AD=A 由得，DE1平面ABCD解：（口）过 C作CMLAD交AD于M,过C作CN!AE交AE于N,连接MN由（I ）得DE1平面A

28、BCD又 DE?平面ADE平面ADEL平面ABCD .CML AE,又 CN垂直 AE,且 CMT CN=C二AE，平面CMN得角CNM是所求二面角的一个平面角.X . CM=23,18.已知函数 f (x) =x2+ax+1,(I )设g (x) = (2x - 3) f (x),若y=g (x)与x轴恰有两个不同的交点，试求a的取值集合；(n)求函数y=|f (x) |在0, 1上的最大值.【考点】函数的最值及其几何意义.【分析】(I)分类讨论，从而由 f (x) =0恰有一解及f (x) =0有两个不同的解求得；(n)分类讨论，从而确定二次函数的单调性及最值，从而确定函数y=|f (x)

29、 |在0,1上的最大值.【解答】解：(I) (1)若f (x) =0恰有一解，且解不为 , 即 a2-4=0,解得 a=±2;(2)若f (x) =0有两个不同的解，且其中一个解为-y,代入得|亭十1二。，故kY;综上所述，a的取值集合为-二，-2, 2.6(n) (1)若一号<0,即a>0时，函数y=|f (x) |在0, 1上单调递增，故 ymax=f (1) =2+a;(2)若即-2vav0 时,此时 =a2- 4<0,且f (x)的图象的对称轴在(0, 1)上，且开口向上;f(0)s f (1) =max fl,(3)若 一 £>1，即 aw

30、 - 2 时,1 :此时 f (1) =2+a<0,y=max f(0)i ' f (l)=max 1, -2TUSK综上所述,19.过离心率为 返2的椭圆F (1, 0)作直线l与椭圆C交于不同的两点 A B,设|FA|二入|FB| , T (2, 0).(I)求椭圆C的方程；(n)若1W入w 2,求 ABT中AB边上中线长的取值范围.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程.【分析】(I)由题意可得 巴=返，c=1, a2=b2+c2,联立解出即可得出.2(n)当直线l的斜率为0时，不成立.于是可设直线l的方程为：my=x- 1,设A (xi, yj,B(X2, y2),与椭圆方程联立可得：(m2+2) y2+2my- 1=0,由|FA|二入|FB| ,可得y产一入y2,再利用根与系数的关系代入可得:用AB边上的中线长为 上|行+读|寺&町+年力+%)2,及其二次函数的单 调性即可得出.【解答】解：(I) ,卜, c=1, a2=b2+c2,c=l=b,，椭圆C的方程为：竽4y二1.(n)当直线l的斜率为0时，显然不成立.因此可设直线l的方程为：my=x- 1,设A(x1, y1)，B(X2, y2),直线l的方程与椭圆方程联立可得：(