（整理版）排列组合二项式定理之二――易错篇

1、排列、组合、二项式定理之二易错篇排列组合问题中，元素间的异同关系，元素的重复占位等问题错综复杂，“分类与“分步各环节又相互影响，如果不能审清题意，制定合理、准确的解题方案，就不可防止地出现“重或“漏的错误。本文从排列组合易错问题入手进行分析探讨，希望能成为引“玉之“砖。一、两个根本原理本节思维误区通常是：“完成一件事的任务不明确；分类与分步混淆或分类不准确。例1、4名同学争夺三个工程的冠军，冠军获得者可能的种数是 。错解：每名同学夺冠有三种可能，故有34种。错因分析：上解法误认为每个同学夺冠都有三种可能性，犯了分步混淆的错误。正解：事件是“确定三项冠军有得主，可分为三个步骤：即每一项冠军都有4

2、种可能情况，故冠军获得者可能的种数为43。例2、从100到999的三位数中，含有0的三位数有多少个？错解：将含有0的三位数分为二类：个位数是0的，有9×10=90个；十位数是0的，有9×10=90个。故共有9090=180个。错因分析：分类应注意“不重不漏，上解法中重复计算了个位和十位都是0的情形。正解：将含有0的三位数分为二类：个位数是0的，有9×10=90个；十位数是0的，有9×10=90个；但个位数是0且十位数也是0的9个重复了，故共有90909=171个。二、排列问题本节思维误区通常是：概念模糊；重复或遗漏：类与类之间不相互独立，即类与类之间有重

3、复局部；分类不完备，即分类没有包含所有可能情况；分步设计不合理，缺乏可行性；出现隐性问题；轻视计算或算法不当。例3、8个人排成两排，每排4人，有多少种排法？错解：8个人中取4个人排成一排有种，另4 个人排成一排有种，两排交换位置有种，故共有排法··=80640种。错因分析：事实上，包含了8个人中任取4个人的所有可能的排列，当然也包括了两排互相对调的情形，如再乘以，那么每种排法又重复了一次。此例中的“两排是没有限制条件的，例如：1234、5678两排与5678、1234两排是一样的，即只要是“两排就行了。但如果是排成前后“两排，那么就有顺序限制了，这时1234在前排与5678

4、在前排就是不同的排列了。正解：8个人中取4个人排成一排有种，另4 个人排成一排有种，故共有排法·=40320种。注：由上解法可知，只要没有限制条件，个人不管分几排，每排几个人，都是个元素的全排列问题。例4、4男4女排成一排，任意两名女子不相邻且任意两名男子也不相邻的排法共有多少种？错解1：4名男子与4 名女子的排法分别有种，故共有·=576种；错解2：4名男子的排法有种，4 名女子的排法有，故共有·=2880种；错因分析：错解1是由于考虑不周，遗漏了交换位置的情况，犯了“以偏概全的错误；错解2忽略了题中的条件，即满足了4名男子不相邻而忽略了4名女子也不相邻的情形如

5、：男女男女 女男女男，错把必要条件当作充分条件了。正解：4男4女人数相等，如先排男子，有种排法，由题意，四名女子插入的四个空必须相邻，有两种插入方法，而4 名女子的排法有种，由乘法原理知，不同排法的种数共有2·=1152种。注：此例为“相间排列问题。个男子与个女子“相间的排法共有2种。三、组合问题本节思维误区是：分类不妥或出现重复情形；分步关联不统一；“有序“无序理不清；限制条件不注意。例5、用黄、蓝、白三种颜色粉刷6间办公室，一种色粉刷3间，一种色粉刷2间，一种色粉刷1间，那么共有多少种不同的粉刷方法？错解：由题意，共有种。错因分析：此例错因在于对题目中的事件“分步出错，丢掉了一步

6、即颜色可以相互交换这一步。题目中一种颜色粉刷间数虽不同，但那种颜色粉刷三间或两间或一间却没有限制，因而三种颜色可以相互交换。正解：先分组，再排列，共有粉刷方法种。例6、计算：错解：，至此无法求解了。错因分析：在排列数与组合数公式中，都有限制条件如，且等，上解法中没有考虑限制条件而直接用公式求解，显然是“化易为难了。正解：由题意，又，=2，例7、从8名男医生7名女医生中选派8名医生去执行一项任务，其中男、女医生都有的选派方法有多少种？错解：从8名男医生中任选一人，从7名女医生中任选一人，然后从余下的13名中任选6名，那么共有选派方法种。错因分析：上述解法有重复，原因在于分步过程中男女医生并没有完

7、全独立。如将男医生记为a、b、c、d、，女医生记为a、b、c、d、，按上述解法，那么至少aabcdbcd与bbacdacd是相同的选派方法选派的8名医生与顺序无关。正解：满足条件的选法有以下七类：1男7女，2男6女，3男5女，4男4女，5男3女，6男2女，7男1女。不同选法种数为：种。例8、从6双不同颜色的鞋中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有 种 a480 b255 c240 d120错解：从6双中选一双有种，再从余下的10只中选一只有种，再从余下的8只中选一只有种，共有=480种。错因分析：上解法问题出现在“选一只有种，再选一只有种上，两次选取出现了重复如“红左蓝右与“蓝右红左是同一种选

8、法。正解1：由于不同双的两只与顺序无关，故共有选法=240种。正解2：从6双中选一双有种，再从余下的5双中选2双有种，然后从这两双中各选一只有种，故共有选法=240种。例9、一条长椅共6个坐位，现3人去坐，那么3个空位中恰有2个空位相邻的坐法有多少种？错解：先将3人排成一排有种，再从产生的四个空档中选2个空档分别插入2个空位和1个空位，有种插法，共有坐法=36种。错因分析：从四个空档中选2个空档分别插入2个空位和1个空位有种插法，显然没有考虑顺序问题。2个空档中，2个空位和1个空位插入哪个空档，应是不同的坐法。正解：三人排列有种，三个空位分成2、1两组插入四个空中，共有坐法=72种。例10、4

9、个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？错解：先从4个小球中任选3个放入3个盒中，有种放法，再将余下的一个小球放入有球的3个盒子中的任意一个，有3种放法，共有3=72种放法。错因分析：上述解法既有重复又有遗漏。一方面，从4个小球中任选3个放入3个盒中，没有确定放入4个盒子中的哪3个盒子中，步骤不完整，只是其中局部放法；另一方面，将余下的一个小球放入有球的3个盒子中，由于先后顺序的不同，使得有2个球的盒子中的2个球进行了隐性排列。正解1：第一步：确定一个空盒有种方法；第二步：确定放两个球的盒子有种方法；第三步：从4个球中选2个球放入已确定放两球的盒子中有种方

10、法；第四步：将余下的2个球放入已确定放入1个球的两个盒子中有2种放法，从而共有2=144种放法。正解2：将4个球分成2、1、1、0四组，有种分法。然后将这四组球放入四个盒子中，有种方法，故共有放法=144种。例11、四面体的一个顶点为a，从其余顶点以及棱的中点中任取3个点，使它们和点a在同一平面上，那么不同的选取方法有 种 a30 b33 c36 d39错解：四面体有4个顶点，6条棱有6个中点，每个面上的6个点是共面的。点a所在的每个面由含a的四个点组合，有个。点a在三个面内，故共有3=30个。所以选a，也有选c和d的错解。错因分析：此题的目的在于考查组合知识和空间想像能力。错解产生的原因在于

11、没有将各棱上的3点与其对棱的中点共面的情形考虑进去，从而出现遗漏的情况。正解：在上述错解的根底上，还有一种符合题意的情况，即点a所在棱上的3 个点与其对棱的中点这四点共面，这样的情形有3种。故符合题意的取法有33=33个。例12、用黄、蓝、白三种颜色粉刷6间办公室，一种颜色粉刷3间，一种颜色粉刷2间，一种颜色粉刷1间，那么粉刷这6间办公室共有多少种不同的方法？错解：共有=60种。错因分析：此题出错原因在于对题目中的事件分步有错，丢掉了颜色可以轮换这一种情形。正解：先将6间办公室分成3组，有种分法。再用3种颜色去粉刷，有种方法，由乘法原理可得，共有=360种粉刷方法。四、二项式定理问题本节思维误

12、区通常是：将二项式定理中的项与项数、系数与二项式系数混淆；不能正确应用二项式系数的性质。例13、设展开式中，第二项与第四项的系数之比为12，求项。错解：展开式中第二项的系数为，第四项的系数为，由题意，得=12，解得。设展开式中项为第项，那么，由，得，即展开式中项为。错因分析：此题错在将“系数与“二项式系数混为一谈。正解：展开式中第二项与第四项分别为、，依题意有=12，解得。设展开式中项为第项，那么，由，得，即展开式中项为。例14、假设展开式中第五项是常数，问中间项是第几项？错解：由及第五项为常数项，得，解得，又为自然数，故此题无解。错因分析：此题错误在于颠倒了和的顺序而造成的，使用二项式定理时

13、要严格按照中第一个字母的降幂顺序解题，不可随意颠倒、的顺序。正解：，由第五项为常数项得，解得，所以中间项是第9项。例15、由展开所得的的多项式中，系数为有理数的有 项？错解：由于、的根指数的最小公倍数为6，且展开式中共有关101项，由101=16×65知，展开式中系数为有理数的项共有16项。错因分析：此题错在忽略了可以取0的情形。正解：由通项公式知，要使为有理数，由于2和3互质，所以必须与均为有理数，即，必须都为整数，即必须为6的倍数。又，故满足题设条件的有17个，亦即系数为有理数的项共有17项。例16、设的展开式中的第4项的系数与第+2项的系数相等，求的值。错解：由题意，得，解之得

14、，而为自然数，故此题无解。错因分析：上述解法错在由。实际上，由是的必要条件而非充分条件。上解法错把必要条件当充要条件解题，因此得出错误结论。正解：由通项公式，得第4项的系数为，第+2项的系数为，由题意得=，或，又为自然数，=4。试题集粹：1、用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是_ _. 2、5人担任5种不同的工作，现需调整，调整后至少有2人与原来工作不同，那么共有不同的调整方法_种.3、从4台甲型电脑和5台乙型电脑中任取3台，其中至少两种电脑各1台，那么不同的取法种数有 种. 4、从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个

15、面不相邻的选法共有 种. 5、5本不同的书，全局部给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数有 种.6、在的展开式中，含的项的系数是 .7、设那么中奇数的个数有 个.8、某人有4种颜色的灯泡每种颜色的灯泡足够多，要在如下图的6个点a、b、c、a1、b1、c1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，那么每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种用数字作答.9、从包含甲的假设干名同学中选出4人分别参加数学、物理、化学、英语四科竞赛，每名同学只能参加一科竞赛，且任两名同学不能参加同一科竞赛，假设甲不参加物理和化学竞赛的参赛方法共有72种，那么一共有同学 名. 10、假设给一个正方体的八个顶点染色，要求相邻的两个顶点即同一条棱的两个顶点颜色不同，那么至少需要 种颜色. 11、将正方体abcda1b1c1d1的各面涂色，任何相邻两个面不同色，现有5种不同的颜色，并且涂好了解过顶点a的三个面的颜色，那么其余3个面的涂色方案共有 种.12、有二排座位，前排11个，后排12个，现安排两个人就坐，规定前排中间的三