一函数极限(疑题解答)

1、第一章 函数与极限一、基本要求(1) 理解函数的概念,会求函数的定义域、表达式及函数值，会求分段函数的定义域、函数值。并会作出简单分段函数的图形.(2) 理解和掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，会判断所给函数的特性.1(3) 了解函数y f (x) 与其反函数y f 1 (x)之间的关系(定义域、值域、图形)，会求单调函数的反函数.(4) 理解和掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程.(5) 掌握基本初等函数的简单性质及其图形.(6) 了解初等函数的概念.(7) 会建立简单实际问题的函数关系式.(8) 理解极限的概念(对极限的N 、 X 定义可在学习过程中逐步加深理解

2、，对于给出，求 N 、 或 X 没有过高要求)，能根据极限的概念分析函数的变化趋势，会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充要条.(9) 了解极限的性质，掌握极限的四则运算法则.(10) 理解无穷小与无穷大的概念，掌握无穷小的性质、无穷小与无穷大的关系，会进行无穷小阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价)，掌握利用等价无穷小代换求极限.(11) 了解两个极限存在准则(夹逼准则和单调有界准则)，熟练掌握用两个重要极限求极限的方法.(12) 理解函数在一点连续和间断的概念，掌握判断函数(包括分段函数)在一点的连续性，理解函数在一点的连续性和极限存在的关系.(13) 会求函数的间断点

3、，并会确定间断点的类型.(14) 理解初等函数在其定义区间上的连续性，并会利用连续性求极限.(15) 掌握闭区间上连续函数的性质(最值定理、零点定理、介质定理)，会利用这些性质推证一些简单命题.二、重点与难点重点：函数的概念，基本初等函数和初等函数的概念，复合函数的概念；数列极限和函数极限的概念，极限运算法则和极限存在准则，两个重要极限；无穷小阶的比较及等价无穷小在求极限中的应用；连续函数的概念和初等函数的连续性，间断点的概念和间断点类型的判断，闭区间上连续函数的性质.难点：复合函数，极限概念，极限存在的准则，连续函数的概念，闭区间上连续函数性质的应用.三、释疑解难问题 1.1 函数 y ln

4、 x2和 y 2ln x是相同的函数吗？分析：不同. 原因是它们的定义域不同，y ln x2的定义域D1 x x 0,x R ，y 2ln x的定义域D2 x x 0,x R .注： 判断两个函数是否相同，应考虑它们的定义域及对应法则是否相同，这是函数定义.1.2 y 2ln x与 x 2ln y是相同的函数吗？分析：相同. 虽然 y 2ln x与 x 2ln y在同一坐标系xOy中确实表示两条不同的曲线， 但不同的曲线并不一定表示不同的函数. 曲线作为函数的几何表示，是要涉及坐标系的，而函数概念本身并不指定要与什么坐标相联系. 判断两个函数是否相同的标准，只是函数定义的两个要素，而与变量用什

5、么字母表示无关，与坐标系的选取方式无关.因为函数y 2ln x与 x 2ln y，其自变量有相同的定义域，因变量与自变量有相同的对应法则，所以它们是相同的函数.由此可知，y ex的反函数既可以用x ln y 表示，也可以用y ln x表示 .x1问题 1.3 如何求复合函数的定义域？并求函数y arcsinlg x 的定义域.x 10分析：考虑复合函数定义域时应由最外层的复合关系算起，逐层向内推算，最后确定自变量 x的取值范围. 若由里层的复合关系算起，必然会顾此失彼.x1函数 y 是一个复合函数，其复合关系为y arcsin u ， u lg v， v.x 10由于 y arcsin u的定

6、义域为1 u 1 ，从而推知1 lg v 1 ，即 0.1 v 10，最x1后归结为解不等式0.1 x 110，故所求定义域为x x 11 x x 0 .sin x,1.4 设 f(x) 2 x2,x0x0, g(x)1 x,x1， 如何求复合函数g f (x) 的x127 / 16表达式？分析：函数g f (x) 是一个复合函数, u1sin x,x02y g(u)， u f (x)2，当 x 0是， u x ，1 u, u1x ,x0但 x2的函数值可能取小于1，也有可能取大于等于1，因此 g(u) g(x2) 不能笼统的用1 u 1x2 表示 . 当 x 0时， u sin x，但 si

7、n x的函数值可能取小于1，也有可1 x2 g(x2)1 x ,能取大于等于1，故 g(u) g(sin x) 也不能笼统的用来表示 . 由 y g(u)的定义可知x2 11 x2 ,1 x 0x1 ,x 1g(sin x)1 sin x,1 sinx,sin x 1sin x 1x 0且 x 2k (k 0,1,2 )2x 2k (k 0,1,2 )g f(x) 的函数表达式应为：，x1或 x 2k (k 0,1,2 )2g( f(x)1 x2，1 x 0.1 sin x， x 0且 x 2k (k 0,1,2 )21.5 数列极限的定义是否可叙述为“对任意给定的 (0,1) ，总存在正整数

8、N ，当n N 时，恒有xn a 2 ” ?分析： 可以 . 本题涉及数列极限的实质问题. 由数列极限定义可知，lim xna 的充分n必要条件是：对任意给定的0 ， 总存在正整数N ， 当 n N 时， 恒有xn a 成立 . 这里 0 是任意给定的要多小就有多小的正数，用以描述xn 与 a 之间的距离随着n 的增大越来越小，在极限定义中，只要求0且充分小即可，因此，可限定01 . 其次，由于xna 2 中 2 仍可充分小，它同样描述了xn 与a 之间的距离随着n 的增大要多小就有多小这一事实，因此，题中的叙述也可看做是数列xn 以 a为极限的定义，即为充分必要条件 .问题1.6： 函数极限

9、与数列极限有什么关系？分 析 ： 如 果 对 于 任 何 以x0 为极 限 的 数 列xn(xnx0)， 有 l i mf(xn)A，那 么li m f (x )x x0A. 反之， 如果 lim f (x) A， 那么对任何以x0为极限的数列xn(xn x0)， 都有 lim f(xn)x x0nA.由此命题可知，如果lim xn lim xn x0，但lim f (xn) lim f(xn) ，则lim f (x) 不nnnnx x0存在 . 此命题是判断极限不存在的一个有效工具.问题1.7： 讨论函数的极限时，在什么情况下要考虑左、右极限？分析：一般地说，讨论函数f (x) 在点x0 的

10、极限时，应先看一看左、右两侧极限的情况如果当 xx0时 f (x) 在点x0的两侧变化一致，即 f (x)在点x0的两侧的表达式一样，则不必分开研究. 如果左、右两侧的变化趋势可能有差别，即f (x) 在点x0的两侧的表达式不一样，就应分开研究. 尤其求分段函数在分段点处的极限时，需研究左、右极限.1有些函数在特殊点的左、右极限不一样，在求极限时应加以注意. 如 lim 1 ，而x0xlim. 又如 , 而 lim arctanx0xx0x 21.8： “凡分段函数都不是初等函数”对吗？分析：不对. 初等函数是指由常数及基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合所得到的，并能用一个式子表示的函

11、数，分段函数不是用一个式子表示的函数，但不能说 “凡x x0分段函数都不是初等函数”. 例如， y x, x 是一个分段函数，但它也可用一个式x, x 0子 yx2 来表示 . 事实上，y x2 由 y u ， u x2 复合而成，因此，这个分段函数是一个初等函数.问题1.9： 为什么说初等函数在其定义区间上都是连续的，而不说在其定义域上都连续呢？分析：定义区间与定义域是不同的，定义区间是包含在定义域内的区间，是一个区间；定义域不一定是区间. 基本初等函数在其定义域上连续，是因为基本初等函数的定义域都是区间， 但是初等函数在其定义域的某些点上不一定连续. 例如， 初等函数f(x)x24x1x

12、2及 ( 1,). ( 1,) 是函数 f (x)的定义区间，x2是 f(x)定义域. 因为 f (x) 在 x 2附近没有定义，所以f (x) 在 x 2处间断 . 故函数f(x)在他的定义区间( 1,) 内连续，在其定义域x 2及 ( 1,) 内不连续.1.10 ： 指出下列各踢解法中的错误，并写出正确的解法xlim x(1)xx3limx 3 x 3 lim( x 3)(2)33 lim(2 x x 1) lim 2x xxlim x 11 0 ;x(3)1222lim( 33nnnn 1222n23 )lim 3lim 3lim30 00 0 ;n3n n3nn3nn3(4)( 1)n

13、lim sinn! limn n1n( 1)nlimsin n! 0 .n 1n分析： ( 1)错用了极限的商运算法则. 因为分母的极限为零，所以不能用商的极限运算法则 . 正确解法是利用无穷小与无穷大的关系来求.lxim3x 3 lxim3( x 3)lxim3xx0 ，所以 lim xx3x 33(2) 错用了函数代数和的极限运算法则. 因为 lim 2x3x，lixm x都属于极限不存在的情形，所以不能用代数和的极限运算法则解法利用无穷大与无穷小的关系来求.”只是一个符号，不能进行四则运算.正确项，所以不能用上述法则(3) 错用了和的极限运算法则，因为式中的项数随1lim 3 limx

14、2x3 x 1 x2. 正确解法是先化为有限项代数和或有限项乘积的形式再求极限12 22 lnim(n3 n313x123xxlim 0 x20 ，所以 lim(2 x3 x 1)xn 的无限增大而无限增多，不是有限2nn3 ) lnim12 22n2limn1n(n 1)(2n 1)63n11 (n 1)(2n 1) 1lim 62nn34 4) 错用了极限的乘法法则. 因为 lim sin n! 不存在， 所以不能用乘法法则. 正确解法是n( 1)nlim0 ，n n1sinn! 1 ，即 sin n! 有界，所以lim利用无穷小与有界函数的乘积是无穷小的定理来求.( 1)nsin n!

15、0. n15 .11： 判断下列命题是否正确，并证明你的结论(1)设 xn 是无穷小，则xnn 是无穷小；(2)设 xn0是无穷小，则n xn 是无穷小;(3)设xn 是无穷小，则2nn xn 是无穷小;(4)设 limxaf (x) 0，lim g(x)x a f (x)l (实数)，则 x a时， g(x) 是无穷小；(5)设 limxaf (x) 0，lim g(x)x a f (x)，则 x a 时， g(x) 不是无穷小.分析： (1)命题正确.n，又n xnlim 1 n n20，所以 lim xnn0 .lim qn 0( q 1) ，将xnn 与 qn 比较 .n1lnim x

16、n0，则存在自然数N ，当 n N ，有xn2 . 于是注： 不能用无穷小的运算法则，无穷小的运算性质是：有限个无穷小的乘积仍是无穷小而这里有无穷多个无穷小.lim f(x) 0 lim f(x) 0. xx(2)命题错误.例如，xn1n21 lim xnlimnn2n0，但是 lim n xn lim 0 .nn22(3)(4)命题错误.命题正确.limxag(x) lim g(x) f (x) lim g (x) lim f (x) 0 x a f (x) x a f (x) x a(5)命题不正确.而 lim f (x) xa 0lxim f (x) a ，反之不成立.，但例如，函数f

17、(x) (x a)2 ， g (x) x a ，满足 lim f (x) 0， lim g(x)x ax a f (x)是 g(x) 是 x a 过程的无穷小.(1)(2)(3)(4)1.12：设 limxa设 limxa判断下列命题是否正确f (x) 0，则 o( f (x) o( f (x) o( f (x) ;f (x) 0，则 o( f (x) o( f (x) o( f (x) ；o(x3) o(x2) ；o(x2) o(x3) .分析 .(1) 正确 . 按照高阶无穷小的定义知：limxao(f(x) o(f(x)f (x)lim o(f(x) x a f(x)lim o(f(x)

18、 0， x a f (x)所以 o(f(x) o(f(x) o(f(x).(2) 正确 .lim o(f(x) o(f(x) x a f(x)lim o(f(x) x a f (x)lim o(f(x) x a f (x)0，所以 o(f(x) o(f (x) o(f(x)(3) 正确 . 该等式的含义是：当x 0 时，比x3 高阶的无穷小也是比x2 高阶的无穷小. 证3o(x )lim limx0 x x033 o(x ) x32 xx33o(x ) x lim lim 0. x 0 x x 0x23(4) 不正确 . 该等式的含义是：当x 0 时，比 x 高阶的无穷小也是比x 高阶的无穷小

19、当然，这是不一定的. 如， x3 o(x2)，但是x3o(x3) .四、典型例子x2例 1.1 设 f (x) ex ， f (x) 1 x，且 (x) 0，求 (x)及其定义域.解：由 f (x) ex2 知，f (x) e 2(x) 1 x，又 (x) 0，则 (x) ln(1 x)，由 ln(1 x) 0得： x 0，即 (x)的定义域为x 0 .例1.2： 已知定义域为(,) 的函数 f (x) 满足 f ( 3 x 1) x 1 ，试求 f (x) .解法一：恒等变形法. 因为f(3x 1) x 1 (3x 1 1)3 13所以 f (x) (x 1)3 1 .解法二：变量代换法.

20、令 3 x 1 t ，则 x (1 t)3，有f(t) (t 1)3 1，最后令 t x，得 f(x) (x 1)3 1.例 1.3：已知2f(x) f (1 x) x2，求f(x)的表达式 .解：令 u 1 x，得到2f(1 u) f(u) (1 u)2即 2f(1 x) f (x) (1 x)2，与题中 2f (x) f (1 x) x2联立得：例 1.4：设 f (x)1,0,f(x) 13x22x 1.33x1x 1, 求 ff(x).解：由于f (x) 1，所以 ff (x) 1.2 x, x 0x x 0例1.5：设 g(x)， f (x)，求 g f (x) .x 2, x 0x

21、, x 02 u, 解：令 y g(u)u 2,u0u0x2 u f(x) , x,x0x0x 0时， u x2 0，则 g(u) u 2 x2 2；当 x 0时， u x 0，则有g(u) 2 u 2 x ，故g f(x)2 x,x2 2,x0x0注： 要求两个分段函数y f (u) 和 u (x) 的复合函数y f (x) ，实际上就是将u (x) 代入 y f (u) , 而这里关键是要搞清楚u (x) 的函数值落在y f(u) 的定义域的哪一部分.证明：令b n a ，由于例1.6： 设 a 1 ，求证：bn 1 (b 1)(bn 1 bn 21)，则na 1a1n1 n2an an

22、1任意给定0 ，要使na 1a1n1 n2an an 1a1，n只需 na1a1. 因此，取N，当 n N 时，有a1 .例 1.7：求 lim n nn解：令 n n 1 hn (hn 0)，则n (1 hn)n1 nhn n(n 1) hn2hn(n 1) 即n0nnn(n 1)hn2(n ) ，由夹逼准则知lim hn0 ，故nlnim n n 1 .注：lnim n n 可以看成极限xlim x x 的一种特例，即取x为正整数数列，而对于xlim x x ，x1lnx1 lim 1lim x x lim exlim exex x 1.xxx1例1.8：设a1,a2,am 为正数，求证l

23、nim(a1na2namn)nmax a1,a2,am .11证明：由于maxa1, a2, am (a1n a2namn)n mn maxa1,a2, am ，且 m 是一个正常数，那么lim n m 1 ，根据夹逼准则得：n1lnim( a1n a2namn)n maxa1,a2,am .n1例 1.9： 求极限 lim.n1n1 , 而 lim1 ，k1nn n nn k 1 n2 k n n1 n1证明：由于n11n2 n k 1 n2 n k 1 n2 kn1根据夹逼准则可知：lim 11 .n k 1 n2k例1.10：设xn10，xn1xn6(n 1,2, ) ，试证：数列xn收

24、敛，并求此极限.证法 1、因为x1 10 3，所以33 6 x2x1 616 4 ， 3 x3x2 610 4即 3 x3 4 ， 假设 3 xk 4(k 2) ， 则 3 xk 1xk 64 6 4 ， 即 3 xk 1 4 .由数学归纳法知：数列xn 有界 .2xn 6 xn(xn 3)(xn 2)又因为xn1xnxn6xnn nn n 0 ， 即xn 1xn .xn 6 xnxn 6 xn所以数列xn 是单调递减数列. 故由单调有界原理知：数列xn 收敛 .证法2、先证数列xn单调递减，由x110 ，x2x1616 4 知，x1x2 ，则 n 1 时，成立；假设n k 时，有xnxn1

25、，那么xk1xk6xk1 6 xk 2 .故对于一切正整数n 恒有xn xn 1 ，即数列xn 是单调递减的.又 xn0(n 1,2,)，即数列有下界，由单调有界原理知，数列xn 收敛 .设 lnim xn a，在xn 1xn 6 两边取极限得：a a 6 ，解得：a 3证法3、首先假设lim xna ，在xn 1xn 6 两边取极限得：a a 6 ，解得：na 3.然后证明lim xn3. 由于n0xn3lim nxn 1 6 3xn 3综上：数列xn 收敛于3.xn 13xn 1 6 3xn 2 3xn 2 6 3lim xn3.nxn 112x323 13 xn 2 6n2 31n x0

26、 33例 1.11： 设 0 x13 ， xn 1xn(3 xn)(n 1,2, ) ，证明数列xn 收敛，并求极限证明：由0 x13 知：0 x2x1 (3 x1 )1 (x1 3 x1 )3假设 0 xk(k 1)，则2130 xk 1xk(3 xk ) (xk 3 xk)，223由数学归纳法知，对任意的正整数n 1 ， 均有 0 xn， 因而数列xn 有界 . 又当 n 1n2n时，有xn 1xn (3 xn )3 xn1xnxnxn即数列xn 是单调递增的. 所以数列xn 收敛 .设 lnim xn a ，在xn 1xn(3 xn)的两边求极限得：a a(3 a) , 解之得：3 a.

27、21x 1x例1.12： 求 limx0x解：lim 1 x 1 x lim 2xlim 21.x 0 x x 0 x( 1 x 1 x) x 0 1 x 1 x例1.13： 求 limx0213sin x x sinx(1 cosx)ln(1 x)1 sin3x xsin 1x213sin x x sin解： limx 0 (1 cosx)ln(1 x)sinx 13 xsinlim x x 1x01(1 cosx)ln(1 x)x例 1.14： 求 lim 3 1 2x 1x 0 ln(2 cosx sin x)解：由于当x 0 ，3 1 2x 1 x ， 3ln(2 cosx sin x

28、) ln(1 (1 cos x) sin x) (1 cos x) sin x sin x x所以，31 2x 1ln(2 cosx sin x21.15 ： 求 lim 1 ln(1 x) x2解： lim 1 ln(1 x) x1 lim 1 ln(1 x) ln(1 x)2ln(1 x)x2ln(1 x)lim e x x02e.x1x321.16 ： 求 limn x6x1解：lxim xx 36x63x63(x 1)2(x 6)3(x 1)2(x 6) lim ex3e2x 2a1.17 ： 求 lim n xax 2a解： limn xax lim 1 3anxa3axx3 xa3

29、ax lim ex a n3a e11.18 ： 求 lim cosx ln(1 x2)cosx 111 ln(1 x2)解： lim cosx ln(1 x2)lim 1 cosx 1 cosx 1x0x012例1.19： 求 lim 3x 0xcosx3cosx 1ln(1 x2)x2ln(1 x2 )limex01e2解：2 cosxln 1 cosx 132xcosx 13x212 x lim 2 2 x 0 3x2注： 1. 幂指函数f (x)g(x)求极限，若lxim f (x) 0，可以采用恒等变形求幂指函数的极限：lim f (x)g (x)g( x)ln f (x)lim e

30、x通常和后面学的洛必达法则结合起来用但是若lxim f (x) 1 ， lxim g(x) ，通常采用重1要极限 lim(1 x) x e来求 .2 利用等价无穷小代换求极限时，只能对极限式中的相乘或相除的因式才能用等价无穷小来替代，而作为加减项的无穷小量不能随意用等价无穷小量代换. 例如tanx sinxlim 3x 0 sinxlxim0 sxinxx3 0这种做法是错误的，正确的解法为：tanx sin x tanx sinx lim 3 lim 3 x 0 sinx x 0 sinx11lxim0csoisnxx 2lxim01 cosx 1x22但是， 作为加减项的无穷小量并非绝对不

31、能用等价无穷小量代换，只要满足下面命题：命题： 设 , 1, , 1 均为 xx0时的无穷小量，且 1，lim 存在，但不x x0等于 1 ，则 11 (xx0 ) .sin 2x e2ax 1x0例1.20： 若 f (x)x , 在 (,)上连续，求a.a,x 0lxim0 f (x) lxim02axsin 2x e 1解：要使函数f (x) 在 (,) 上连续，只需讨论f (x) 在 x 0处是否连续即可sin2x e 11 2ax 1limlim lim2a ，x0 x x0 x 2 x0x 211当 lxim0 f (x) f (0) ，即 2a a 时， a .例 1.21： 设

32、 lim ( 4x2 3x 1 ax) b ，求a， b .x解：lim ( 4x2 3x 1 ax) b x2224x 3x 1 a xlimbx 4x2 3x 1 axlim (4 a2)x2 3x 1 bx4x2 3x 1 ax21(4 a )x 3limx b2lim (4 a )x 3 b2a234 a 0, lim b x 2a3a 2,b4例1.22： 设 0 ，f(x)在 (, )上有定义f(0) 1, 且 lxim0ln(1 2xx)22xf(x)0.求 f '(0) .ln(1 2x) 2xf(x)ln(1 2x)x 2f (x)解： lim20 lim0x 0x2

33、x 0xlimx02 2f(x) 02limx0xf (x) f (0)01.23： 讨论ln(e f (x) lim n解：由题可知：x e，分情况讨论：f '(0) 0n xn)x ) 的连续性.n所以xe 时，有x e时，有x e时，有f (x)f(x) limnnn ln(e x )1 limnlim nlim nln en(1xeln(1 x )1 limnxen1；nn ln(e x )f(x) limnln(en xn)ln(1l nx l i mnlim nn ln2elim n1 lim ln2 1；nnln xn (1exxen)xl n l ixmx. l nnn1, f(x) lnx,exexelim f (x)lim f(x) 1 f (e) ，所以 f (x) 在 ( e, ) 上连续 .x ex e例1.24：设 f(x)在区间 a, b 上连续，f (a) a， f (b) b，证明：存在(a,b) ，使得 f( ).证明：作辅助函数F(x) f(x) x，则函数F(x) 在区间 a, b上连续，且F(a)f(a)a0，F(b)f(b) b0，即 F (a)F (b) 0，根据零点定理可知：存在(a,b) ，使得 f( ).例1.25： 设f(x) 在区 间0, 2上连续，f (0)f (2) ， 证明 存在 0,1 ， 满 足f (