（整理版）椭圆的简单几何性质点拨

1、椭圆的简单几何性质点拨一根底知识精讲+=1(ab0)，范围：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里，即xa，yb.2.对称性：椭圆关于x轴，y轴和原点都是对称的.坐标轴为椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，即为椭圆的中心.3.顶点：椭园与坐标轴的交点为椭圆的顶点为a1(-a,0)，a2(a,0)，b1(0，b),b2(0,-b)4.离心率：e=,(oe1),e越接近于1，那么椭圆越扁；e越接近于0，椭圆就越接近于圆.5.椭圆的第二定义：平面内的点到定点的距离和它到定直线的距离的比为常数e(0e1)的点的轨迹.定点即为椭圆的焦点，定直线为椭圆的准线.6.椭圆的焦半径公式

2、：设p(x0,y0)是椭圆+=1(ab0)上的任意一点，f1、f2分别是椭圆的左、右焦点，那么pf1=a+ex0,pf2=a-ex0.二1.熟练掌握椭圆的第二定义，两种形式的标准方程及几何性质，运用它们及参数间的关系解决相关问题.2.必要时，椭圆方程可设为mx2+ny2=1(m0，n0)，这样计算简洁，还可防止对焦点位置的讨论.3.遇到弦的中点问题时，常用点差法.三重点难点例析通过“圆的方程的学习我们知道，圆的几何性质问题用代数的方法解题简便，计算量小的特点，同样，椭圆也有类似的几何性质，那么在学习本节之前要复习椭圆的定义及标准方程，在此根底上来学习椭圆的几何性质，掌握椭圆的性质，标准方程，及

3、椭圆的第二定义.例1p是椭圆方程为+=1上的任意一点，f1，f2是椭圆的两个焦点，试求pf1·pf2的取值范围.解析：设pf1=t,那么ta-c,a+c，即t4-，4+且pf2=2a-t=8-t.pf1·pf2=t(8-t)=-(t-4)2+16 t4-，4+当t=4时，取最大值为16，当t=4±时，取最小值为9.所求范围为9，16。例2f1、f2是椭圆的两个焦点，过f2作一条直线交椭圆于p、q两点，使pf1pq，且pf1=pq，求椭圆的离心率e.解析：如下列图，设pf1=t，那么pq=t，f1q=t，由椭圆定义有：pf1+pf2=qf1+qf2=2a，pf1+p

4、q+f1q=4a 即(+2)t=4a,t=(4-2)a，pf2=2a-t=(2-2)a，在rtpf1f2中，f1f12=(2c)2，(4-2)a2+(2-2)a2=(2c)2=9-6 e=-，例3p是椭圆+=1(ab0)上的一点，f1f2为两焦点，且f1pf2p，假设p到两准线的距离分别为6和12，求此椭圆方程.解析：(利用椭圆第二定义求解)点p到两准线的距离分别是6和122·=6+12 即a2=9c由椭圆第二定义知，e=d1=6,d2=12 pf1=6e,pf2=12e又pf1pf2 pf12+pf22=f1f2236e2+144e2=4c2 e= a2=45又a2=9c c=5

5、b2=a2-c2=20，所求椭圆的方程的+=1例4在椭圆3x2+4y2=12上，是否存在相异的两点a、b关于直线y=4x+m对称并说明理由.解析：设a(x1,y1),b(x2,y2),ab的中点m(x0,y0)，直线ab：y=-x+t,将ab的方程代入椭圆的方程消去y得，13x2-8tx+16t2-48=0=(-8t)2-4×13×(16t2-48)0，-t且x1+x2=t又ab的中点m在直线y=4x+m上，t=4×t+m t=-m代入式得：-m。解法二：设a(x1,y1),b(x2,y2)是椭圆上关于直线l:y=4x+m对称的两点，那么+=1+=1-得+=0=而

6、kab=-，故有=-，设ab的中点为(x,y)，那么有x1+x2=2x,y1+y2=2y，代入即得ab中点的轨迹方程为y=3x.由由于ab的中点在椭圆内部+1m2，-m。故当m(-，)时，椭圆c上有不同的两点关于直线对称.例5椭圆=1上不同三点a(x1,y1),b(4, ),c(x2,y2)与焦点f(4，0)的距离成等差数列.(1)求证：x1+x2=8。(2)假设线段ac的垂直平分线与x轴的交点为t，求直线bt的斜率k.解析：由题知a=5,b=3,c=4.(1)由椭圆的第二定义知：=af=a-x1=5-x1同理有cf=5-x2af+cf=2bf 且bf=(5-x1)+(5-x2)=即x1+x2=8。(2)线段ac的中点为(4，)，它的垂直平分线方程为y-=(x-4)，又点t在x轴上，设其坐标为(x0,0)，代入上式得，x0-4=点a(