（整理版）平面法向量的一种简单求法和在求角距离中的应用

1、平面法向量的一种简单求法和在求角、距离中的应用一、 法向量的定义：与平面垂直的向量叫平面的法向量根据定义可知：平面的法向量有多个，方向有两种：向上或向下二、 向量的数量积a·b=a b<a,b><a,b>= 假设a=(x1,y1,z1) b=(x2,y2,z2),那么a·b= a = 三、 向量积：a×ba×b的结果仍然是一个向量使两个向量的起点相同方向：右手手指指向a的方向，自然弯向b，那么大拇指所指的方向就是向量a×b的方向即：a×b垂直平面大小：等于a,b为邻边的平行四边形的面积。如下图： a×

2、b b a由此我们可以通过求两个向量的向量积求平面的法向量a×b的坐标计算设 a=(x1, y1, z1 ) b=(x2 , y2, z2)那么：a×b =y1 y z1 z,-x1 x z1 z,x1 x y1 y其中：二阶行列式 a b c d=ad-bc习惯上：作a×b时，把a写在上，把b写在下 作b×a时，把b写在上，把a写在下练习：a=2，1，0 b =-1，2，1 1求a×b。 2求b×a解：a×b= b×a= 注：根据上述分析要求一个平面的法向量，只要在平面内找出两个同起点的向量作向量积即可。例：如下

3、图，正方体abcd-a1b1c1d1中，棱长为2，e、f分别是dd1、dc的中点。求平面aef的一个法向量 解：以d为坐标原点建立坐标系 a d1 c1 e a1 b1 f e af= ae= d f c a b平面aef的法向量n=( )四、 法向量在求角中的应用。1、 用法向量求线面角。如图 n a a n= 1 2-<a,n> =<a,n>- 1 2两种情况下都有：sin=cos<a,n>因为 2、 用法向量求二面角 n1 1 n2 n1 (2) n2 如果两个平面的法向量选取适宜，那么二面角就等于两个平面的法向量的夹角如第一种情况。因此可以用向量的数

4、量积公式的变形 直接求出二面角。例：如下图，正方体abcd-a1b1c1d1中，棱长为2，e、f分别是dd1、dc的中点。求平面aef和平面abcd所成的二面角。 解：以d为坐标原点建立坐标系 a d1 c1 e a1 b1 f e af= ae= d f c a b平面aef的法向量n1=( )a b ab= 平面abcd的法向量n2= cos< n1,n2>=平面aef和平面abcd所成的二面角是 五、 法向量在求距离中的应用。1、 利用法向量求点到面的距离。如下图： a b c设点a到平面的距离为d=ac= 因为ac垂直于平面，所以ac可以看作平面的一个法向量n，但需注意ac

5、与n的方向相同或相反，所以ab，n=或=-，故cos= 所以d= = 其中b是平面内的任意一点，n是平面的法向量2、 利用法向量求两异面直线之间的距离 如下图： a c a b b o da,b是两条异面直线，ab是两异面直线的公垂线，过直线a上任意一点c做平面的垂线于点o，连接bo，所以bo平行于直线a，且ab=co，在直线b上任意取一点d，连接od。设cd，co=，因为co垂直于平面，所以co可以看作平面的一个法向量n。但需注意co与n的方向相同或相反。所以cd，n=或=-，故cos= 所以两异面直线的距离d=ab=co= = = 其中c，d分别是两异面直线a,b上的任意一点，n是由直线a的平行线bo与直线b所确定的平面的法向量例：如下图，正方体abcd-a1b1c1d1中，棱长为2，e、f分别是dd1、dc的中点。（1） 点g