（整理版）幂函数要点精析

1、幂函数要点精析一、 重点与难点学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，要熟记= 1，2，3，1时幂函数的图象、性质，把握幂函数的关键点(1，1)和利用直线y = x来刻画其它幂函数在第一象限的凸向二、 重点知识精析1幂函数的一般形式为y = x，其中x 是自变量，是常数，其定义域是使x有意义的x值的集合幂函数的定义域随幂指数的变化而变化，所以应根据各种幂指数的意义来确定幂函数的定义域2由幂函数定义可知，函数y = 2x、y = x1等都不是幂函数反比例函数y =(k0)，一次函数y = kxb (k0)，二次函数y = axbxc (a0)中，分别当k = 1，k = 1且b = 0

2、，a = 1且b = c = 0时，即y = x，y = x，y = x是幂函数，当这些条件不具备时，它们均不符合幂函数的定义，但它们是由幂函数经过算术运算而得到的初等函数3幂函数与指数函数的主要区别是：幂函数是底数为变量，指数函数是指数为变量因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决4幂函数的图象和性质：幂函数的图象的位置和形状变化复杂，只要幂指数稍有不同，图象的位置和形状就可能发生和大的变化幂函数的图象都过点(1，1)，除原点外，任何幂函数的图象与坐标轴都不相交当= 1，3和1时，幂函数y = x的图象在第一或第三象限；当=

3、2时，幂函数y = x的图象在第一或第二象限；=时，幂函数y = x的图象在第一象限就是说，任何幂函数的图象一定经过第一象限且一定不经过第四象限当= 1，2，3，时，幂函数图象过原点，且在0，上是增函数，此性质还可以推广到当0时也成立当=1时，幂函数图象不过原点，且在(0，上是减函数，在第一象限内，函数y = x的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近(假设再用描点法做出=2或=3等函数的图象，还可以得到=1时的幂函数图象的性质就是0时的幂函数图象的根本性质按照函数奇偶性定义，函数y = x、y = x和y = x都是奇函数，函数y = x是偶函数，由于函数y = x的定义域关于原点不对称

4、，函数在其它象限无图象，只在第一象限有图象，所以函数y = x是非奇非偶函数任何两个幂函数的图象最多有三个公共点5应用幂函数的单调性比拟大小时，应将幂指数变为相同，且幂的底数为正数，分别比拟，并且注意分别与0与1，与1比拟，从而确定大小关系6利用幂函数知识解题时，要注意数形结合，并且注意幂函数的图象在第一象限内凸凹情况需和直线y = x比拟作幂函数的图象关键是利用幂函数的有关特性先作出在第一象限内的图象，然后再根据定义域、值域以及奇偶性作出在其它象限内的图象(如果存在的话)三、 典型例题解析例1 确定m的值，使幂函数= (mm1)x的图象在第一象限内呈下降趋势分析：对于带字母参数的函数是幂函数时，一定要使系数为1，而幂指数按题设情况而定解：依题意有：m= 0或m = 1例2 如果幂函数= x(q)为奇函数，且图象过原点，求证= x(q)在(，)上为增函数证明：由幂函数= x的图象过坐标原点，从而有0，= 0由幂函数的特性知在(0，上是递增函数，又据是奇函数可知，在(，0上也是递增函数，设x0x，那么故= x(q)在(，)上为增函数例3 幂函数= x(mz)的图象与x、y轴都无交点，且关于原点对称求函数= x的解析式；讨论函数=的奇偶性解：因为函数图象与x轴、y轴都无交点，所以m10，解得1m1，又图象关于原点对称，且mz，所以m = 0= x=bx因此，的奇偶性，由参数a、