2022-2023 山东大学物理学院 数学物理方法期末试题

编第一章复变函数95题第二章复变函数的积分3第三章蒂级数展开35计第四章留数定理35第五章傅立叶变换6第七章数学物理定解问题第八章分离变数法1015第九章二阶常微分方程的级数解法8第十章球函数315第十一章柱函数第十二章格林函数法第十三章积分变换法合计9255115100备注：平时成绩占30%,期末考试成绩占70%。《数学物理方法》课程考试大纲考试目的1.考察学生掌握和应用知识的能力2.评价教师教学质量试卷来源任课教师命题试题难易度1.较容易(34)%2.中等难度(51)%3.较大难度(15)%题2022-2023山东大学物理学院数学物理方法期末试题2022-2023山东大学物理学院数学物理方法期末试题一、填空题(每题3分，共27分)1.已知z=cos(o+ib),z的代数表达式为2.指出多值函数J(z-q)(z-b)的支点和阶数3.已知级数£二0°疽"的收敛半径为A,试问级数(|h|<1)的收敛半径为4.竺牛的极点为,且为阶极点5-利用柯西公式计算蝠=2嘉6.连带勒让德多项式的正交代数表达式为7.计算留数击-----------------------------持续作用到的作用力/(t),可以看作许多前后相继的瞬时力的总和，其数学表达形式为9.f°35(x—7r)[e2z+cosx]dx=二、简算题(每题5分，共15分)1.将函数f(z)=K7P在区域OV|z—l|Vl上展开为洛朗级数3.已知解析函数f=u+iv9而u=x3—3xy2,试求f三、(8分)用级数法解微分方程+xyr+y=0四、(10分)在圆域pVP。上求解泊松方程的边值问题(Au=a+b(x2y2)tup=p0=c(已知，P0(x)=(已知，P0(x)=1,?!(%)=x,P2W=|(3%2-l))六、(10分)利用拉普拉斯变换解RC电路方程：d2ud2unxAcos—sineotult=0=<P(Q，%o=W3)五、（15分）设有一均勾球体，在球面上的温度为COS20,试在稳定状态下求球内的温度分布一、填空题(每题3分，共27分)1.【正解】一、填空题(每题3分，共27分)1.【正解】|(ed+e-d)cosa+^(e~b—eb)sina【解析】2022-2023数学物理方法期末试题参考答案2.【正解】支点：z=a>b、8；皆为一阶支点【解析】注意到函数为!次，且当z=a、b时函数置零，z=oo为熟知的支点，阶数皆为2-1=1ei(a+ib)e-i(a+ib)|cos(a+ib)=-----------------------=-(e~beia+ebe~ia>)=-[e-D(cosa+isina)+eD(cosaisina)]13.【正解】A【解析】由根值判别法，急级数的收敛区间为Vl+bn=1故收敛半径保持不变，仍为A4.【正解】z=0;一阶【解析】竺/—8,SLlimz•竺/=1故z=0为一阶极点5.【正解】2佰注意到原函数的极点为z=0和z=1,且分别为2阶与一阶因此Res|/(z),O]=lim----------=0因此Res|/(z),O]=lim----------=0极点，故上述积分即为d-z—1d\1—°—=—2[2i]~3d\18.【正解】-T)dT【解析】由3函数的挑选性，上述积分即为二、简算题(每题5分，共15分)1.【解析】在区域OV|z-l|VI内0QEk=-8k=o2.【解析】由约旦引理，从上半平面的半圆弧补全围道，上半平面有一个二阶极点z°=ia,该点的留数为Resfk=-8k=o2.【解析】由约旦引理，从上半平面的半圆弧补全围道，上半平面有一个二阶极点z°=ia,该点的留数为Resf(zo)=lim—--------*=()l[2一)3=--1iema+1ma+13.【解析】根据C・R条件，有丁=3%2一3y2=—dxoydu。oydv=6xy=o矿x一dv=(—6xy)dx+3(x2y2)dy=d(3x2yy3)有u=3x2y—y3+C,代入得f(z)=x3—3xy2+i(3x2y—y3+C)=(%+iy)3+iC11If-3z+2-1-1211-£21--z00心看z"-f(z)=当n=2k-1时111°2E当n=2k-1时111°2E=(一^71)知-】=(-2m)(-2T^i)-("3)ai:MT)*0000a2nX2n与｝^2n+lx2n+1的收敛域均为(-00,4-00)n=0n=0000000=qK=2K=0K=0K=000设y=anxn是方程的解，其中如。1是任意常数，则00>nanxn-10000g[(?l+2)(n+1)如+2+混n+^n]xn=0n=000y〃=>n(n—l)anxn-2方程y"+xyr+y=0,得^(n+2)(n+l)an+2^nn=0(—互)(一互=!)•••(_方)°。a0(-l)kk\2k故必有(n+2)(n+l)an+2+(n+l)an=0即知+2=一捋5(丸=。，12…)可见，当71=20—1)时8v8v业、/」n\2n002* =00(Zn+1)!n=0四、(10分)【解析】首先找到满足方程的特解+y)+3-/)=腭+方3+y)3-y)=]4aP+Pcos2p(令u=v+w=-pz+—p，cos对于齐次方程，且满足球心为有限值的泊松方程通解为w(p,p()=〉Pn^mcosmp(+Bnsinmp()代入边界条件，有v^°°ab/v^°°ab比较系数解得五、（15分）【解析】对于满足球心处为有限值的拉普拉斯方程通解为u(r,6)=〉Air^P^cos0)88x21由于P2(X)=-(3x2-l),有/=-[1+2P2(x)]=-Po(%)+tP2(x)代入边界条件有六、(10分)【解析】对方程进行拉普拉斯变换，有J3j解得j=咀(R+£)(p2+e)再进行反演*)=~R~^~a)2R2C2+l*a)2R2C2+l)对比系数可得812Zi=o&祎R(cos0)=cos20=x2=P0(x)4-3-P2(x)u(r,0)=-+-•—•r2P2(cos0)应用冲量定理法，先求解-应用冲量定理法，先求解-七、(15分)【解析】costixsincorsinna(t:—t)dr