（整理版）点击“函数模型及其应用”

1、点击“函数模型及其应用 一、课标要求 1使用计算工具，比拟指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。 2收集一些社会生活中普遍使用的函数模型指数函数、对数函数、幂函数的实例，了解函数模型的广泛应用。 二、方法指导 不同的函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律，函数模型可以处理生产、生活中很多实际问题，因此学习中应注意： 1根据实际应用问题的条件建立函数模型，并运用函数的概念和性质来解决实际问题，这类问题的建模方法有两种：一是根据几何和物理概念建立函数关系式；另一种是通过观察和实验建立函数关系式。 2解决应用问题的根本步骤 2建模：将

2、文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； 3求模：求解数学模型，得出数学结论； 4复原：将利用数学知识和方法得出的结论，复原为实际问题的意义。 此四步用框图可表示为： 实际问题抽象、概括数学模型演算推理数学模型的解复原说明实际问题的解 3常见的函数模型1一次函数模型：；2二次函数模型：；3指数函数模型：；4对数函数模型：；5幂函数模型： 三、范例剖析 例1 一片树林中现有木材30000，如果每年增长5，经过年，树林中有木材，求经过多少年，木材可以增加到40000？结果保存1个有效数字 分析：如果原来产值的基数为，平均增长率为，那么对于时间的总产值或总产量为。 解析：依题意得，

3、 ，使用计算器可得年， 故大约经过6年，木材可以增加到40000。 评注：解函数应用题常见的错误：一是不会将实际问题抽样转化为函数模型或转化不全面；二是在求解过程中忽略实际问题对变量参数的限制条件。 表示学生掌握和接受概念的能力，表示提出和讲授概念的时间：分，可有以下的公式： 1开讲后多少分钟学生的接受能力最强？能维持多长时间？ 2开讲后5分钟与开讲后20分钟比拟，学生的接受能力何时强一些？ 分析：分段函数是同一个函数，在不同的时间内应选取不同的表达式计算。 解析：1当时，有， 故递增，最大值为； 显然，当时，递减，最大值为。 因此，开讲后10分钟，学生到达最强的接受能力值为59，并能维持6分

4、钟。 2， ， 因此，开讲后5分钟学生的接受能力比开讲后20分钟强一些。 3当时，令，那么 ， 或20舍去； 当时，令，那么 ，。 因此，学生到达或超过55的接受能力的时间为 评注：联系实际的应用题，具有创意新颖，设问角度独特，解题方法灵活的特点，其关键是建立相应的函数关系式。 例3 放射性物质衰变过程中，其剩留质量随时间按指数函数关系变化，常把它剩留质量变为原来一半所经历的时间称为它的半衰期，记为，衰变公式为为常数。现测得某种放射性元素剩留质量随时间变化的6次数据如下：/时间02468103202261601158057 由以上记录，请说明这种元素的半衰期为多少时间，并求出剩余质量随时间变化的衰变公式。 分析：可根据表中规律确定半衰期，解出衰变公式。 解析：从测试记录易知半衰期时间， 又时，即初始质量， 时，那么。 故经过时间的剩留质量应为，这就是所求的衰