一元二次根的分布情况归纳

1、二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳21、一元二次方程 ax2 bx c 0 根的分布情况设方程 ax2 bx c 0 a 0 的不等两根为 x1,x2且 x1 x2 ，相应的二次函数为 f x ax2 bx c 0，方程的根即为二次函数图象与 x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与 0 的大小比较即根的正负情况）分布情况0于0根都 x2两0负根 x10大于 0 都 x2 两0 根 x102 于x 根小 0 一个 x1 即0 根负于 根 一个 正一 一大致图象0 （）得出的结论000b 2a 0 f000b 2a 0 f00f0 大致图象（

2、 ）a得出的结论000b 2a 0f000b 2a 0f00f综合结论（不讨论a）000ba0b2fa000ba0b2fa00 f a表二：（两根与 k 的大小比较）分布情况即kk于2小k1两x即kk于2大 k,1两x即k于个大 x2一，k k于 x1小根个一0 大致图象（ ）ak kk得出的结论0 bk 2a f k 0k00b akb2kf0 k f0 大致图象（ ）a得出的结论0 bk 2a f k 0k00b2akf0 k f综合结论（不讨论a）0 bk 2a a f k 00 k0b akb 2fa0 k f a表三：（根在区间上的分布）分布情况内 n m内 种） n一 m 画了 只

3、 在， 根况q p 在 根 另q内pnm, n 在m 根， 一内0 大致图象（ ）a得出的结论n00ba0mnb2ffm0 n f m ff m 0f n 0 f m f n 0 或f p 0 f p f q 0f q 00 大致图象（ ）a得出的结论n00ba0mnb2ffm0 n f m ff m 0f n 0 f m f n 0 或f p 0 f p f q 0f q 0综合结论（不讨论a）0 n f m f00 nq ff mp ff根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间 m,n 外，即在区间两侧 x1 m, x2 n ，（图形分别如下）需满足的条件是f m 01) a 0时，；

4、f n 0f m 02) a 0 时，n0对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：1）两根有且仅有一根在 m, n 内有以下特殊情况：0 ，则此时 f mgf n 0 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或 n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间m, n 内，从而可以求出参数的值。如方程mx2 m 2x 2 0在区间21,3 上有一根， 因为 f 1 0 ，所以 mx222x 1 mx 2 ，另一根为 ，由 1 mm即为所求；方程有且只有一根，且这个根在区间m, n 内，即0 ，此时由0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在

5、，舍去相应的参数。如方程x 2 4mx2m 6 0 有且一根在区间3,0 内，求m的取值范围。分析：由 f 3 gf 0 0即14m15 m 3 0 得出3 m 15 ；14由0即 16m24 2m 6 0得出 m1或 m 3，当 m 1时，22 3,0 ，即 m1满足题意；当m3 时，根 x23,0 ，故 m23不满足题意；综上分析，得出15 或 m 114已知二次方程2mx22mx解：由 2m 1 gf2m例 2、已知方程 2x2m1解：由m12g200例 3、已知二次函数的取值范围。解：由 m 2 gf根的分布练习题m 1 0 有一正根和一负根，求实数1 m 1 0 ，从而得m 0 有两

6、个不等正实根，2m18m3 2 2 即为所求的范围。2m 2 x22m 4 x0 即 m 2 g 2m 13m求实数的取值范围。1 m 1 即为所求的范围。2m 的取值范围。m 3 2 2或 m 3 2 2m0与 x 轴有两个交点，一个大于 1，一个小于1，求实数 m2 m 1 即为所求的范围。2例 4、已知二次方程 mx2 2m 3 x 4 0只有一个正根且这个根小于 1，求实数 m 的取值范围。1 解：由题意有方程在区间 0,1 上只有一个正根， 则 f 0 gf 1 0 4g3m 1 0 m 即为所求范围。3 (注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在 0,1 内，由 0

7、 计算检验，均不复合题意，计算量稍大)例 1、当关于 x的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围：(1)方程 x2 ax a2 7 0 的两个根一个大于 2，另一个小于 2；(2)方程 7x2 (a 13)x a2 a 2 0的一个根在区间 (0,1) 上，另一根在区间 (1,2) 上；(3)方程 x2 ax 2 0 的两根都小于 0； 变题：方程 x2 ax 2 0 的两根都小于 1(4)方程 x2 (a 4)x 2a2 5a 3 0 的两根都在区间 1,3 上；(5)方程 x2 ax 4 0 在区间( 1， 1)上有且只有一解； 例 2、已知方程 x2 mx 4 0 在区间 1，1

8、上有解，求实数 m的取值范围例 3、已知函数 f (x) mx2 (m 3)x 1的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数m的取值范围检测反馈：21 1若二次函数 f(x) x2 (a 1)x 5在区间 ( 1 ,1)上是增函数，则 f (2)的取值范围是 22若 、 是关于 x的方程 x2 2kx k 6 0的两个实根 , 则 ( 1)2 ( 1) 2的最小值为3若关于 x 的方程 x2 (m 2)x 2m 1 0只有一根在 (0,1) 内，则 m _ _ 2 4对于关于 x 的方程 x +(2m 1)x+4 2m=0 求满足下列条件的 m的取值范围：( 1)有两个负根( 2) 两

9、个根都小于 1( 3)一个根大于 2，一个根小于 2( 4) 两个根都在( 0 ， 2)内( 5)一个根在 ( 2，0) 内，另一个根在 (1，3) 内( 6)一个根小于 2，一个根大于 47) 在(0， 2)内 有根8) 一个正根，一个负根且正根绝对值较大5已知函数 f (x) mx2 x 1的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围。2、二次函数在闭区间 m, n 上的最大、最小值问题探讨 设 f x ax2 bx c 0 a 0 ，则二次函数在闭区间 m, n 上的最大、最小值有如下的分布情况：mnb2amb2an即b2amn图 象fx maxmaxf n, f m

10、fx maxfnfx minfb2afx minfm对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：（1）若，则 f x maxmax f m , fb, f n ， f x minmin f m , f b, f n ；max2a min 2a（2）若bbm,n ，则 f x max max f m,f n ， f x min min f m,f n2a另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开 x 轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下 时，自变量的取值离开 x 轴越远，则对应的函数值越小。二次函数在闭区间上的最值练习二次函数在闭区间上求最值，

11、讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。例 1 、函数 f x2ax2 2ax 2 b a 0 在 2,3 上有最大值 5 和最小值 2，求 a,b 的值。解：对称轴x0 12,3，故函数 fx 在区间 2,3 上单调。1）当 a0时，函数 fx 在区间2,3 上是增函数，故maxf3min2）当 a0时，函数 fx 在区间2,3 上是减函数，故maxmin f 33ab25a12b2b0b25a13ab22b3例 2 、求函数 f x2ax 1, x1,3 的最小值。解：对称轴 x0 a（1）当a 1时，ymin f 1 2 2a（ 2）当1

12、 a 3时，ymin f a 1 a2 ；（3）当a 3时，ymin f 3 10 6a 改： 1本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？解：（1）当 a 2时， f x max f 3 10 6a ；max（2）当 a 2时， f x max f 1 2 2a 。max解：（1）当a1 时， fxmaxf3106a ， fx minf122a；（2）当1a 2 时，fxmax f310 6afx minfa1 a2 ；（3）当2a 3 时，fxmax f12 2a ，fxfa1 a2 ；maxmin（4）当a3 时， fx max maxf122a ， fxminf3106a 。2 本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？例 3、求函数 y x2 4x 3 在区间 t,t 1 上的最小值。解：对称轴 x0 21）当 2 t即 t 2时， ymint t2 4t 3 ；（ 2）当 t 2 t 1即1 t 2 时， ymint 1 t2 2t例 4 、讨论函数 fx2xxa1的最小值