（整理版）数列的极限

1、数列的极限、数列：假设按照一定的法那么，有第一个数a1，第二个数a2，依次排列下去，使得任何一个正整数n对应着一个确定的数an，那末，我们称这列有次序的数a1，a2，an，为数列.数列中的每一个数叫做数列的项。第n项an叫做数列的一般项或通项.注：我们也可以把数列an看作自变量为正整数n的函数，即：an=，它的定义域是全体正整数 、极限：极限的概念是求实际问题的精确解答而产生的。例：我们可通过作圆的内接正多边形，近似求出圆的面积。设有一圆，首先作圆内接正六边形，把它的面积记为a1；再作圆的内接正十二边形，其面积记为a2；再作圆的内接正二十四边形，其面积记为a3；依次循下去(一般把内接正6

2、15;2n-1边形的面积记为an)可得一系列内接正多边形的面积：a1，a2， a3，an，它们就构成一列有序数列。我们可以发现，当内接正多边形的边数无限增加时，an也无限接近某一确定的数值(圆的面积)，这个确定的数值在数学上被称为数列a1，a2，a3，an， 当n(读作n趋近于无穷大)的极限。注：上面这个例子就是我国古代数学家刘徽(公元三世纪)的割圆术。 、数列的极限：一般地，对于数列来说，假设存在任意给定的正数(不管其多么小)，总存在正整数n，使得对于nn时的一切不等式都成立，那末就称常数a是数列的极限，或者称数列收敛于a .记作：或注：此定义中的正数只有任意给定，不等式才能表达出与a无限接

3、近的意思。且定义中的正整数n与任意给定的正数是有关的，它是随着的给定而选定的。、数列的极限的几何解释：在此我们可能不易理解这个概念，下面我们再给出它的一个几何解释，以使我们能理解它。数列极限为a的一个几何解释：将常数a及数列在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a的邻域即开区间(a-，a+)，如下列图所示：                       

4、0;     因不等式与不等式等价，故当nn时，所有的点都落在开区间(a-，a+)内，而只有有限个(至多只有n个)在此区间以外。注：至于如何求数列的极限，我们在以后会学习到，这里我们不作讨论。 、数列的有界性：对于数列，假设存在着正数m，使得一切都满足不等式m，那么称数列是有界的，假设正数m不存在，那么可说数列是无界的。定理：假设数列收敛，那末数列一定有界。注：有界的数列不一定收敛，即：数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。例：数列  1，-1，1，-1，(-1)n+1，  是有界的，但它是发散的。函数的极限前面我们学习了数列的极限，已

5、经知道数列可看作一类特殊的函数，即自变量取 1内的正整数，假设自变量不再限于正整数的顺序，而是连续变化的，就成了函数。下面我们来学习函数的极限.函数的极值有两种情况：a)：自变量无限增大；b)：自变量无限接近某一定点x0，如果在这时，函数值无限接近于某一常数a，就叫做函数存在极值。我们道函数的极值的情况，那么函数的极限如何呢 ?下面我们结合着数列的极限来学习一下函数极限的概念!、函数的极限(分两种情况)a):自变量趋向无穷大时函数的极限定义：设函数，假设对于任意给定的正数(不管其多么小)，总存在着正数x，使得对于适合不等式 的一切x，所对应的函数值都满足不等式   

6、;                               那末常数a就叫做函数当x时的极限，记作：下面我们用表格把函数的极限与数列的极限比照一下：数列的极限的定义函数的极限的定义存在数列与常数a，任给一正数0，总可找到一正整数n，对于nn的所有都满足那么称数列，当x时收敛于a记：。存在函数与常

7、数a，任给一正数0，总可找到一正数x，对于适合的一切x，都满足，函数当x时的极限为a，记：。从上表我们发现了什么 ？试思考之b):自变量趋向有限值时函数的极限。我们先来看一个例子.例：函数，当x1时函数值的变化趋势如何？函数在x=1处无定义.我们知道对实数来讲，在数轴上任何一个有限的范围内，都有无穷多个点，为此我们把x1时函数值的变化趋势用表列出,如下列图:从中我们可以看出x1时，2.而且只要x与1有多接近，就与2有多接近.或说：只要与2只差一个微量，就一定可以找到一个，当时满足定义：设函数在某点x0的某个去心邻域内有定义，且存在数a，如果对任意给定的(不管其多么小)，总存在正数，当0时，那么称函数当xx0时存在极限，且极限为a，记：。注：在定义中为什么是在去心邻域内呢？这是因为我们只讨论xx0的过程，与x=x0出的情况无关。此定义的核心问题是：对给出的，是否存在正数，使其在去心邻域内的x均满足不等式。有些时候，我们要用此极限的定义来证明函数的极限为 a，其证明方法是怎样的呢？     a):先任取0；