（整理版）椭圆与双曲线的性质椭圆

1、椭圆与双曲线的性质椭 圆1. 点p处的切线pt平分pf1f2在点p处的外角.2. pt平分pf1f2在点p处的外角，那么焦点在直线pt上的射影h点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦pq为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径pf1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 假设在椭圆上，那么过的椭圆的切线方程是.6. 假设在椭圆外 ，那么过po作椭圆的两条切线切点为p1、p2，那么切点弦p1p2的直线方程是.7. 椭圆 (ab0)的左右焦点分别为f1，f 2，点p为椭圆上任意一点，那么椭圆的焦点角形的面积为.8. 椭圆ab0的焦半径公式：,( , ).9. 设过椭圆

2、焦点f作直线与椭圆相交 p、q两点，a为椭圆长轴上一个顶点，连结ap 和aq分别交相应于焦点f的椭圆准线于m、n两点，那么mfnf.。、121210. 过椭圆一个焦点f的直线与椭圆交于两点p、q, a1、a2为椭圆长轴上的顶点，a1p和a2q交于点m，a2p和a1q交于点n，那么mfnf.11. ab是椭圆的不平行于对称轴的弦，m为ab的中点，那么，飒沓即。12. 假设在椭圆内，那么被po所平分的中点弦的方程是.13. 假设在椭圆内，那么过po的弦中点的轨迹方程是.双曲线1. 点p处的切线pt平分pf1f2在点p处的内角.2. pt平分pf1f2在点p处的内角，那么焦点在直线pt上的射影h点的

3、轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦pq为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径pf1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.内切：p在右支；外切：p在左支5. 假设在双曲线a0,b0上，那么过的双曲线的切线方程是阿萨德.6. 假设在双曲线a0,b0外 ，那么过po作双曲线的两条切线切点为p1、p2，那么切点弦p1p2的直线方程是.7. 双曲线a0,bo的左右焦点分别为f1，f 2，点p为双曲线上任意一点，那么双曲线的焦点角形的面积为.8. 双曲线a0,bo的焦半径公式：( , 当在右支上时，,.当在左支上时，,9. 设过双曲线焦点f作直线与双曲线相交 p、q两点，a为双

4、曲线长轴上一个顶点，连结ap 和aq分别交相应于焦点f的双曲线准线于m、n两点，那么mfnf.10. 过双曲线一个焦点f的直线与双曲线交于两点p、q, a1、a2为双曲线实轴上的顶点，a1p和a2q交于点m，a2p和a1q交于点n，那么mfnf.11. ab是双曲线a0,b0的不平行于对称轴的弦，m为ab的中点，那么，即。12. 假设在双曲线a0,b0内，那么被po所平分的中点弦的方程是.13. 假设在双曲线a0,b0内，那么过po的弦中点的轨迹方程是.椭圆与双曲线的对偶性质-会推导的经典结论椭 圆1. 椭圆abo的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于p1、p2时a1p1与a2p2交点的轨迹

5、方程是.2. 过椭圆 (a0, b0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于b,c两点，那么直线bc有定向且常数.3. 假设p为椭圆ab0上异于长轴端点的任一点,f1, f 2是焦点, , ，那么.4. 设椭圆ab0的两个焦点为f1、f2,p异于长轴端点为椭圆上任意一点，在pf1f2中，记, ,，那么有.5. 假设椭圆ab0的左、右焦点分别为f1、f2，左准线为l，那么当0e时，可在椭圆上求一点p，使得pf1是p到对应准线距离d与pf2的比例中项.6. p为椭圆ab0上任一点,f1,f2为二焦点，a为椭圆内一定点，那么,当且仅当三点共线时，等号成立.7. 椭圆与直线有公共点的充要条件是.8

6、. 椭圆ab0，o为坐标原点，p、q为椭圆上两动点，且.1;2|op|2+|oq|2的最大值为;3的最小值是.9. 过椭圆ab0的右焦点f作直线交该椭圆右支于m,n两点，弦mn的垂直平分线交x轴于p，那么.10. 椭圆 ab0,a、b、是椭圆上的两点，线段ab的垂直平分线与x轴相交于点, 那么.11. 设p点是椭圆 ab0上异于长轴端点的任一点,f1、f2为其焦点记，那么(1).(2) .12. 设a、b是椭圆 ab0的长轴两端点，p是椭圆上的一点，, ,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，那么有(1).(2) .(3) .13. 椭圆 ab0的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交

7、于a、b两点,点在右准线上，且轴，那么直线ac经过线段ef 的中点.14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，那么相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，那么该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质-会推导的经典结

8、论双曲线1. 双曲线a0,b0的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于p1、p2时a1p1与a2p2交点的轨迹方程是.2. 过双曲线a0,bo上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于b,c两点，那么直线bc有定向且常数.3. 假设p为双曲线a0,b0右或左支上除顶点外的任一点,f1, f 2是焦点, , ，那么或.4. 设双曲线a0,b0的两个焦点为f1、f2,p异于长轴端点为双曲线上任意一点，在pf1f2中，记, ,，那么有.5. 假设双曲线a0,b0的左、右焦点分别为f1、f2，左准线为l，那么当1e时，可在双曲线上求一点p，使得pf1是p到对应准线距离d与pf2的比例中项.6. p

9、为双曲线a0,b0上任一点,f1,f2为二焦点，a为双曲线内一定点，那么,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立.7. 双曲线a0,b0与直线有公共点的充要条件是.8. 双曲线ba 0，o为坐标原点，p、q为双曲线上两动点，且.1;2|op|2+|oq|2的最小值为;3的最小值是.9. 过双曲线a0,b0的右焦点f作直线交该双曲线的右支于m,n两点，弦mn的垂直平分线交x轴于p，那么.10. 双曲线a0,b0,a、b是双曲线上的两点，线段ab的垂直平分线与x轴相交于点, 那么或.11. 设p点是双曲线a0,b0上异于实轴端点的任一点,f1、f2为其焦点记，那么(1).(2) .12. 设a

10、、b是双曲线a0,b0的长轴两端点，p是双曲线上的一点，, ,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，那么有(1).(2) .(3) .13. 双曲线a0,b0的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于a、b两点,点在右准线上，且轴，那么直线ac经过线段ef 的中点.14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，那么相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，那么该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在双曲线焦三

11、角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.圆锥曲线问题解题方法 圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种根底知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、根本公式、法那么固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。一. 紧扣定义，灵活解题灵活运用定义，方法往往直接又明了。例1. 点a3，2，f2，0，双曲线，p为双曲线上一点。求的最小值。 解析：如下图， 双曲线离心率为2，f为右焦点，由第二定律知即点p到

12、准线距离。 二. 引入参数，简捷明快参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。例2. 求共焦点f、共准线的椭圆短轴端点的轨迹方程。 解：取如下图的坐标系，设点f到准线的距离为p定值，椭圆中心坐标为mt，0t为参数 ，而 再设椭圆短轴端点坐标为px，y，那么 消去t，得轨迹方程三. 数形结合，直观显示将“数与“形两者结合起来，充分发挥“数的严密性和“形的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。例3. ，且满足方程，又，求m范围。 解析：的几何意义为，曲线上的点与点3，3连线的斜率，如下图 四.

13、应用平几，一目了然用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几题中的一些图形性质就和“平几知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。例4. 圆和直线的交点为p、q，那么的值为_。 解： 五. 应用平面向量，简化解题向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。例5. 椭圆：，直线：，p是上一点，射线op交椭圆于一点r，点q在op上且满足，当点p在上移动时，求点q的轨迹方程。 分析：考生见到此题根本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。 解：如图，共线，设，那么， 点r在椭圆上，p点在直线上

14、 ， 即 化简整理得点q的轨迹方程为： 直线上方局部六. 应用曲线系，事半功倍利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。例6. 求经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程。 解：设所求圆的方程为： 那么圆心为，在直线上 解得 故所求的方程为七. 巧用点差，简捷易行在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。例7. 过点a2，1的直线与双曲线相交于两点p1、p2，求线段p1p2中点的轨迹方程。 解：设，那么 <2><1>得 即 设p1p2的中点为，那么 又，而p1、a、m、p2共

15、线 ，即 中点m的轨迹方程是解析几何题怎么解高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20 例1 点t是半圆o的直径ab上一点，ab=2、ot=t (0<t<1)，以ab为直腰作直角梯形，使垂直且等于at，使垂直且等于bt，交半圆于p、q两点，建立如下图的直角坐标系.(1)写出直线的方程； 2计算出点p、q的坐标； 3证明：由点p发出的光线，经ab反射后，反射光线通过点q. 讲解: 通过读图, 看出点的坐标.(1 ) 显然, 于是 直线的方程为；2由方程组解出、； 3, . 由直线pt的斜率和直线qt的斜率互为相反数

16、知，由点p发出的光线经点t反射，反射光线通过点q.需要注意的是, q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?例2 直线l与椭圆有且仅有一个交点q，且与x轴、y轴分别交于r、s，求以线段sr为对角线的矩形orps的一个顶点p的轨迹方程 讲解：从直线所处的位置, 设出直线的方程, 由，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为代入椭圆方程 得 化简后，得关于的一元二次方程 于是其判别式由，得=0即 在直线方程中，分别令y=0，x=0，求得 令顶点p的坐标为x，y， 由，得 代入式并整理，得 , 即为所求顶点p的轨迹方程方程形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗? 例3双曲线的离心率，过的

17、直线到原点的距离是 1求双曲线的方程； 2直线交双曲线于不同的点c，d且c，d都在以b为圆心的圆上，求k的值. 讲解：1原点到直线ab：的距离. 故所求双曲线方程为 2把中消去y，整理得 . 设的中点是，那么 即故所求k=±.为了求出的值, 需要通过消元, 想法设法建构的方程. 例4 椭圆c的中心在原点，焦点f1、f2在x轴上，点p为椭圆上的一个动点，且f1pf2的最大值为90°，直线l过左焦点f1与椭圆交于a、b两点，abf2的面积最大值为12 1求椭圆c的离心率； 2求椭圆c的方程 讲解：1设, 对 由余弦定理, 得，解出 2考虑直线的斜率的存在性，可分两种情况： i)

18、 当k存在时，设l的方程为 椭圆方程为 由 得 .于是椭圆方程可转化为 将代入，消去得 ,整理为的一元二次方程，得 .那么x1、x2是上述方程的两根且，也可这样求解： ，ab边上的高 ii) 当k不存在时，把直线代入椭圆方程得 由知s的最大值为 由题意得=12 所以 故当abf2面积最大时椭圆的方程为： 下面给出此题的另一解法,请读者比拟二者的优劣：设过左焦点的直线方程为：这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.椭圆的方程为：由得：于是椭圆方程可化为：把代入并整理得：于是是上述方程的两根.,ab边上的高,从而当且仅当m=0取等号，即由题意知, 于是 .故当abf2面积最大时椭圆的方

19、程为： 例5 直线与椭圆相交于a、b两点，且线段ab的中点在直线上.求此椭圆的离心率；2 假设椭圆的右焦点关于直线的对称点的在圆上，求此椭圆的方程.讲解:1设a、b两点的坐标分别为 得, 根据韦达定理，得 线段ab的中点坐标为. 由得，故椭圆的离心率为 . 2由1知从而椭圆的右焦点坐标为 设关于直线的对称点为解得 由得 ，故所求的椭圆方程为 .例6 m：轴上的动点，qa，qb分别切m于a，b两点，1如果，求直线mq的方程；2求动弦ab的中点p的轨迹方程.讲解:1由，可得由射影定理，得 在rtmoq中， ，故，所以直线ab方程是2连接mb，mq，设由点m，p，q在一直线上，得由射影定理得即 把*及*消去a，并注意到，可得适时应用平面几何知识，这是快速解答此题的要害所在，还请读者反思其中的微妙. 例7 如图，在rtabc中，cba=90°，ab=2，ac=。doab于o点，oa=ob，do=2，曲线e过c点，动点p在e上运动，且保持| pa |+| pb |的值不变.1建立适当的坐标系，求曲线e的方程；a o b c2过d点的直线l与曲线e相交于不同的两点m、n且m在d、n之间，设，试确定实数的取值范围讲解: 1建立平面直角坐标系, 如下图| pa |+| pb |=| ca |+| cb | y=动点p的轨迹是椭圆曲线e