（整理版）平面向量基本定理及向量的坐标表示

1、5-2平面向量根本定理及向量的坐标表示根底稳固强化1.(文)(·重庆文)向量a(1，k)，b(2,2)，且ab与a共线，那么a·b的值为()a1b2c3d4答案d解析a(1，k)，b(2,2)，ab(3，k2)，(ab)a，1·(k2)3k，k1，a(1,1)，a·b224.(理)(·沈阳质检)在abc中，m为边bc上任意一点，n为am的中点，那么的值为()a. b.c. d1答案a解析此题考查向量的线性运算据n为am的中点，可得，整理得22，由于点m在直线bc上，故有221，即.a(1,0)，b(1,3)，向量a(2k1,2)，假设a，那么实

2、数k的值为()a2 b1c1 d2答案b解析(2,3)，a，2(2k1)3×20，k1，选b.(理)(·昆明一中检测)向量a(x,1)，b(2,1)，c(1，y)，假设a(bc)，那么yx等于()a2b1c0d1答案b解析b(2,1)，c(1，y)，bc(1,1y)，a(bc)，a(x,1)，a·(bc)x(1y)0，yx1.3(·嘉兴模拟)a，b是不共线的向量，ab，ab，r，那么a、b、c三点共线的充要条件为()a2 b1c1 d1答案d解析与共线，a与b不共线，10，应选d.4(·湖北省孝感模拟)在四边形abcd中，a2b，4ab，5a3

3、b，其中a，b不共线，那么四边形abcd为()a平行四边形 b矩形c梯形 d菱形答案c解析8a2b2，四边形abcd为梯形5(·山东高考调研)平行四边形abcd，点p为四边形内部或者边界上任意一点，向量xy，那么“0x，0y的概率是()a. b.c. d.答案a解析根据平面向量根本定理，点p只要在如下图的区域ab1c1d1内即可，这个区域的面积是整个四边形面积的×，故所求的概率是.6如图，abc中，addb，aeec，cd与be交于f，设a，b，xayb，那么(x，y)为()a. b.c. d.答案c解析设，e、d分别为ac、ab的中点，ab，(ba)(ab)a(1)b，与

4、共线，bbab，故x，y.7(文)(·杭州模拟)向量a(sinx,1)，b(cosx，3)，且ab，那么tanx_.答案解析ab，tanx.(理)a(2，3)，b(sin，cos2)，假设ab，那么tan_.答案解析ab，2cos23sin，2sin23sin20，|sin|1，sin，cos，tan.8(文)(·西安五校第二次联考)梯形abcd中，abcd，ab2cd，m，n分别是cd，ab的中点，设a，b.假设manb，那么_.答案4解析abaab，m，n1，4.(理)e1(2,1)，e2(2，1)，点p的坐标(x，y)满足方程y21，假设ae1be2(a，br，o为坐

5、标原点)，那么a、b满足的一个等式是_答案4ab1解析因为e1(2,1)，e2(2，1)，所以ae1be2a(2,1)b(2，1)(2a，a)(2b，b)(2a2b，ab)因为点p的坐标为(x，y)，所以(x，y)，即.因为x，y满足方程y21，所以(ab)21，化简可得4ab1，此即为a、b满足的一个等式9(文)(·北京朝阳区模拟)如图，在abc中，d、e分别是bc、ac的中点，f为ab上一点，且4，假设xy，那么x_，y_.答案21解析(如图)因为×42.所以x2，y1.(理)(·江苏徐州市质检)在abc中，过中线ad的中点e任作一条直线分别交ab、ac于m、

6、n两点，假设x，y，那么4xy的最小值为_答案解析如下图，由题意知()，又m，e，n三点共线，所以(1)(其中0<<1)，又x，y，所以()x(1)y，因此有解得x，y，令t，t>1，那么4xyt(t1)，当且仅当t，即时取得等号10(文)o(0,0)、a(2，1)、b(1,3)、t，求(1)t为何值时，点p在x轴上？点p在y轴上？点p在第四象限？(2)四点o、a、b、p能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由解析(1)t(t2,3t1)假设点p在x轴上，那么3t10，t；假设点p在y轴上，那么t20，t2；假设点p在第四象限，那么，2<t<.(2)(2，1)，

7、(t1，3t4)假设四边形oabp为平行四边形，那么.无解 四边形oabp不可能为平行四边形同理可知，当t1时，四边形oapb为平行四边形，当t1时，四边形opab为平行四边形(理)(·杭州市质检)向量a(1,2)，b(cos，sin)，设matb(t为实数)(1)假设，求当|m|取最小值时实数t的值；(2)假设ab，问：是否存在实数t，使得向量ab和向量m的夹角为，假设存在，请求出t；假设不存在，请说明理由解析(1)，b(，)，a·b，|m|，当t时，|m|取到最小值，最小值为.(2)由条件得cos，|ab|，|atb|，(ab)·(atb)5t，且t<5

8、，t25t50，存在t满足条件.能力拓展提升11.(·湖南十二校第二次联考)平面上有四个互异的点a、b、c、d，满足()·()0，那么三角形abc是()a直角三角形 b等腰三角形c等腰直角三角形 d等边三角形答案b解析()·()()·()()·()·()|2|20，故|，即abc是等腰三角形12(·青岛模拟)如图，在四边形abcd中，abbccd1，且b90°，bcd135°，记向量a，b，那么()a.a(1)bba(1)bca(1)bd.a(1)b答案b解析根据题意可得abc为等腰直角三角形，由bcd1

9、35°，得acd135°45°90°，以b为原点，ab所在直线为x轴，bc所在直线为y轴建立如下图的直角坐标系，并作dey轴于点e，那么cde也为等腰直角三角形，由cd1，得ceed，那么a(1,0)，b(0,0)，c(0,1)，d(，1)，(1,0)，(1,1)，(1,1)，令，那么有得a(1)b.13.(·江西八校联考)如下图，设p、q为abc内的两点，且，那么abp的面积与abq的面积之比为_答案分析因三角形的面积与底和高有关，所以可利用“同底三角形面积比等于高之比的结论计算待求三角形的面积比题设条件中用和给出了点p和点q，故可利用和构造

10、平行四边形将面积比转化为向量长度的比解决解析根据题意，设，那么由平行四边形法那么，得，且四边形ampn为平行四边形，于是npab，所以，同理，可得.故.14设abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c，c2b，向量m，n(1，sinacosa)，且m与n共线(1)求角a的大小；(2)求的值解析(1)mn，sina(sinacosa)0，即sin1.a(0，)，2a.2a.a.(2)由余弦定理及c2b、a得，a22c22··ccos，a2c2，.15圆c：(x3)2(y3)24及定点a(1,1)，m为圆c上任意一点，点n在ma的延长线上，且2，求动点n的轨迹方程解析设n(x

11、，y)，m(x0，y0)，那么由2得，(1x0,1y0)2(x1，y1)，即代入(x3)2(y3)24，得x2y21.16设a、b是不共线的两个非零向量，(1)假设2ab，3ab，a3b，求证：a、b、c三点共线；(2)假设8akb与ka2b共线，求实数k的值；(3)设ma，nb，ab，其中m、n、均为实数，m0，n0，假设m、p、n三点共线，求证：1.解析(1)(3ab)(2ab)a2b. 而(a3b)(3ab)2a4b2，与共线，且有公共端点b，a、b、c三点共线(2)8akb与ka2b共线，存在实数使得(8akb)(ka2b)(8k)a(k2)b0，a与b不共线，822±2，k

12、2±4.(3)证法1：m、p、n三点共线，存在实数，使得，ab，a、b不共线，1.证法2：m、p、n三点共线，xy且xy1，由可得：xmaynbab，x，y，1.1(·江西七校联考)两不共线向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，那么以下说法不正确的选项是()a(ab)(ab)ba与b的夹角等于c|ab|ab|>2da与b在ab方向上的投影相等答案b解析注意到|a|b|1，因此(ab)·(ab)a2b20，所以(ab)(ab)；注意到未必属于(0，)，因此a，b的夹角未必等于；由三角形法那么可知，>1，于是有|ab|ab|>2；结合三角形

13、法那么及一个向量在另一个向量上的投影的意义可知，a，b在ab方向上的投影相等综上所述，其中不正确的说法是b，选b.2(·深圳模拟)在平面直角坐标系中，o为原点，设向量a，b，其中a(3,1)，b(1,3)假设ab，且01，c点的所有可能位置区域用阴影表示正确的选项是()答案a解析ab(3，3)，令(x，y)，那么xy(3)(3)2()0，点c对应区域在直线yx的上方，应选a.3(·北京文)正方形abcd的边长为1，点e是ab边上的动点，那么·的值为_，·的最大值为_答案11解析此题考查平面向量的数量积，建立平面直角坐标系如图，那么b(1,0)，c(1,1

14、)，d(0,1)，设e(x0,0)，那么(0，1)，(1,0)，(x0，1)，·(x0，1)(0，1)1，·x0，而0x01，·的最大值为1.点评将问题转化为坐标运算使问题迎刃而解4g是abc的重心，直线ef过点g且与边ab、ac分别交于点e、f，那么_.答案3解析连结ag并延长交bc于d，g是abc的重心，()，设，()，3.5(·衡阳期末)平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)，请解答以下问题：(1)求满足ambnc的实数m、n；(2)假设(akc)(2ba)，求实数k；(3)假设d满足(dc)(ab)，且|dc|，求d.解析(1)由题意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，所以得(2)akc(34